Таяние ледяного полушара

Скорость таяния пропорциональна мощности, которая пропорциональна площади контакта. Выясните, как убывает высота льда со временем. Далее найдите ход луча через сферу по закону Снеллиуса.

Процесс таяния: за малое время \(\Delta t\) стол передаёт льду тепло \(\alpha S\,\Delta t\), где \(S\) — площадь соприкосновения, а \(\alpha\) — коэффициент пропорциональности. Этим теплом растаивает слой толщиной \(\Delta h\): \(\alpha S\,\Delta t = \lambda\rho S\,\Delta h\), где \(\lambda\) — удельная теплота плавления, \(\rho\) — плотность льда. Значит, высота льда над столом убывает равномерно: \(\dfrac{\Delta h}{\Delta t} = \dfrac{\alpha}{\lambda\rho}\) = const.

В начальный момент угол падения луча на полусферу \(\alpha = 30^\circ\), и по закону Снеллиуса \[\sin\beta = \frac{\sin\alpha}{n} = \frac{1}{2n}, \qquad \operatorname{tg}\beta = \frac{1}{\sqrt{4n^2 - 1}}.\] Преломлённый луч, угол которого с вертикалью равен \(\beta\), попадает на стол в точку с координатой \[x_0 = \frac{2R}{\sqrt{12n^2 - 3} + 1}\] от центра \(O\) (вывод через геометрию треугольника с углом \(\gamma = \alpha - \beta\)).

Когда остаётся лишь нижняя часть льда толщиной \(R\sqrt{3}/2\), луч попадает в точку на расстоянии \(R/2\) от \(O\). Так как таяние равномерно уменьшает толщину за время \(T_0\), это произойдёт в момент \(t = \dfrac{\sqrt{3}}{2}T_0\). Представляя, что не лёд опускается, а стол равномерно поднимается, видим, что точка пересечения луча со столом движется равномерно, поэтому до этого момента \(x(t)\) линейна, а затем \(x = R/2\).