Сообщающиеся сосуды с поршнями

Работа, которую совершили над системой при сдвиге поршня, в конце превращается в тепло. Найдите изменение потенциальной энергии системы: при равновесии жидкость переливается из одного сосуда в другой, а объём жидкости сохраняется.

Обозначим массы поршней \(m_1\) (узкий сосуд, \(S_1 = S\)) и \(m_2\) (широкий, \(S_2 = 3S\)). В равновесии давления на уровне маленького поршня совпадают: \[H = \frac{1}{\rho}\left(\frac{m_1}{S_1} - \frac{m_2}{S_2}\right).\] Работа, совершённая при сдвиге поршня, переходит в тепло (колебания затухают из-за вязкости, система возвращается в состояние равновесия), поэтому \(\Delta U = C\,\Delta T\). Объём жидкости сохраняется, поэтому \(S_1 x = S_2 y\), где \(y\) — смещение большого поршня. Изменение потенциальной энергии системы \[\Delta U = -m_1 g x + m_2 g y + \rho x S_1 g\left(H + \frac{y}{2} + \frac{x}{2}\right),\] где последнее слагаемое — перенос объёма \(\rho x S_1\) жидкости, центр масс которого поднимается с уровня \(-x/2\) до уровня \(H + y/2\) относительно маленького поршня. Подставляя \(H\) и \(y\), получаем \[\Delta T = \frac{\rho g x^2 S_1}{2C}\left(1 + \frac{S_1}{S_2}\right) = \frac{2\rho g x^2 S}{3C}.\] Решение не меняется, если считать \(H\) отрицательным.