Ускорения математического маятника

В точке максимального отклонения скорость равна нулю, поэтому ускорение направлено по касательной и создаётся только силой тяжести. В нижней точке ускорение направлено к точке подвеса. Найдите скорость по закону сохранения энергии.

Пусть угол максимального отклонения маятника — \(\alpha\). В точке максимального отклонения ускорение направлено по касательной к траектории и создаётся только силой тяжести: \[a_m = g\sin\alpha,\] где \(a_m\) — ускорение маятника в точке максимального отклонения. В нижней точке ускорение направлено к точке подвеса и равно \(a_0 = v^2/l\) (\(l\) — длина нити). По закону сохранения энергии \[\frac{mv^2}{2} = mgl\left(1 - \cos\alpha\right) = 2mgl\sin^2\frac{\alpha}{2},\] откуда \[a_0 = \frac{v^2}{l} = 4g\sin^2\frac{\alpha}{2}.\] Используя данные условия, \[\frac{a_0}{a_m} = 1{,}2 = \frac{4g\sin^2(\alpha/2)}{g\sin\alpha} = 2\operatorname{tg}\frac{\alpha}{2}.\] Откуда \(\operatorname{tg}\dfrac{\alpha}{2} = 0{,}6\) и \[\alpha = 2\operatorname{arctg}0{,}6.\]