Колесо со стержнем и трением

Колесо тормозит сила трения скольжения со стороны стержня, и её величину задаёт равновесие стержня. Работа этой силы на пути в несколько оборотов забирает кинетическую энергию колеса. Для первой части: сколько энергии у катящегося цилиндра и как она делится между поступательным и вращательным движением?

Вопрос. При скатывании без проскальзывания работа силы трения равна нулю, и убыль потенциальной энергии равна приобретённой кинетической энергии. Скорость оси связана с угловой скоростью соотношением \(v = \omega R\), а все массивные элементы тонкостенного цилиндра во вращательном движении имеют такие же скорости, как и в поступательном. Поэтому учёт энергии вращения сводится к удвоению кинетической энергии: \[mgH = 2\cdot\frac{mv^2}{2} = mv^2 \quad\Rightarrow\quad v = \sqrt{gH}.\]

Задача. Вращение колеса тормозится силой трения со стороны стержня. Сам стержень при этом находится в равновесии под действием силы тяжести, силы реакции шарнира, силы нормальной реакции колеса и «ответной» силы трения. До самой остановки последняя является силой трения скольжения, её величина равна \(\mu N\). Обозначим длину стержня \(L\) и для первого опыта запишем условие равновесия моментов сил относительно оси шарнира: \[\frac{mgL}{2}\sin\alpha - NL\sin\alpha + \mu N L\cos\alpha = 0 \quad\Rightarrow\quad F_{\text{тр}} = \mu N = \frac{\mu m g}{2}\cdot\frac{\operatorname{tg}\alpha}{\operatorname{tg}\alpha - \mu}.\] Колесо остановится, когда работа этой силы заберёт у колеса всю его кинетическую энергию: \[F_{\text{тр}}\cdot 2\pi R\cdot n_1 = \frac{MR^2}{2}\,\omega_0^2 \quad\Rightarrow\quad n_1 = \frac{MR\omega_0^2}{2\pi\mu m g}\cdot\frac{\operatorname{tg}\alpha-\mu}{\operatorname{tg}\alpha}.\] Во втором опыте направления сил трения между колесом и стержнем меняются на противоположные, и в этих уравнениях меняется только знак слагаемого с \(\mu\). Поэтому \[n_2 = \frac{\operatorname{tg}\alpha + \mu}{\operatorname{tg}\alpha - \mu}\,n_1 = \frac{4/\sqrt{3}}{2/\sqrt{3}}\cdot 160 = 320.\]