Резисторы R, 2R, \ldots, 100R

Пусть второй провод, идущий от батарейки, подключён между резисторами \(nR\) и \((n + 1)R\). Тогда схему, описанную в условии задачи, можно перерисовать в эквивалентном виде, показанном на рисунке, где \[\tilde R = R + 2R + \dots + 100R = \dfrac{100\cdot 101}{2}R,\quad r = R + 2R + \dots + nR = \dfrac{n(n + 1)}{2}R.\]

Тогда сила тока, протекающего через батарейку, равна \[I = \dfrac{\mathcal{E}}{r} + \dfrac{\mathcal{E}}{\tilde R - r} = \dfrac{\mathcal{E}\tilde R}{r(\tilde R - r)}.\] Далее минимально возможное значение силы тока \(I\) можно искать разными способами. Например, можно рассматривать знаменатель последнего выражения как квадратный трёхчлен: \(y(r) = -r^2 + r\tilde R\). Функция \(y(r)\) достигает максимума при \(r = \tilde R/2\). Отсюда получаем условие на величину \(n\): \[\dfrac{n(n + 1)}{2}R = \dfrac{100\cdot 101}{2\cdot 2}R,\] которое сводится к квадратному уравнению \[n^2 + n - 5050 = 0.\] Решая его, находим \(n \approx 70{,}565\). Поскольку \(n\) может принимать только целые значения, то в качестве ответа следует принять наиболее близкое к \(70{,}565\) целое число, то есть \(n = 71\).

Другой способ отыскания минимума выражения для тока, протекающего через батарейку, состоит в алгебраическом преобразовании знаменателя \(y(r)\) к следующему виду: \[y(r) = r(\tilde R - r) = \left(\dfrac{\tilde R}{2} + \left(r - \dfrac{\tilde R}{2}\right)\right)\left(\dfrac{\tilde R}{2} - \left(r - \dfrac{\tilde R}{2}\right)\right) = \left(\dfrac{\tilde R}{2}\right)^2 - \left(r - \dfrac{\tilde R}{2}\right)^2.\] Видно, что знаменатель можно представить в виде разности двух величин, одна из которых постоянная, а другая зависит от \(r\). Понятно, что знаменатель достигает максимума (а сила тока минимума) тогда, когда второе слагаемое обращается в ноль, то есть при \(r = \tilde R/2\). Дальнейший ход решения описан выше.