Брызги шампанского!
6/10Данные для этой задачи взяты из статьи Касьянов Г. И. Физическая абсорбция углекислого газа. (https://krkgi.ru/glav/co2tech/index.htm)
Свойства газированных напитков (в том числе шампанских вин), во многом, определяются растворённым в них углекислым газом.
Растворимостью газа называется максимальное количество газа, которое может быть растворено в жидкости. Количество газа (может определяться массой, количеством молей, объёмом) растворённое в единице объёма жидкости называется концентрацией растворённого газа. Раствор, содержащий максимально возможное количество газа, называется насыщенным. Растворимость может изменяться в различных единицах: грамм/литр; моль/литр; литр/литр и т.д.
При не очень высоких давлениях растворимость газа описывается законом У. Генри: растворимость газа пропорциональна парциальному давлению газа над поверхностью жидкости: \[C = kP , \tag{1}\] где \(C\) — концентрация насыщенного раствора газа, \(P\) — парциальное давление растворяемого газа над поверхностью жидкости, \(k\) — постоянная Генри, зависящая от жидкости и растворяемого газа, также эта постоянная зависит от температуры.
Используйте следующие постоянные величины:
универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}31\ \text{Дж/(моль·К)}\);
связь между единицами давления \(1\ \text{атм} = 1{,}01\cdot 10^{5}\ \text{Па}\);
связь между абсолютной температурой по шкале Кельвина \(T\) и температурой по шкале Цельсия \(t\): \(T = t+273\);
атмосферное давление постоянно и равно \(P_0 = 1{,}00\ \text{атм} = 1{,}01\cdot 10^{5}\ \text{Па}\);
молярная масса углекислого газа \(\text{CO}_2\) — \(M = 44{,}0\) г/моль.
углекислый газ в газовой фазе является идеальным;
объём жидкого раствора не зависит от концентрации растворённого углекислого газа;
давлением насыщенных паров воды можно пренебречь.
Часть 1. Предварительная.
Для большей наглядности и упрощения численных расчётов в данной задаче рекомендуется использовать следующие единицы измерения: единица массы — 1 грамм; единица объёма — 1 литр; единица давления — 1 атмосфера. Назовём эту систему единиц ГЛА.
1.1 Найдите численное значение и размерность универсальной газовой постоянной \(R\) в указанной системе единиц.
При температуре равной \(t_0 = 0{,}00\,^\circ\text{C}\) и парциальном давлении над поверхностью воды \(P_0 = 1{,}00\) атм растворимость углекислого газа в воде равна \(k_V = 1{,}71\ \frac{\text{л}}{\text{л}}\) (т. е. в 1 литре воды растворяется 1,71 литра углекислого газа, причём этот объём рассчитывается при указанных температуре и давлении газа). Далее будем измерять концентрацию в граммах/литр (масса газа в граммах, растворенного в 1 литре воды).
1.2 Запишите формулу для расчёта коэффициента \(k_m\) в законе Генри (1), если концентрация рассчитывается в \(\text{г}/\text{л}\), а давление в атмосферах. Рассчитайте её численное значение.
Для получения сильно газированной воды её насыщают углекислым газом при температуре \(P = 3{,}0\) атм и температуре \(t = 0{,}0\,^\circ\text{C}\).
1.3 Рассчитайте массу углекислого газа, который содержится в двухлитровой бутылке \(V = 2{,}0\) л сильно газированной воды.
Зависимость постоянной Генри \(k_m(t)\) от температуры описывается формулой: \[k_m = \frac{k_0}{1+\alpha t} , \tag{2}\] где \(k_0 = 3{,}4\) г/(л·атм), \(\alpha = 5{,}5\cdot 10^{-2}\) К\(^{-1}\) — постоянные величины, \(t\) — температура по шкале Цельсия.
Часть 2. Открываем бутылку!
В стандартную бутылку заливают \(V_0 = 0{,}75\) л винного купажа (вино не содержащее углекислого газа) температуры \(t_0 = 20\,^\circ\text{C}\). И плотно запечатывают бутылку. При этом в бутылке остаётся объём \(v = 0{,}15\) л, заполненный воздухом (содержанием углекислого газа в нём можно пренебречь), находящимся при атмосферном давлении. После этого бутылки опускают в подвал для вызревания. Согласно справочным данным в каждой бутылке в результате брожения образуется \(m_0 = 7{,}5\) г углекислого газа.
2.1 Найдите зависимость давления в бутылке от её температуры в диапазоне от \(0\,^\circ\)C до \(30\,^\circ\)C. Постройте график полученной зависимости.
В Листах ответов приведите формулы, по которым вы проводили расчёты. Результаты расчётов (в т.ч. промежуточных) приведите в Таблице 1, график постройте на приготовленном для Вас бланке. Допускается проведение промежуточных численных расчётов.
Неопытный молодой человек открывает бутылку с шампанским при её температуре равной \(t_0 = 25\,^\circ\)C. При этом пробка выскакивает из бутылки и шампанское струёй начинает вылетать из бутылки.
2.2 Рассчитайте, какой объём шампанского останется в бутылке после такого «эксперимента».
Считайте, что при выскакивании пробки давление в бутылке резко падает до атмосферного, а углекислый газ очень быстро выделяется в виде пузырьков равномерно по всему объёму, до тех пор пока вино не станет насыщенным при комнатных условиях.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаМасса газа, оставшегося растворённым, равна \(k_m(t)P_0V\) при комнатной температуре. Оставшееся в бутылке вино занимает объём, в который входит и выделившаяся пена; сравните его с объёмом пены при атмосферном давлении.
Ответ1.1) \(R \approx 8{,}23\cdot 10^{-2}\) атм·л/(моль·К); 1.2) \(k_m = \dfrac{M\,k_V}{RT} \approx 3{,}35\) г/(л·атм); 1.3) \(m = k_mPV = 20\) г; 2.1) см. Таблицу 1 (давление внутри бутылки, атм, при \(t = 0, 5, \dots, 30\,^\circ\)C: 3,6; 4,3; 4,9; 5,5; 6,1; 6,7; 7,2); 2.2) \(V_{\text{ост}} = \eta V_0 \approx 0{,}16\) л.
Решение1.1. Выразим размерность универсальной газовой постоянной через единицы давления и объёма: \[PV = \nu RT \quad\Rightarrow\quad R = \frac{PV}{\nu T} = 8{,}31\ \frac{\text{Па}\cdot\text{м}^3}{\text{моль}\cdot\text{К}} .\] Подстановка значений единиц измерения даёт численное значение универсальной газовой постоянной в системе ГЛА: \[R = 8{,}31\cdot\frac{\dfrac{1}{1{,}01\cdot 10^{5}}\ \text{атм}\cdot 10^{3}\ \text{л}}{\text{моль}\cdot\text{К}} = 8{,}23\cdot 10^{-2}\ \frac{\text{атм}\cdot\text{л}}{\text{моль}\cdot\text{К}} .\]
1.2. В одном литре воды при температуре \(t_0 = 0{,}00\,^\circ\)C и давлении \(P = 1{,}00\) атм растворяется объём газа, численно равный \(k_V = 1{,}71\) л. Масса этого газа, как следует из уравнения Менделеева–Клапейрона, равна \[PV = \frac{m}{M}RT \quad\Rightarrow\quad m = M\frac{PV}{RT} .\] Её численное значение \[m = M\frac{Pk_V}{RT} = 44{,}0\ \frac{\text{г}}{\text{моль}}\cdot\frac{1{,}01\cdot 10^{5}\ \text{Па}\cdot 1{,}71\cdot 10^{-3}\ \text{м}^3} {8{,}31\ \frac{\text{Дж}}{\text{моль}\cdot\text{К}}\cdot 273\ \text{К}} = 3{,}35\ \text{г} .\] Следовательно, постоянная Генри для углекислого газа при нулевой температуре равна \[k_m = 3{,}35\ \frac{\text{г}}{\text{л}\cdot\text{атм}} .\]
1.3. Масса растворённого газа по закону Генри равна \[m = k_mPV = 3{,}35\cdot 3{,}0\cdot 2{,}0 = 20\ \text{г} .\]
Часть 2. Открываем бутылку!
2.1. Давление в бутылке равно давлению газов (воздуха и образовавшегося углекислого газа). Согласно закону Дальтона, давление смеси газов равно сумме парциальных давлений компонент смеси. Так как объём свободной от вина части бутылки остаётся неизменным, то для неизменной массы воздуха справедливо соотношение \[\frac{P_{\text{в}}}{T} = \frac{P_0}{T_0} \quad\Rightarrow\quad P_{\text{в}} = \frac{P_0}{T_0}T .\] Масса углекислого газа, находящегося в свободной части сосуда, зависит от температуры и равна разности \[m = m_0 - k_mPV_0 ,\] здесь \(k_mP\) — масса растворённого углекислого газа. Для углекислого газа, находящегося в газообразном состоянии, справедливо уравнение Менделеева–Клапейрона \[Pv = \frac{m}{M}RT = \frac{m_0-k_mPV_0}{M}RT .\] Преобразуем это уравнение к виду, удобному для расчётов: \[P = \widetilde P\left(1 - \frac{k_m}{C_0}P\right) ,\qquad \widetilde P = \frac{m_0RT}{Mv} = \widetilde P_0\frac{T}{T_0} ,\qquad C_0 = \frac{m_0}{V_0} .\] Здесь \(\widetilde P\) — давление углекислого газа, при условии, что он весь находится в газообразном состоянии; \(C_0\) — максимальная концентрация раствора. Из уравнения получаем искомое выражение для парциального давления углекислого газа: \[P = \frac{\widetilde P}{1+\dfrac{k_m(t)}{C_0}\widetilde P} .\] Давление в бутылке будет равно сумме давлений воздуха и углекислого газа.
Численные расчёты удобно проводить в следующей последовательности:
постоянные: \(C_0 = \dfrac{m_0}{V_0} = 10\) г/л; \(\widetilde P_0 = \dfrac{m_0RT_0}{Mv} = 25{,}5\) атм;
для каждой температуры: \(P_{\text{в}} = \dfrac{273+t}{273}\) атм; \(\widetilde P = 25{,}5\,\dfrac{273+t}{273}\) атм; \(k_m = \dfrac{3{,}4}{1+0{,}055t}\); \(P = \dfrac{\widetilde P}{1+k_m(t)\widetilde P/C_0}\); суммарное давление \(P_{\text{в}} + P\).
2.2. Рассчитаем массу растворённого газа после открывания бутылки (при \(t = 25\,^\circ\)C): \[m_1 = \frac{k_0}{1+\alpha t}P_0V_0 = \frac{3{,}4}{1+0{,}055\cdot 25}\cdot 1{,}0\cdot 0{,}75 = 1{,}07\ \text{г} .\] Следовательно, масса выделившегося газа равна \(m = m_0 - m_1 = 6{,}43\) г. Его объём найдём из уравнения состояния: \[V_1 = \frac{mRT}{MP} = \frac{6{,}43\cdot 8{,}23\cdot 10^{-2}\cdot 298}{44\cdot 1} = 3{,}58\ \text{л} .\] Поэтому объём образовавшейся пены равен \(V = V_0 + V_1 = 4{,}33\) л. Найдём, какая доля этой пены останется в бутылке: \[\eta = \frac{V_0+v}{V} = \frac{0{,}90}{4{,}33} = 0{,}21 .\] Окончательно находим, какой объём вина останется в бутылке: \[V_{\text{ост}} = \eta V_0 = 0{,}16\ \text{л} .\]