Шарик над плоскостью

Так как плоскость бесконечна, то её потенциал совпадает с потенциалом бесконечно удалённых точек, то есть может быть принят равным нулю. Значит, можно считать плоскость заземлённой и решать эту задачу с использованием метода изображений. Согласно этому методу, поле между шариком и плоскостью эквивалентно полю, которое создаётся двумя одинаковыми разноимённо заряженными шариками, расположенными так, что второй шарик является зеркальным отражением первого в плоскости (см. решение задачи 3.10). Пренебрегая эффектами взаимной электрической индукции, то есть перераспределением зарядов на шарике под действием поля другого шарика (это можно сделать ввиду того, что размеры шариков малы по сравнению с расстоянием до плоскости), найдём разность потенциалов между поверхностью положительно заряженного шарика и плоскостью: \[\Delta\varphi = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{L}\right) - \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{2L - R} - \dfrac{1}{L}\right) =\] \[= \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0}\left(\dfrac{1}{R} - \dfrac{1}{2L - R}\right) = \dfrac{Q}{2\pi\varepsilon_0R}\cdot\dfrac{1 - (R/L)}{2 - (R/L)} \approx \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_0R}.\] Здесь мы учли, что \(R \ll L\), и пренебрегли отношением \(R/L\) по сравнению со слагаемыми порядка единицы. Для получения ответа воспользуемся определением ёмкости: \(C = \dfrac{Q}{\Delta\varphi} \approx 4\pi\varepsilon_0R\). Отметим, что ответ совпадает с выражением для ёмкости уединённого шара.