Стержень на блоках
6/10Длинный стержень в форме усечённого конуса подвешен центрами своих концов к нитям, через систему лёгких блоков, как показано на рисунке. При этом его ось располагается горизонтально и находится в равновесии. Найдите, какую часть от всей длины стержня составляет расстояние от середины оси стержня до его центра тяжести, если угол \(\alpha\) между нитями на левом блоке равен \(120^\circ\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаЗапишите первый закон Ньютона для каждого подвижного блока: в проекции на вертикаль натяжения связаны через \(\cos(\alpha/2)\). Затем уравнение моментов сил относительно середины стержня.
Ответ\(\dfrac{x}{L} = \dfrac{1}{6}\) (центр тяжести правее середины).
РешениеДля левого подвижного блока в проекции на ось \(OY\): \(T_1 = 2T_3\cos\dfrac{\alpha}{2}\); для правого подвижного блока: \(T_2 = 2T_3\). Отсюда \(T_1 = T_2\cos\dfrac{\alpha}{2}\).
Уравнение моментов сил относительно середины стержня, где \(x\) — расстояние от середины до центра тяжести: \[T_1\left(\frac{L}{2} + x\right) - T_2\left(\frac{L}{2} - x\right) = 0.\] Подставляя \(T_1 = T_2\cos\dfrac{\alpha}{2}\) и решая относительно \(x\), получаем \[\frac{x}{L} = \frac{1-\cos\frac{\alpha}{2}}{2\cos\frac{\alpha}{2} + 2}.\] При \(\alpha = 120^\circ\) имеем \(\cos 60^\circ = \dfrac{1}{2}\), и \(\dfrac{x}{L} = \dfrac{1}{6}\). Знак положительный, значит центр тяжести находится правее середины стержня.
Похожие задачи
- Палочка, брусок и сосуд с водой МОШ 2010/11, 8 кл.
- Палочка с шарниром в жидкости МОШ 2011/12, 10 кл.
- Цилиндр со смещённым центром масс ВсОШ 2011/12, 10 кл.
- Цилиндр со смещённым центром масс ВсОШ 2011/12, 11 кл.
- Стопка кирпичей МОШ 2013/14, 8 кл.
- Доска на трёх пружинах МОШ 2013/14, 7-11 кл.