ВЭС — волновая электростанция
8/10Одним из нетрадиционных возобновляемых источников энергии может служить энергия морских волн. К настоящему времени разработано более десятка различных волновых электростанций (ВЭС), некоторые из которых показаны на рисунке. В данном задании Вам необходимо проанализировать работу одного из типов, таких реально существующих ВЭС.
Упрощённая схема установки показана на рисунке. Прочный открытый снизу цилиндр вертикально закреплён у береговой скалы. Морская вода может поступать в этот рабочий цилиндр снизу. В верхней части трубы находится воздух. Выходная труба соединяет цилиндр с электрогенератором \(G\), выходная труба генератора открыта в атмосферу. При подъёме уровня воды воздух вытесняется из цилиндра и приводит во вращение турбину генератора. При опускании уровня воды через ту же трубу атмосферный воздух всасывается внутрь рабочего цилиндра через ту же трубу. При этом турбина также может вращаться, что приводит к выработке электроэнергии.
Для описания работы этой установки используются следующие приближения:
Воздух можно считать идеальным газом.
Вода внутри и снаружи рабочего цилиндра все время находится в квазиравновесном состоянии, т. е. давление, создаваемое водой, можно рассчитывать по законам гидростатики.
Генератор снабжен клапаном, который открывается, если разность давлений с разных сторон генератора достигает некоторого значения \(\delta P\). При меньшей разности давлений труба оказывается полностью перекрыта. При открытом клапане (из-за наличия турбины) разность давлений остаётся постоянной и равной \(\delta P\).
Все процессы происходят при постоянной температуре.
Разностью давлений воздуха в рабочем цилиндре и выходной трубе можно пренебречь.
Уровень воды вблизи рабочего цилиндра изменяется по периодическому закону, который можно приближённо описать кусочно-линейной функцией. На графике: плавная кривая — реальная зависимость, ломаная линия — приближение, которое используется в решении данной задачи.
В данной задаче удобно в качестве единицы давления использовать «метр водяного столба» — гидростатическое давление, создаваемое 1 метром водяного столба. Считайте, что \(1\ \text{м.в.с.} = 1{,}0\cdot 10^4\) Па.
Используйте следующие обозначения (смотрите схему установки):
высота уровня воды вблизи рабочего цилиндра \(h(t)\) — график этой функции приведён выше;
высота уровня воды внутри рабочего цилиндра \(z(t)\);
высота верхней крышки рабочего цилиндра \(z_0\).
В расчётах используйте следующие значения параметров:
атмосферное давление \(P_0 = 10\ \text{м}\) (водяного столба, что соответствует нормальному атмосферному давлению);
температура воздуха и воды \(t = 7{,}0\,^\circ\text{C}\);
молярная масса воздуха \(M = 29\ \text{г/моль}\);
универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль·К)}\);
площадь поперечного сечения рабочего цилиндра \(S_0 = 10\ \text{м}^2\);
площадь поперечного сечения выходной трубы \(s = 1{,}0\ \text{м}^2\);
разность давлений, при котором открывается клапан, и которая поддерживается постоянной при протекании газа через турбину, \(\delta P = 2{,}0\ \text{м}\);
высота цилиндра над уровнем моря \(z_0 = 7{,}0\ \text{м}\);
период волны \(T = 10\ \text{с}\);
амплитуда волны \(A = 5{,}0\ \text{м}\).
Часть 1. Рабочий цикл установки.
1.1 Выразите давление воздуха в рабочем цилиндре (в метрах водяного столба) через атмосферное давление \(P_0\) и высоты уровней воды вне цилиндра \(h\) и внутри его \(z\).
Рассмотрим рабочий цикл установки. Считаем, что поверхность моря спокойна \(h = 0\); вода в цилиндре находится также на нулевом уровне \(z = 0\), давление воздуха внутри рабочего цилиндра равно атмосферному \(P = P_0\). В момент времени \(t = 0\) приходит волна.
1.2 Рассчитайте, при какой минимальной амплитуде волны \(A_{\min}\), установка начнёт вырабатывать электроэнергию.
Далее будем считать, что амплитуда волн остаётся постоянной и равной \(A = 5{,}0\) м.
1.3 Рассчитайте численное значение модуля скорости подъёма и опускания уровня воды вне установки \(v\).
В данной части задания необходимо описать цикл работы установки, то есть найти зависимости уровня воды \(z(t)\) и давления воздуха \(P(t)\) в рабочем цилиндре от времени. Считаем, что в начальный момент времени \(t = 0\) \(z = 0\) и \(P = P_0\). Уровень воды снаружи установки изменяется по закону, приведённому ранее на графике. В Бланках ответов приведен график этой зависимости.
На этом графике Вы должны построить зависимость \(z(t)\). Для этого достаточно рассчитать значения указанных параметров в узловых точках, показанных на рисунке. Точки 1, 3, 5, 7 соответствуют открытию или закрытию клапана турбины генератора, их положение вам предстоит найти, поэтому на рисунке они показаны условно. График зависимости \(z(t)\) можно изобразить в виде отрезков прямых между узловыми точками (за исключением участка 1-2).
1.4 Найдите явный вид зависимости уровня воды в цилиндре \(z(t)\) в интервале времени от нуля до \(t_1\). Постройте график этой зависимости.
1.5 Найдите, в какой момент времени \(t_1\) воздух начнёт поступать в турбину. Рассчитайте уровень воды вне цилиндра \(h_1\), уровень воды \(z_1\) и давление воздуха \(P_1\) в цилиндре в этот момент времени.
1.6 Рассчитайте значения высоты уровня вне цилиндра \(h_k\), уровня воды в цилиндре \(z_k\), давления воздуха \(P_k\) в указанных узловых точках и соответствующие моменты времени \(t_k\) (\(k = 1,2\dots 8\)). Полученные значения занесите в Таблицу 1 Листов ответов. Приведите (там, где это необходимо) формулы, по которым проведены расчёты. Постройте схематический график зависимости \(z(t)\).
1.7 На отдельном бланке постройте схематическую диаграмму процесса изменения состояния воздуха в рабочем цилиндре в координатах \((P, (z_0 - z))\).
1.8 Укажите, начиная с какой узловой точки процесс далее будет периодически повторяться, укажите также конечную точку цикла.
Часть 2. Энергетические характеристики ВЭС.
В этой части задания Вы должны рассчитать энергетические характеристики рассматриваемой установки в режиме установившегося цикла её работы. В данной части используйте обозначения и численные значения параметров, найденные в Части 1.
2.1 Укажите, на каких участках процесса (между какими узловыми точками) генератор вырабатывает электроэнергию.
2.2 Рассчитайте массу воздуха, который выходит из рабочего цилиндра за один цикл работы установки.
2.3 Оцените кинетическую энергию воздуха, выходящего из рабочего цилиндра на входе в турбину генератора за один цикл работы установки.
2.4 Рассчитайте работу, совершенную воздухом, выходящим из рабочего цилиндра, над турбиной генератором за один цикл работы установки.
2.5 Считая, что КПД электрогенератора равен \(\eta_0 = 60\%\), рассчитайте среднюю мощность рассмотренной установки за один цикл её работы.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаДля расчёта давления в каждом состоянии воспользуйтесь законом Бойля—Мариотта для участков с постоянным количеством воздуха, а клапан открывается при разности давлений \(\delta P\). Работу на участке выталкивания воздуха можно найти как произведение постоянной разности давлений на изменение объёма.
Ответ1.1) \(P = P_0 + h - z\) (в м.в.с.); 1.2) \(A_{\min} \approx 3{,}2\) м; 1.3) \(v = \dfrac{4A}{T} = 2{,}0\) м/с; 1.5) \(t_1 \approx 1{,}58\) с, \(h_1 \approx 3{,}17\) м, \(z_1 \approx 1{,}17\) м, \(P_1 = 12\) м; 1.6) см. Таблицу 1 в решении (узловые точки \(t_k\), \(h_k\), \(z_k\), \(P_k\), \(k=0\dots 8\)); 1.8) цикл начинается в точке 2, конец цикла — точка 5; 2.1) генератор вырабатывает электроэнергию на участках 3–4 и 5–6; 2.2) \(\Delta m \approx 4{,}0\) кг; 2.3) \(E_{\text{кин.}} \approx 0{,}80\cdot 10^{3}\) Дж (т. е. около 800 Дж); 2.4) \(A_{5\text{--}6} \approx 5{,}4\cdot 10^{5}\) Дж; 2.5) \(N \approx 9{,}8\cdot 10^{4}\) Вт \(\approx 100\) кВт.
Решение1.1. Давление воздуха внутри рабочего цилиндра следует из условия равновесия воды: \[P = P_0 + h - z .\]
1.2. При подъёме уровня воды моря начнётся подъём уровня воды в цилиндре и сжатие воздуха в нём. Так как клапан выпускной открывается, если давление воздуха внутри цилиндра достигнет значения \[P_2 = P_0 + \delta P ,\] чтобы генератор начал работать, необходимо, чтобы при максимальном подъёме уровня воды \(h = A\) давление воздуха достигло значения, определяемого этой формулой. Так как процесс сжатия происходит при постоянной температуре и постоянной массе воздуха в цилиндре, то он описывается законом Бойля–Мариотта \(PV = \mathrm{const}\): \[\bigl(P_0 + A - z_2\bigr)\bigl(z_0 - z_2\bigr) = P_0z_0 .\] Принимая во внимание формулу для давления, получим, что максимальный уровень подъёма воды в рабочем цилиндре должен стать равным \(z_2\): \[z_2 = \frac{\delta P}{P_0+\delta P}\,z_0 .\] Найденное значение позволяет найти минимальную высоту волны: \[A_{\min} = \frac{\delta P}{P_0+\delta P}\,z_0 + \delta P \approx 3{,}2\ \text{м} .\]
1.3. Модуль скорости движения воды снаружи равен \[v = \frac{4A}{T} = 2{,}0\ \text{м/с} .\]
1.4. Параметры в состоянии 1 задаются начальными условиями. На временном интервале между точками 1 и 2 (а также 2 и 3) подъём уровня воды вне цилиндра происходит по закону \[h = vt .\] Процесс 1–2 (до открытия клапана) есть изотермический процесс при постоянной массе воздуха, поэтому описывается уравнением \[\bigl(P_0+h-z\bigr)\bigl(z_0-z\bigr) = P_0z_0 .\] Из этого квадратного уравнения \[z^2 - z\bigl(P_0+z_0+h\bigr) + hz_0 = 0\] находим зависимость высоты уровня воды в цилиндре от времени: \[z = \frac{P_0+z_0+vt}{2} - \sqrt{\frac{\bigl(P_0+z_0+vt\bigr)^2}{4} - vtz_0} .\] График этой зависимости показан на рисунке.
1.5. Для расчёта характеристик воздуха в момент времени \(t_1\) следует принять во внимание, что в этот момент открывается клапан, т. е. давление достигает значения \[P_1 = P_0 + \delta P = 12\ \text{м} .\] Тогда из уравнения (9) можно получить линейное уравнение \[\bigl(P_0+\delta P\bigr)\bigl(z_0-z_1\bigr) = P_0z_0 .\] Из которого находятся все необходимые параметры воздуха в состоянии 1: \[z_1 = z_0 - \frac{P_0}{P_0+\delta P}z_0 = \frac{\delta P}{P_0+\delta P}z_0 = 1{,}17\ \text{м},\] \[h_1 = z_1 + \delta P = 3{,}17\ \text{м}, \qquad t_1 = \frac{1}{v}\left(\frac{\delta P}{P_0+\delta P}z_0 + \delta P\right) = 1{,}58\ \text{с} .\]
1.6. Участок 1–2. В момент времени \(t_2\) клапан откроется и воздух начнёт выходить в атмосферу, при этом разность давлений с наружи и внутри будет оставаться постоянной и равной \(\delta P\). Давление внутри, высота уровня воды внутри цилиндра и вне его будут описываться линейными функциями \[h(t) = vt ,\qquad P(t) = P_0 - \delta P = \text{const},\qquad z(t) = h - \delta P = h - vt .\] В точке 3 параметры воздуха станут равными: \[t_2 = \frac{T}{4} = 2{,}5\ \text{с},\quad h_2 = A = 5{,}0\ \text{м},\quad z_2 = A - \delta P = 3{,}0\ \text{м}, \quad P_2 = P_0 - \delta P = 8{,}0\ \text{м} .\] Участок 2–3. Далее уровень воды вне цилиндра начнёт уменьшаться, следовательно, начнёт понижаться и уровень воды в рабочем цилиндре. Давление воздуха внутри уменьшится, поэтому клапан закроется. Поэтому процесс 3–4 будет изотермическим при постоянной массе газа, т. е. описываться уравнением \[\bigl(P_0+h-z\bigr)\bigl(z_0-z\bigr) = \bigl(P_0+\delta P\bigr)\bigl(A-\delta P\bigr) .\] Высота \(z\) будет уменьшаться до тех пор, пока давление внутри цилиндра не станет равным \[P_3 = P_0 - \delta P = 8{,}0\ \text{м} .\] В этот момент воздух начнёт поступать в цилиндр. Теперь из уравнения с учётом этого выражения можно рассчитать все характеристики состояния воздуха в точке 3: \[z_3 = z_0 - \frac{\bigl(P_0+\delta P\bigr)\bigl(A-\delta P\bigr)}{P_0-\delta P} = 2{,}5\ \text{м}, \qquad h_3 = z_3 - \delta P = 0{,}50\ \text{м},\] \[\Delta t = \frac{A-h_3}{v} = 2{,}25\ \text{с},\qquad t_3 = \frac{T}{4} + \Delta t = 4{,}75\ \text{с} .\] Участок 3–4. Далее процесс будет идти при постоянной разности давлений, вплоть до того момента, пока уровень воды не начнёт снова повышаться, т. е. на точках 5 и 6 значения \(h\) определяются заданным в условии графиком, а значения \(z\) и \(P\) рассчитываются «в уме» по формулам \[P_4 = P_0 - \delta P,\qquad z_4 = h_4 + \delta P .\] Численные значения параметров в этой точке равны: \[t_4 = 7{,}5\ \text{с};\quad h_4 = -A = -5{,}0\ \text{м};\quad z_4 = -A + \delta P = -3{,}0\ \text{м}; \quad P_4 = 8{,}0\ \text{м} .\] Участок 4–5. На участке 4–5 (при подъёме уровня воды) клапан опять закроется, масса воздуха в цилиндре будет неизменной, давление будет изотермически возрастать до открытия клапана (когда давление станет равным \(P_5 = P_0 + \delta P\)). Для определения параметров в состоянии 5 следует воспользоваться системой уравнений, которые аналогичны уравнениям, записанным ранее: \[\bigl(P_0+\delta P\bigr)\bigl(z_0-z_5\bigr) = \bigl(P_0-\delta P\bigr)\bigl(z_0+A-\delta P\bigr) , \qquad P_0+\delta P = P_0+h_5-z_5 .\] Из этой системы находим: \[z_5 = z_0 - \frac{P_0-\delta P}{P_0+\delta P}\bigl(z_0+A-\delta P\bigr) = 0{,}33\ \text{м}, \qquad h_5 = z_5 + \delta P = 2{,}3\ \text{м} .\] Момент времени, когда уровень воды достигнет значения \(h_5\), находится из закона движения \[-A + v\bigl(t_5-t_4\bigr) = h_5 ,\] из которого вычисляем \[t_5 = t_4 + \frac{A+h_5}{v} = 11{,}2\ \text{с} .\] Далее значения параметров \(h, z, P\) будут периодически повторяться. Т. е. значения в точке 6 совпадают со значениями в точке 2 и т. д. Для расчёта времён следует прибавить период волны, т. е. 10 с. Все эти значения переписаны в Таблицу 1.
Таблица 1. Узловые точки (момент \(t\), высота воды снаружи \(h\), высота воды внутри \(z\), давление внутри \(P\)):
График рассчитанной зависимости (все данные, необходимые для построения графика, приведены в Таблице 1):
1.7. Рассчитанные значения параметров позволяют построить диаграмму рабочего цикла рассматриваемой установки. Результат построения — на рисунке.
1.8. Циклический процесс начинается в точке 2, конец цикла — точка 5.
Часть 2.
2.1. Генератор вырабатывает электроэнергию, когда воздух проходит через турбину в любом направлении. Это происходит на участках цикла 3–4 (воздух всасывается внутрь рабочего цилиндра) и 5–6 (воздух выталкивается из цилиндра).
2.2. Воздух вытесняется из цилиндра на участке 5–6. На этом участке давление воздуха внутри цилиндра постоянно и равно \(P = P_0 + \delta P\). Объём вытесненного воздуха равен \[\Delta V = S\bigl(z_6-z_5\bigr) .\] Масса вытесненного воздуха рассчитывается с помощью уравнения состояния \[P\Delta V = \frac{\Delta m}{M}RT .\] При численных расчётах необходимо все величины выразить в системе СИ (прежде всего это касается давления). Подставляя эти численные значения, находим \[\Delta m = \frac{MS\bigl(P_0+\delta P\bigr)\bigl(z_6-z_5\bigr)}{RT} = \frac{29\cdot 10^{-3}\cdot 12\cdot 10^{4}\cdot\bigl(3{,}0-0{,}33\bigr)}{8{,}31\cdot\bigl(273+7{,}0\bigr)} \approx 4{,}0\ \text{кг} .\]
2.3. Для расчёта кинетической энергии необходимо найти скорость движения выходящего газа. Так как давление воздуха в цилиндре и выходной трубе одно и то же, то плотность воздуха остаётся постоянной, поэтому справедливо уравнение \[Sv = s v_1 ,\] где \(v\) — найденная ранее скорость подъёма воды в цилиндре, \(v_1\) — скорость воздуха в выходной трубе. Таким образом, кинетическая энергия выходящего воздуха равна \[E_{\text{кин.}} = \frac{\Delta m}{2}v_1^2 = \frac{\Delta m}{2}\left(\frac{S}{s}v\right)^2 = \frac{4{,}0\ \text{кг}}{2}\left(10\cdot 2{,}0\ \frac{\text{м}}{\text{с}}\right)^2 \approx 0{,}80\cdot 10^{3}\ \text{Дж} .\] Примечание. В реальности при протекании газа давления газа в цилиндре и в выходной трубе должны различаться, но по условию задачи этой разностью следует пренебрегать.
2.4. Можно считать, что со стороны цилиндра на турбину действует сила, пропорциональная давлению в цилиндре, а с другой — пропорциональная атмосферному давлению. Поэтому работа, совершенная над турбиной генератора, должна рассчитываться по формуле \[A_{5\text{--}6} = \delta P\cdot\Delta V = \delta P S\bigl(z_6-z_5\bigr) .\] Подставим численные значения и проведём расчёт: \[A_{5\text{--}6} = \delta P S\bigl(z_6-z_5\bigr) = 2{,}0\cdot 10^{4}\ \text{Па}\cdot 10\ \text{м}^2\cdot 2{,}7\ \text{м} = 5{,}4\cdot 10^{5}\ \text{Дж} .\]
2.5. За полный цикл работа совершается и при всасывании воздуха (на участке 3–4). Её можно рассчитать по формуле, аналогичной формуле для п. 2.4: \[A_{3\text{--}4} = \delta P\cdot\Delta V = \delta P S\bigl(z_3-z_4\bigr) = 2{,}0\cdot 10^{4}\ \text{Па}\cdot 10\ \text{м}^2\cdot 5{,}5\ \text{м} = 11\cdot 10^{5}\ \text{Дж} .\] Учитывая коэффициент полезного действия электрогенератора, для средней мощности установки получаем выражение \[N = \frac{\eta_0\bigl(A_{3\text{--}4}+A_{5\text{--}6}\bigr)}{T} = \frac{0{,}60\cdot\bigl(11+5{,}4\bigr)\cdot 10^{4}\ \text{Дж}}{10\ \text{с}} = 9{,}8\cdot 10^{4}\ \text{Вт} .\] Округляя, получаем мощность данной установки — примерно 100 киловатт.