Цилиндр

Вдоль оси цилиндр изображение не увеличивает, а поперёк работает как толстая линза: увеличение видно по излому линий миллиметровки. Второе соотношение даёт ширина полосы, видимой сквозь цилиндр: её края образуют лучи, идущие по касательной к цилиндру.

Заметим, что по условию фотографирование происходит с большого расстояния, поэтому можно считать, что увеличение цилиндра в направлении его оси отсутствует. Дополнительно можно убедиться в этом, проверив, что точки пересечения линий миллиметровки и их изображений лежат примерно на оси цилиндра.

Теперь исследуем увеличение для параксиальных лучей в направлении, перпендикулярном оси цилиндра. Пусть расстояние от оси цилиндра до плоскости равно \(h\). Будем считать его положительным, если осталось больше половины цилиндра. Рассмотрим точку, смещённую от плоскости симметрии системы на малое расстояние \(x\). Найдём положение её изображения, образованного параксиальными лучами.

Из закона преломления света получаем: \[\gamma = n\beta = \frac{nx}{h + R}.\] Запишем геометрические соотношения. \[\frac{x(h + H)}{h} = \Gamma x = \frac{nx(h + H + R)}{h + R}.\] Выразим и подставим значение \(H\). \[H = h(\Gamma - 1), \qquad \Gamma(h + R) = n(\Gamma h + R).\] Получаем искомое увеличение: \[\Gamma = \frac{nR}{R - (n - 1)h}.\] Заметим, что мы видим не всю миллиметровку, которую закрывает цилиндр. Такое может быть только в случае \(h > 0\), то есть отрезали меньше половины цилиндра. По фотографии видно, что область видимости ограничивают лучи, идущие по касательной к цилиндру.

Из закона преломления света имеем: \[\cos\theta = \frac{1}{n}, \qquad d = 2\left(R - h\operatorname{tg}\theta\right), \qquad \frac{d}{2R} = 1 - \frac{h\sqrt{n^2 - 1}}{R}.\] Теперь достаточно измерить по фотографии \(\Gamma\) и \(d/R\). Тогда у нас будет система из двух уравнений с двумя неизвестными.

Проведём ось цилиндра, вертикальную линию миллиметровки и касательную к её изображению в точке на оси цилиндра. Отрезок \(CA\) — перпендикуляр из точки касательной на ось цилиндра. Тогда увеличение можно найти по фотографии: \[\Gamma = \frac{AC}{AB} \approx 2{,}0.\] Для поиска области видимости можем воспользоваться подобием: для любой прямой можем определить, какую её часть видно через цилиндр. Воспользуемся горизонтальной линией на миллиметровке: закрыто цилиндром 22 мм, видно через цилиндр 9 мм. \[\frac{d}{2R} \approx 0{,}41.\] Для удобства введём обозначение \(\xi = h/R\). \[\left\{\begin{aligned} 2 &= \frac{n}{1 - (n - 1)\xi};\\ 0{,}41 &= 1 - \xi\sqrt{n^2 - 1}. \end{aligned}\right. \qquad \xi = \frac{0{,}59}{\sqrt{n^2 - 1}} = \frac{2 - n}{2(n - 1)}.\] Получили уравнение на \(n\), которое можно решить численно: \(n = 1{,}48\). Подставляя полученное значение в формулы для \(\xi\), получаем: \[\xi = 0{,}54.\] При этом искомая величина выражается через \(\xi\): \[\frac{y}{R} = \frac{R - h}{R} = 1 - \xi = 0{,}46.\]