Пули в грузике на пружине

Скорость системы в положении равновесия найдите по закону сохранения импульса при застревании пули. При смещении, равном половине амплитуды, скорость составляет \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\) от максимальной скорости в тех же колебаниях.

Скорости в одинаковых фазах колебаний относятся как амплитудные значения скоростей. При смещении \(x = A/2\) скорость равна \(v = \omega\sqrt{A^2 - x^2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\omega A\), поэтому отношение скоростей в искомых точках равно \(\dfrac{\omega_2 A_2}{\omega_1 A_1}\), то есть отношению максимальных скоростей колебаний, которые равны скоростям системы в положении равновесия.

После первого выстрела (закон сохранения импульса): \(m v_0 = (M+m) v_1\), откуда \(v_1 = \dfrac{m v_0}{M+m}\).

После второго выстрела: \(m v_0 + (M+m) v_1 = (M+2m) v_2\), откуда \(v_2 = \dfrac{2 m v_0}{M+2m}\).

Тогда \[\frac{v_2}{v_1} = \frac{2(M+m)}{M+2m} = \frac{2(4+2)}{4+2\cdot 2} = \frac{3}{2}.\]