Чёрный ящик

Если два конденсатора разряжаются через один и тот же резистор (вольтметр) от одного напряжения до другого, времена разрядки относятся как ёмкости. Можно и соединить клеммы A и B, чтобы заряд перераспределился.

\(C_2=C_1t_2/t_1\) (времена разрядки до одного и того же напряжения) или \(C_2=\left(\dfrac{\mathcal E}{U}-1\right)C_1\) (перераспределение заряда).

Эту задачу можно выполнить несколькими способами. Во-первых, можно заметить, что если два конденсатора разряжаются на один и тот же резистор, начиная с одинаковых напряжений и заканчивая также одинаковыми напряжениями, то отношение времён разрядки равно отношению ёмкостей (поскольку при каждом данном напряжении токи разрядки одинаковы, но больший конденсатор несёт больший заряд — пропорционально ёмкости). Поэтому сначала можно зарядить известный конденсатор (с помощью батарейки) и дать ему разрядиться на вольтметр (обладающий некоторым конечным сопротивлением), измеряя время \(t_1\), необходимое для достижения заранее заданного конечного напряжения. Затем нужно повторить процедуру с другим конденсатором, измерить время \(t_2\) и вычислить \(C_2=C_1t_2/t_1\); погрешность оценивается как \[\Delta C_2=C_2\left(\frac{\Delta t_1}{t_1}+\frac{\Delta t_2}{t_2}+\frac{\Delta C_1}{C_1}\right).\]

Рекомендуется проверить пренебрежимость тока утечки между обкладками конденсатора. Для этого можно зарядить конденсатор, измерить напряжение, отключить вольтметр и подождать некоторое время (порядка \(t_1\) и \(t_2\)), после чего снова проверить напряжение.

Другой способ — полностью разрядить один конденсатор, замкнув накоротко его выводы, а другой зарядить до напряжения батарейки. Затем соединим клеммы A и B, так что конденсаторы перераспределят заряд \(Q=\mathcal EC_1\) и примут одинаковое напряжение: \(Q_1/C_1=(Q-Q_1)/C_2\ \Rightarrow\ Q_1=QC_1/(C_1+C_2)=\mathcal EC_1^2/(C_1+C_2)\). Следовательно, новое напряжение (которое мы измеряем) равно \(U=Q_1/C_1=\mathcal EC_1/(C_1+C_2)\), откуда \(C_2=\left(\dfrac{\mathcal E}{U}-1\right)C_1\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.