Шар в сферическом слое диэлектрика

Вне большей сферы поле равно нулю, так что её потенциал задан. Между сферами поле такое же, как у точечного заряда в диэлектрике, с точностью до константы. Для второй части: минимальная работа равна разности энергий поля до и после удаления слоя.

Вопрос. Вне большей сферы напряжённость поля равна нулю (суммарный заряд равен нулю), поэтому её потенциал равен нулю. Между сферами поле создаётся зарядом внутренней сферы и совпадает с полем точечного заряда \(+q\) в однородном диэлектрике, значит, \(\varphi(r) = C + \dfrac{q}{4\pi\varepsilon_0\varepsilon r}\) при \(R \le r \le 2R\). Из условия \(\varphi(2R) = 0\) находим \(C = -\dfrac{q}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon R}\), и \[\varphi\!\left(\frac{3R}{2}\right) = \frac{q}{6\pi\varepsilon_0\varepsilon R} - \frac{q}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon R} = \frac{q}{24\pi\varepsilon_0\varepsilon R}.\]

Задача. Удобно найти энергию системы, мысленно вставив между слоями бесконечно тонкие близкие сферы с зарядами \(-Q\) и \(+Q\): поле при этом не меняется. Система тогда распадается на сферические конденсаторы. Энергия сферического конденсатора с радиусами обкладок \(a\) и \(b\) и диэлектриком между ними равна \(W = \dfrac{q^2}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon}\cdot\dfrac{b-a}{ab}\), а его ёмкость \(C = 4\pi\varepsilon_0\varepsilon\,\dfrac{ab}{b-a}\). Складывая энергии трёх конденсаторов (шар с внутренним вставленным слоем, второй и третий слои, и последний слой с бесконечностью), получаем энергию поля шара с зарядом \(Q\) и слоя диэлектрика: \[W = \frac{Q^2}{8\pi\varepsilon_0\varepsilon}\left[\frac{\varepsilon}{R_1} - (\varepsilon - 1)\left(\frac{1}{R_2} - \frac{1}{R_3}\right)\right].\] Минимальная работа по удалению диэлектрика равна разности энергий конечной и начальной конфигураций. Для начальной конфигурации \(R_2 = 2R_1\), \(R_3 = 3R_1\): \[W = \frac{(5\varepsilon+1)\,Q^2}{48\pi\varepsilon_0\varepsilon R_1}.\] После удаления слоя между \(50\) см и \(R_3\) остаётся слой с \(R_2 = 2R_1\) и \(R_3' = 2{,}5R_1\): \[W' = \frac{(9\varepsilon+1)\,Q^2}{80\pi\varepsilon_0\varepsilon R_1}.\] Тогда \[A_{\min} = W' - W = \frac{(\varepsilon-1)\,Q^2}{120\pi\varepsilon_0\varepsilon R_1} = \frac{Q^2}{160\pi\varepsilon_0 R_1}.\] Заряд шара, заряженного от источника с ЭДС \(\mathcal{E}\), равен \(Q = 4\pi\varepsilon_0 R_1\mathcal{E}\), поэтому \[A_{\min} = \frac{\pi\varepsilon_0 R_1\mathcal{E}^2}{10}.\] При \(4\pi\varepsilon_0 = \dfrac{1}{9}\cdot 10^{-9}\) Кл\(^2\)с/(кг\(\cdot\)м\(^3\)) получаем численное значение \(A_{\min} = 8\) нДж.