Спутник в верхних слоях атмосферы

За один виток скорость и сила сопротивления меняются мало. Найдите изменение радиуса орбиты за один оборот и разделите на период обращения: получится постоянная скорость сближения.

Поскольку потери энергии малы, спутник движется почти по окружности, и для него в любой момент времени выполнено условие \[\frac{mv^2}{r} = \frac{GmM}{r^2} \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{\frac{GM}{r}},\] где \(v\) и \(m\) — скорость и масса спутника, \(M\) — масса планеты, \(r\) — радиус орбиты. Из этой формулы следует, что при увеличении скорости спутника радиус круговой орбиты уменьшается. Также кинетическая и потенциальная энергии спутника связаны соотношением \[E_{\text{К}} = -\frac{1}{2}E_{\text{П}}.\] Закон сохранения энергии для двух близких моментов времени (с изменениями скорости \(\Delta v\) и радиуса орбиты \(\Delta r\), где \(A_c < 0\) — работа силы сопротивления воздуха): \[\left(\frac{m(v+\Delta v)^2}{2} - \frac{GmM}{r+\Delta r}\right) - \left(\frac{mv^2}{2} - \frac{GmM}{r}\right) = A_c.\] Отсюда \[\Delta v = -\frac{A_c}{mv} > 0,\] то есть скорость спутника при действии силы сопротивления возрастает (это связано с работой гравитационной силы). Поэтому радиус орбиты непрерывно уменьшается, и спутник движется по спирали.

Найдём скорость изменения радиуса орбиты. Считая, что сила сопротивления равна \(F_c = \beta\rho v^2\) и что за время одного оборота скорость и сила сопротивления меняются мало, применим предыдущую формулу к одному обороту: \[\Delta v = \frac{2\pi r F_c}{mv} = \frac{2\pi r\beta\rho v}{m}.\] С другой стороны, из \(v^2 = GM/r\) связь малых изменений скорости и радиуса орбиты: \[2v\Delta v = -\frac{GM}{r^2}\Delta r \quad\Rightarrow\quad \frac{2\Delta v}{v} = -\frac{\Delta r}{r}.\] Поэтому для изменения радиуса орбиты за один оборот \[\Delta r = -\frac{4\pi r^2\beta\rho}{m}.\] Вводя период обращения \(T = 2\pi r/v\) и используя зависимость плотности атмосферы от расстояния до центра \(\rho = \alpha/\sqrt{r}\), получим \[\Delta r = -\frac{2Tr\beta\rho v}{m} = -\frac{2T\alpha\beta}{m}\sqrt{r}\,v = -\frac{2T\alpha\beta\sqrt{GM}}{m},\] поскольку \(\sqrt{r}\,v = \sqrt{GM}\). Отсюда скорость приближения спутника к планете \[u = \frac{|\Delta r|}{T} = \frac{2\alpha\beta\sqrt{GM}}{m},\] она не зависит ни от скорости спутника, ни от радиуса орбиты и, следовательно, постоянна. Поэтому время падения от орбиты радиуса \(2R\) до поверхности (путь \(R\)) \[t = \frac{R}{u} = \frac{Rm}{2\alpha\beta\sqrt{GM}}.\]