Столкновение ядер

Подсказка

Для ядер, ускоряемых в каждой ячейке, энергия после \(n\) ячеек растёт линейно по \(n\). Сравните времена пролёта между ячейками для первой и \(n\)-й труб, учитывая, что период импульсов одинаков.

Решение

Часть 1.

1.1. Основная проблема рассмотренного типа ускорения заключается в том, что ядро-мишень также приходит в движение. Поэтому не вся кинетическая энергия движущегося ядра переходит в энергию их взаимодействия. При сближении положительно заряженных ядер возрастает энергия их кулоновского взаимодействия, которое препятствует их столкновению. При минимальном сближении ядер их скорости становятся равными. Запишем закон сохранения энергии для рассматриваемых ядер: \[\frac{m_1V_0^2}{2} = \frac{(m_1+m_2)V^2}{2} + W(r) ,\] где \(V_0\) — скорость ускоренного ядра; \(V\) — скорость ядер в момент максимального сближения; \(W(r)\) — потенциальная энергия кулоновского взаимодействия в этот же момент. Так как ядра должны сблизиться на расстояние \(r_1+r_2\), потенциальная энергия взаимодействия должна достичь величины \[W = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)} ,\] где \(q_1, q_2\) — электрические заряды ядер. Скорость ядер в момент максимального сближения можно выразить из закона сохранения импульса: \[m_1V_0 = (m_1+m_2)V \quad\Rightarrow\quad V = \frac{m_1}{m_1+m_2}V_0 .\] Подставим в уравнение (1) и преобразуем его: \[\frac{m_1V_0^2}{2}\cdot\frac{m_2}{m_1+m_2} = W(r) .\] Кинетическую энергию налетающего ядра выразим через ускоряющую разность потенциалов \(U\): \[\frac{m_1V_0^2}{2} = q_1U .\] Эти уравнения позволяют записать выражение \[q_1U\,\frac{m_2}{m_1+m_2} = \frac{q_1q_2}{4\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)} ,\] из которого находим \[U = \frac{m_1+m_2}{m_2}\,\frac{q_2}{4\pi\varepsilon_0(r_1+r_2)} .\] Наконец, выразим характеристики ядер через их массовые и зарядовые числа: \[U = \frac{A_1+A_2}{\left(A_1^{1/3}+A_2^{1/3}\right)}\,\frac{Z_2}{A_2}\,\frac{e}{4\pi\varepsilon_0 a} .\] Подставляя численные значения, получим \[U \approx 1{,}2\cdot 10^{7}\ \text{В} .\]

1.2. Для вычисления скорости налетающего ядра воспользуемся формулами (5) и (8): \[\frac{A_1m_pV_0^2}{2} = Z_1eU ,\] откуда \[V_0 = \sqrt{\frac{A_1+A_2}{\left(A_1^{1/3}+A_2^{1/3}\right)}\,\frac{Z_2Z_1}{A_2A_1}\,\frac{e^2}{2\pi\varepsilon_0 a m_p}} .\] Численное значение этой величины равно \[V_0 \approx 3{,}35\cdot 10^{7}\ \text{м/с} .\]

1.3. Если ядра поменять местами, то это приведёт к изменению индексов в конечных формулах. Тогда ускоряющая разность потенциалов для ядра свинца оказывается равной \[U = \frac{A_1+A_2}{\left(A_1^{1/3}+A_2^{1/3}\right)}\,\frac{Z_1}{A_1}\,\frac{e}{4\pi\varepsilon_0 a} \approx 1{,}5\cdot 10^{7}\ \text{В} .\] Формула для скорости симметрична по индексам, поэтому скорость ядра свинца должна остаться прежней: \[V_0 \approx 3{,}35\cdot 10^{7}\ \text{м/с} .\]

Часть 2. Ускоряющая система.

2.1. Для расчёта энергии, которую получает ядро при пролёте через ускоряющую ячейку, необходимо рассмотреть электрическое поле между пластинами. Для расчёта поля используем принцип суперпозиции и достаточно традиционную идею: вместо отверстия будем рассматривать сплошную пластину с поверхностной плотностью заряда \(+\sigma\), на которую наложен диск, радиус которого равен радиусу отверстия, с противоположной плотностью заряда \(-\sigma\). Аналогично будем рассматривать и вторую пластину с отверстием.

При таком подходе напряжённость электрического поля на оси отверстий можно представить в виде следующей суммы полей (в проекции на направление движения частиц):

• поле положительно заряженной пластины \(E_1 = E_0\);

• «поле отверстия» в этой пластине \(E_2 = -E_0\left(1 - \dfrac{z}{R}\right)\);

• поле отрицательно заряженной пластины \(E_3 = E_0\);

• «поле отверстия» во второй пластине \(E_4 = -E_0\left(1 - \dfrac{a-z}{R}\right)\).

Сумма этих полей оказывается равной \[E_\Sigma = E_0\frac{a}{R} .\] Таким образом, в рамках приближённой модели поля диска поле на оси отверстий оказывается однородным. Следовательно, разность потенциалов между центрами отверстий равна \[\Delta\varphi_{CC} = E_\Sigma a = E_0\frac{a^2}{R} .\] При прохождении этой разности потенциалов энергия ядра увеличится на величину \[\Delta W = q\,\Delta\varphi_{CC} = qE_0\frac{a^2}{R} .\] На большом удалении от отверстий поле между пластинами однородное, его напряжённость равна \(E_0\). Следовательно, разность потенциалов (или напряжение) между пластинами равна \[U_0 = aE_0 .\] Наконец, из последних формул следует, что при пролёте через ускоряющую систему ядро приобретёт энергию, равную \[\Delta W = qU_0\frac{a}{R} .\]

2.2. Формула для ёмкости плоского конденсатора \(C = \dfrac{\varepsilon_0 S}{d}\) и определение ёмкости \(C = \dfrac{q}{U} = \dfrac{\sigma S}{2E_0 d}\) позволяют выразить напряжённость поля одной пластины через поверхностную плотность заряда на ней: \[E_0 = \frac{\sigma}{2\varepsilon_0} .\]

Часть 3. Линейный ускоритель.

3.1. Чтобы разгон ядра проходил в каждой ускоряющей ячейке, необходимо, чтобы ядро подлетало к очередной ячейке в момент включения поля. То есть времена пролёта между ячейками должны быть одинаковыми. Так как в каждой ячейке кинетическая энергия увеличивается на одну и ту же величину \(\Delta W\), то после пролёта \(n\) ячеек энергия и скорость ядра будут равны \[W = n\Delta W ,\qquad \frac{mV_n^2}{2} = W_n \quad\Rightarrow\quad V_n = V_1\sqrt{n} .\] Из условия постоянства времён пролёта \[\frac{l_1}{V_1} = \frac{l_n}{V_n} = \frac{l_n}{V_1\sqrt{n}}\] следует, что длины труб должны удовлетворять условию \[l_n = l_1\sqrt{n} .\]