Изображение шарика в линзе

Прямое изображение, которое получается в одной линзе, и уменьшенное – признак одного типа линзы. Затем сравните отношение расстояний от линзы до шарика и до изображения с отношением поперечных размеров и примените формулу тонкой линзы к найденным расстояниям.

Вопрос. Для светящихся предметов (точки которых являются действительными источниками) в рассеивающей линзе изображение всегда прямое и уменьшенное, и алгебраическое поперечное увеличение \(\Gamma\) меняется от \(0\) до \(+1\) (\(+1\) соответствует предмету, прижатому к линзе). В собирающей линзе прямыми бывают только мнимые изображения предметов, и они всегда увеличенные, \(\Gamma > +1\) (кроме прижатого предмета, \(\Gamma = +1\)). Действительные изображения в собирающей линзе перевёрнутые, и для них \(\Gamma < 0\). Поэтому по \(\Gamma\) почти всегда можно определить тип линзы: \(\Gamma < 0\) и \(\Gamma > +1\) отвечают собирающей линзе (сюда формально входят случаи \(\Gamma = \pm\infty\), отвечающие приближению предмета к фокальной плоскости, хотя в этих случаях изображение наблюдать нельзя), а \(0 < \Gamma < +1\) – рассеивающей. Единственное исключение – \(\Gamma = +1\), когда предмет прижат к линзе и она фактически «не работает».

Задача. Изображение мнимое (действительный источник и его изображение находятся по одну сторону от линзы) и уменьшенное, а такая комбинация возможна только у рассеивающей линзы. Угол \(\alpha\) мал, поэтому луч, идущий вдоль прямой, соединяющей центр шарика с центром изображения, можно считать параксиальным и проходящим через оптический центр линзы. Пусть \(a\) и \(b\) – расстояния от центра шарика и от центра изображения до плоскости линзы. По данным задачи \[a - b = L\cos\alpha = \frac{84}{85}\,L, \qquad \frac{a}{b} = \frac{h}{h'} = \frac{2}{1{,}2} = \frac{5}{3},\] откуда \(a = \dfrac{42}{17}\,L\), \(b = \dfrac{126}{85}\,L\). По формуле тонкой линзы для мнимого изображения \[D = \frac{1}{a} - \frac{1}{b} = -\frac{(h-h')^2}{h\,h'\,L\cos\alpha} = -\frac{17}{63\,L}.\] Следовательно, \[|F| = \frac{63}{17}\,L = \frac{63}{17}\cdot 85~\text{см} = 315~\text{см}.\] Ответ: рассеивающая линза с фокусным расстоянием \(|F| = 315\) см.