Кошка и доска

Относительно доски кошка стартует с той же скоростью, что и с пола. Но доска при толчке уезжает назад: что сохраняется в горизонтальном направлении для системы «кошка и доска»?

Для прыжка с пола обозначим начальную скорость кошки \(\vec v\), время полёта \(t\). Из условий \(v_x t = L\), \(v_y t - gt^2/2 = 0\) получаем \[v_x v_y = \frac{gL}{2}.\] При прыжке с доски это соотношение остаётся прежним, но начальная скорость кошки относительно пола \(\tilde{\vec v}\) другая, и кошка прыгнет на расстояние \(\tilde L\): \[\tilde v_x \tilde v_y = \frac{g\tilde L}{2}.\] Скорость кошки относительно доски в начале полёта равна \(\vec v\), поэтому \(\tilde v_x = v_x - u\), \(\tilde v_y = v_y\), где \(u\) — скорость доски относительно пола, направленная в сторону, противоположную прыжку. Горизонтальный импульс системы кошка + доска сохраняется; в системе пола \(m(v_x - u) - Mu = 0\), откуда \[u = \frac{m v_x}{M + m}.\] Деля второе соотношение на первое, получаем \[\tilde L = \frac{\tilde v_x}{v_x}\,L = \frac{M}{M + m}\,L = \frac{2}{3}L.\]