Экспериментатор и эскалатор

а) Аналитическое решение. Пусть \(v_1\) — собственная скорость Глюка в первом забеге, \(v_2\) — во втором забеге (\(v_2 < v_1\)), \(L\) — длина эскалатора, \(u\) — скорость движения ступеней эскалатора.

Предположим, что Глюк бежит по ходу движения эскалатора. Тогда время его движения \(t_1 = \dfrac{L}{v_1 + u}\). Количество ступенек \(N_1\) пропорционально пройденному пути \(S_1\) относительно ступенек эскалатора. В первом забеге \[N_1 \sim S_1 = v_1 t_1 = L\,\frac{v_1}{u + v_1} = \frac{L}{1 + u/v_1}.\] То же равенство верно и тогда, когда Глюк устал: \[N_2 \sim S_2 = v_2 t_2 = L\,\frac{v_2}{u + v_2} = \frac{L}{1 + u/v_2}.\] Из условия \(S_2 > S_1\) и полученных выражений следует \(v_1 < v_2\), что противоречит условию задачи, то есть наше предположение неверно.

Предположим обратное, что движение осуществлялось против хода эскалатора. Тогда вместо предыдущих выражений получим \[S_1 = v_1 t_1 = \frac{L}{1 - u/v_1}, \qquad S_2 = v_2 t_2 = \frac{L}{1 - u/v_2}.\] В этом случае противоречия не возникает, поэтому верно второе предположение: Глюк бежал против хода эскалатора.

б) Логическое решение. Допустим, Глюк бежал очень быстро. Тогда он насчитает \(N_2\) ступенек, количество которых чуть меньше общего числа ступенек между стартом и финишем на неподвижном эскалаторе. Если он будет бежать медленно (со скоростью эскалатора), то насчитает вдвое меньше ступенек. Этот вариант противоречит условию.

Допустим, Глюк бежал против хода эскалатора. Во втором забеге его скорость может быть лишь чуть больше скорости эскалатора. Тогда относительно стен здания гипермаркета его скорость мала, и он будет долго идти по эскалатору и насчитает много ступенек (\(N_2 \gg N_1\)), что удовлетворяет условию задачи.