Губка Менгера

Ниже вы видите компьютерный рисунок из «Википедии» (автор: Niabot), на котором изображены первые итерации построения фрактала под названием «Губка Менгера». На первой итерации в кубе делают три сквозных отверстия квадратного сечения. Оси отверстий взаимно перпендикулярны, перпендикулярны граням куба и проходят через середины граней. Длина стороны квадрата, лежащего в сечении отверстия, равна \(\dfrac13\) длины стороны грани куба. На второй итерации подобные отверстия проделывают в маленьких кубиках, образовавшихся на гранях большого куба и так далее.

Пусть имеется заготовка в виде куба с длиной стороны 1 м, изготовленная из пластика плотностью 1000 кг/м\(^3\), а также устройство, при помощи которого можно делать в этой заготовке отверстия квадратного сечения сколь угодно малого размера. Из куба решили изготовить \(n\)-ую итерацию губки Менгера.

1. Чему равна средняя плотность куба на четвёртой итерации (последний кубик на рисунке)?

2. Представим себе, что образующиеся на \(n\)-ой итерации полости заполняют пластиком плотностью 2000 кг/м\(^3\). Чему может быть равна средняя плотность куба на \(n\)-ой (\(n \ge 0\)) итерации? В ответе укажите границы диапазона возможных значений плотности.

3. Нам не нравится, что губка белая. Решили покрасить все грани губки на второй итерации (в том числе все внутренние) синей краской, расход которой составляет 100 г/м\(^2\). Хватит ли одной банки, содержащей 1 кг краски, для этого? А двух банок?