Задачи › Механическая энергия, консервативные системы

Спиральная пружина

  1. Спиральная пружина

    Санкт-Петербургская 2025/26, 10 кл.
    7/10

    Спиральная пружина лежит на столе; её верхний край можно поднимать над столом. Требуется:

    1. определить длину пружины;

    2. объяснить, почему пружина раскрывается;

    3. исследовать зависимость потенциальной энергии лежащей на столе спиральной пружины от высоты подъёма её верхнего края над столом;

    4. определить величины потенциальной энергии лежащей на столе спиральной пружины при её полном раскрытии и в состоянии неустойчивого равновесия. За нулевое значение энергии примите состояние, когда пружина лежит на столе плоско.

    Оборудование: пружина, весы, дощечка, нитка, скотч, брусок, бумага, миллиметровка.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Потенциальная энергия пружины равна работе силы, которой её поднимают: измерьте силу по показаниям весов, подвешивая верхний край нитью, и проинтегрируйте по высоте.

    Ответ

    1) \(l \approx 550\) см;  2) пружина раскрывается, потому что изгибная энергия ленты уменьшается при уменьшении радиуса витков; 3) \(E_p(h)\) — график с максимумом при неустойчивом равновесии; 4) \(E_{p\,\max} \approx 0{,}032\) Дж (неустойчивое равновесие при \(H \approx 6\) см), \(E_{p\,\min} \approx -0{,}356\) Дж (полное раскрытие).

    Решение

    Масса пружины \(m_0 \approx 59{,}55\) г; при плоской укладке \(N_0 = 14\) витков диаметром \(D_0 = 12{,}5\) см. При раскрытии число витков становится \(13\), диаметр витка \(D_1 = 13{,}5\) см. Длина ленты не меняется при раскрытии: \(l_0 = \pi N_0 D_0 \approx 549\) см, \(l_1 = \pi N_1 D_1 \approx 551\) см, принимаем \(l \approx 550\) см.

    Сила, порождающая раскрытие, — изменение радиуса витков; её измеряют весами с нитью, работа пропорциональна интегралу силы по высоте. Потенциальная энергия \(E_p = \sum F_i \Delta l_i\), где \(F_i\) — сила, выраженная через показания весов \(m_i\) с учётом веса пружины \(m_0\). Максимум \(E_p\) достигается при высоте \(H \approx 6\) см (неустойчивое равновесие), полное раскрытие отвечает минимуму \(E_p \approx -0{,}356\) Дж. Аналитическая оценка по формуле изгиба балки даёт \(-0{,}46\) Дж, что отличается на \(29\%\) от суммирования работы.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх