Тепловые машины с изохорами и изотермами

В изотермическом процессе тепло равно работе, а работу можно оценить как площадь под графиком. Для серии машин подумайте, какая величина в них одинакова: отношение тепла изохорного нагрева к работе за цикл.

Вопрос. При изохорном нагревании работа не совершается, и подводимое тепло равно увеличению внутренней энергии. Гелий – одноатомный идеальный газ, и при \(V_2 = V_1\), \(p_1 = 0{,}9\,p_2\): \[Q_{12} = \frac{3}{2}\,(p_2V_2 - p_1V_1) = \frac{3}{20}\,p_2V_1 \quad\Rightarrow\quad p_2V_1 = \frac{20}{3}\,Q_{12}.\] В изотермическом процессе внутренняя энергия гелия не меняется, и подведённое тепло равно работе, которая находится как площадь криволинейной трапеции под графиком. Объём в этом процессе увеличивается во столько же раз (в \(10/9\)), во сколько уменьшается давление. Если, учитывая относительную малость изменений, приблизить криволинейную трапецию обычной трапецией, получим \[Q_{23} \approx \frac{p_2 + 0{,}9\,p_2}{2}\left(\frac{10}{9}V_1 - V_1\right) = \frac{19}{180}\,p_2V_1 = \frac{19}{27}\,Q_{12} \approx 234~\text{Дж}.\]

Примечание. Формула с логарифмом даёт точное значение \(Q_{23} = \dfrac{20}{3}\,Q_{12}\ln\dfrac{10}{9} \approx 233{,}9\) Дж. Если взять приближение \(\ln\left(1 + \frac{1}{9}\right) \approx \frac{1}{9}\), получится \(Q_{23} \approx 247\) Дж.

Задача. Обозначим \(A\) работу за цикл, \(Q_{12}\) – тепло изохорного нагревания, \(Q_{23}\) – тепло изотермического расширения, \(Q_{41}\) – тепло, отданное в изотермическом сжатии. Теплота подводится в процессах 12 и 23, поэтому количество теплоты нагревателя \(Q_H = Q_{12} + Q_{23}\). По условию \(Q_{12} = k\,A\), где \(k\) одна и та же константа для всей серии. Работа совершается только в изотермических процессах, и \(A = Q_{23} + Q_{41} = Q_{23}\left(1 - \dfrac{1}{n}\right)\), где \(n\) – отношение максимальной и минимальной температур (работа и теплота в изотерме пропорциональны абсолютной температуре). Тогда обратная величина КПД \[\eta^{-1} = \frac{Q_H}{A} = \frac{Q_{12}}{A} + \frac{Q_{23}}{A} = k + \frac{n}{n-1}.\] Для первой машины \(5 = k + \dfrac{1{,}5}{0{,}5} = k + 3\), откуда \(k = 2\). Для всей серии \[\eta = \frac{n-1}{3n-2}\] и при \(n_2 = 1{,}8\) получаем \(\eta_2 = \dfrac{4}{17} \approx 23{,}5\,\%\).