Три цепочки

Для шайб удобно сравнить, за какое время каждая следующая шайба догоняет предыдущую. Для наклонной плоскости разложите движение на составляющие вдоль и перпендикулярно плоскости. Для цепи подумайте о предельных состояниях: сразу после замыкания конденсаторы разряжены, а в конце они заряжены до \(U_0\).

1.1. Обозначим скорость шарика номер \(k\) сразу после его столкновения \(v_k\). Из закона сохранения импульса \(mV_0 = kmv_k\), следовательно, \[v_k = \frac{V_0}{k} .\] Поэтому время движения \(k\) «слипшихся» шайб до очередного столкновения равно \[\tau_k = \frac{l}{v_k} = k\frac{l}{V_0} .\] Последняя шайба сдвинется через время \[T = \sum_{k=1}^{N-1}\tau_k = \frac{l}{V_0}\sum_{k=1}^{N-1}k .\] Используя формулу для суммы членов арифметической прогрессии, получаем \[T = \frac{N(N-1)}{2}\frac{l}{V_0} .\]

1.2. Удобно рассматривать движение шарика в системе координат, связанной с наклонной плоскостью: ось \(x\) направлена вдоль плоскости, ось \(y\) перпендикулярно к ней.

Проекции ускорения на оси: \[\begin{cases} a_x = g\sin\alpha \\ a_y = -g\cos\alpha \end{cases} .\] Проекции начальной скорости после первого удара (с учётом абсолютной упругости): \[\begin{cases} v_{0x} = v_0\sin\alpha \\ v_{0y} = v_0\cos\alpha \end{cases} , \qquad v_0 = \sqrt{2gh} .\] Так как в моменты ударов силы направлены перпендикулярно плоскости, проекция скорости на ось \(x\) при ударах не меняется. Движение по оси \(x\) равноускоренное: \[x = v_0t\sin\alpha + \frac{g\sin\alpha}{2}t^2 .\] Закон движения вдоль оси \(y\) после первого столкновения: \[y = v_0t\cos\alpha - \frac{g\cos\alpha}{2}t^2 .\] Отсюда второй удар произойдёт через время \[\tau = \frac{2v_0}{g} .\] Проекция скорости \(v_{y1}\) в этот момент равна \(-v_0\cos\alpha\). Таким образом, после каждого столкновения проекция скорости \(v_y\) остаётся неизменной, следовательно, время между последовательными ударами постоянно и определяется формулой \(\tau = 2v_0/g\).

Поэтому проще сначала найти ответ на второй вопрос задачи, а затем на первый.

1.2.2. Время \(k\) пролётов равно \[t_k = k\tau = k\frac{2v_0}{g} .\] Координата \(x\) (равная искомой величине \(L_k\)) задаётся законом движения: \[L_k = v_0(k\tau)\sin\alpha + \frac{g\sin\alpha}{2}(k\tau)^2 = k(k+1)\frac{2v_0^2}{g}\sin\alpha .\] С учётом \(v_0^2 = 2gh\) получаем \[L_k = 4k(k+1)h\sin\alpha .\]

1.2.1. Расстояния между последовательными ударами: \[l_k = L_k - L_{k-1} = 8kh\sin\alpha .\]

1.3.1. Если конденсатор не заряжен, то напряжение на нём равно нулю, поэтому он является проводником. Следовательно, в момент замыкания цепи ток пойдёт только через первый резистор, поэтому его сила равна \[I_0 = \frac{U_0}{R} .\]

1.3.2. Когда конденсаторы зарядятся, ток в цепи прекратится. В этом случае напряжения на резисторах станут равными нулю (т. е. их можно считать проводниками), и напряжение на всех конденсаторах станет равным напряжению источника. Поэтому суммарный заряд цепи станет равным \[q = N\frac{U_0}{C} .\]