Груз на пружине с трением

Рассмотрите предельное сжатие пружины, при котором груз ещё покоится, и изменение механической энергии системы за время движения.

1. Найдём максимальное сжатие пружины \(b\), при котором груз ещё покоится на столе. В случае сжатой пружины на груз действуют силы, показанные на рисунке (сама пружина не показана). Видно, что силу упругости уравновешивает сила трения покоя. При максимальном сжатии пружины имеем: \(kb = \max F_{\text{тр.покоя}} = \mu N = \mu m g\). Отсюда \(b = \dfrac{\mu m g}{k}\).

2. Изменение механической энергии системы «груз + пружина» при переходе из начального состояния в конечное равно работе силы трения скольжения: \[\frac{kb^2}{2} - \frac{kd^2}{2} = -\mu m g (d + b).\] По условию задачи пройденный грузом путь \(d + b > 0\). Поэтому, сократив на \((d + b)\), приходим к уравнению: \(\dfrac{k}{2}(b - d) = -\mu m g\). Учитывая, что \(\dfrac{\mu m g}{k} = b\), получим уравнение относительно \(d\): \(b - d = -2b\) с решением \(d = 3b\). Таким образом, \(d = \dfrac{3\mu m g}{k}\). Отсюда: \(m = \dfrac{kd}{3\mu g} = 2{,}5\) кг.

Ответ: \(m = 2{,}5\) кг.