Шарик в вязкой среде и магнитное поле

При движении шарика в отсутствие магнитного поля в среде в единицу времени выделялось постоянное количество теплоты \(Q_1 = mgv\). Из условия постоянства тепловых потерь в единицу времени в обоих случаях следует, что через очень большое время после включения магнитного поля шарик будет двигаться с постоянной скоростью. Поскольку движение происходит в вязкой среде, то через очень большое время оно станет прямолинейным и равномерным. Следовательно, сумма сил тяжести, вязкости и силы Лоренца будет при этом равна нулю. Обозначим скорость движения шарика при наличии магнитного поля через \(u\). Из рисунка 3.79 видно, что шарик будет двигаться по прямой, составляющей с вертикалью угол \(\alpha\), причём \[\sin\alpha = \dfrac{quB}{mg}.\]

Так как сила Лоренца не совершает работы, то количество тепла, выделяющееся в единицу времени, равно работе, которую совершает за это время сила тяжести: \(Q_2 = mgu\cos\alpha\). По условию задачи \(Q_1/Q_2 = n\), то есть \[mgv = nmgu\cos\alpha.\] Исключая из записанных уравнений угол \(\alpha\), получаем уравнение относительно скорости \(u\): \[n^2q^2B^2u^4 - n^2m^2g^2u^2 + m^2g^2v^2 = 0.\] Решая его, находим: \[u_{1,2}^2 = \dfrac{mg}{2nq^2B^2}\left(mgn \pm \sqrt{m^2g^2n^2 - 4q^2v^2B^2}\right).\] Видно, что решение существует при условии \(m^2g^2n^2 - 4q^2v^2B^2 \geqslant 0\), откуда \(B \leqslant \dfrac{mgn}{2qv}\). Таким образом, описанное в условии задачи движение возможно при максимальном значении индукции магнитного поля \[B_{\max} = \dfrac{mgn}{2qv}.\]