Взаимодействия цилиндрических магнитов
8/10Описание магнитных полей и магнитных взаимодействий является математически более сложной задачей, чем описание электростатических взаимодействий. Во многом это связано с отсутствием точечных магнитных зарядов, из-за чего простейшим источником магнитного поля является магнитный диполь. Однако, во многих задачах можно формально (но математически корректно) ввести точечные магнитные заряды, не забывая при этом, что реально существующие источники магнитного поля имеют нулевой суммарный магнитный заряд. Такой подход используется в данном задании при расчёте магнитных полей, создаваемых постоянными магнитами, и характеристик их взаимодействия.
Теоретическое введение.
Согласно современным представлениям магнитное поле постоянных магнитов создаётся токами намагничивания, протекающими по поверхности намагниченного тела (эта идея первоначально была сформулирована А. М. Ампером и часто называется гипотезой Ампера).
Таким образом, поле небольшого цилиндрического магнита эквивалентно полю кругового тока. В качестве основной характеристики витка с током выступает магнитный момент, который равен \[p_m = IS ,\tag{1}\] где \(I\) — сила тока в контуре, \(S\) — площадь этого контура.
Альтернативный подход к описанию поля цилиндрического магнита является рассмотрение поля магнитного диполя — частицы, состоящей из двух точечных противоположных магнитных зарядов (\(+q_m\) и \(-q_m\)), находящихся на малом расстоянии \(a\) друг от друга. Магнитный момент в этом случае определяется как \[p_m = q_m a . \tag{2}\] Отметим, что оба способа описания магнитных полей справедливы для точек, расстояние до которых от источников (магнита, кольца с током, магнитного диполя) значительно больше размеров самих источников. Считайте, что это условие выполняется во всех пунктах данной задачи.
Точечный магнитный заряд \(q_m\) создаёт центральное магнитное поле, модуль вектора индукции которого определяется по закону, аналогичному закону Кулона для электростатических полей \[B = \frac{\mu_0}{4\pi}\frac{q_m}{R^2} , \tag{3}\] здесь \(R\) — расстояние от точечного заряда, до точки, в которой рассчитывается поле, \(\mu_0 = 4\pi\cdot 10^{-7}\) Гн·м — магнитная постоянная.
На точечный магнитный заряд \(q_m\) со стороны магнитного поля с индукцией \(\vec B\) действует сила, равная \[\vec F = q_m\vec B . \tag{4}\] Основной характеристикой постоянных магнитов является остаточная намагниченность \(M_R\), которая определяется как магнитный момент единицы объёма \[M_R = \frac{p_m}{\Delta V} .\] Эта величина обычно указывается в паспорте магнита. Вместо остаточной намагниченности также приводят величину \(B_R = \mu_0M_R\), которая называется остаточная индукция (т. е. индукция магнитного поля внутри магнита).
Ещё раз подчеркнём, в настоящее время магнитных зарядов не обнаружено, поэтому величины магнитных зарядов \(q_m\) не должны входить в конечные результаты, которые должны выражаться через реальные характеристики магнитов — их магнитный момент \(p_m\) и намагниченность \(M\).
Часть 1. Характеристики магнита.
В данной задаче рассматривается постоянный цилиндрический неодимовый магнит со следующими характеристиками: диаметр магнита \(d = 4{,}0\) мм; высота магнита \(h = 10{,}0\) мм; остаточная индукция поля магнита \(B_R = 1{,}4\) Тл и направлена вдоль оси магнита; плотность материала магнита \(\rho_{Nd} = 7{,}6\cdot 10^{3}\) кг/м\(^3\).
1.1 Рассчитайте массу магнита \(m\).
1.2 Рассчитайте магнитный момент магнита \(p_m\).
1.3 Рассчитайте силу тока намагничивания, текущего по боковой поверхности магнита \(I_m\).
Часть 2. Магнитное поле магнита.
Рассмотрите магнитное поле, создаваемое точечным магнитным зарядом \(q_m\). Точечный заряд находится в начале отсчёта оси \(z\). Положение произвольной точки задаётся координатой \(z\) и расстоянием до этой оси \(r\). В этом случае вектор индукции магнитного поля \(\vec B^{(0)}\) разумно разложить на две компоненты: осевую \(\vec B^{(0)}_z\), направленную параллельно оси \(z\); радиальную \(\vec B^{(0)}_r\), направленную перпендикулярно оси.
2.1 Запишите формулы для осевой \(B^{(0)}_z(z,r)\) и радиальной \(B^{(0)}_r(z,r)\) компонент вектора индукции поля точечного заряда, как функции координат точки \((z,r)\).
Теперь Вам необходимо рассмотреть магнитное поле, создаваемое описанным цилиндрическим магнитом. Для расчёта этого поля можно считать, что оно совпадает с магнитным полем магнитного диполя.
2.2 Нарисуйте схематически картину силовых линий магнитного поля, создаваемого магнитным диполем (цилиндрическим магнитом).
Пусть в начале оси \(z\) находится магнитный диполь с магнитным моментом \(p_m\), направленным вдоль оси \(z\). Положение произвольной точки \(A\), как и ранее, задаётся координатами \((z,r)\).
2.3 Найдите зависимость осевой компоненты индукции поля магнитного диполя \(B_z(z,r)\) от координат точки \((z,r)\).
2.4 Постройте схематический график зависимости осевой компоненты вектора индукции \(B_z(z_0,r)\) от координаты \(r\) при некотором фиксированном значении координаты \(z_0 > 0\).
2.5 Найдите зависимость индукции поля на оси \(z\) в зависимости от координаты \(z\) — \(B_z(z)\).
2.6 Найдите зависимость радиальной компоненты индукции поля магнитного диполя \(B_r(z,r)\) от координат точки \((z,r)\).
2.7 Постройте схематический график зависимости радиальной компоненты вектора индукции \(B_z(z,r_0)\) от координаты \(z\) при некотором фиксированном значении координаты \(r_0 > 0\).
2.8 Найдите значения модуля координаты \(z=b\), при котором модуль функции \(B_z(z,r_0)\) принимает максимальные значения \(B_{r,\max}\). Найдите, чему равно это максимальное значение.
Примечания. 1. Вы можете построить схематические графики, даже если вам не удалось получить явные функциональные зависимости — это будет оценено! 2. Для облегчения вашей работы дадим математическую подсказку. Если величина \(a\) мала, то для расчёта поля диполя Вы можете использовать следующее приближение, справедливое для любой функции \[F(z+a) \approx F(z) + F'(z)\cdot a . \tag{4}\] где \(F'(z)\) — производная функции \(F(z)\), вычисленная в точке \(z\). 3. При необходимости Вы можете использовать приближённую формулу \[(1+x)^{\gamma} \approx 1 + \gamma x , \tag{5}\] справедливую при \(x \ll 1\) и любых степенях \(\gamma\).
Часть 3. Притяжение и отталкивание.
Два одинаковых цилиндрических магнита помещены в вертикальную стеклянную трубку. Магнит 1 закреплён, магнит 2 может свободно двигаться вдоль трубки. Расстояние между магнитами можно считать значительно больше размеров магнитов. Ускорение свободного падения считать равным \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Ответы выразите через магнитный момент магнитов \(p_m\) и их массу \(m\).
3.1 Найдите зависимость силы магнитного взаимодействия между магнитами, как функцию расстояния \(z\) между ними.
3.2 Найдите, при каком расстоянии между магнитами \(L\), магнит 2 может находиться в равновесии. Рассмотрите два случая, а) и б) ориентации магнитов, показанные на рисунке.
3.3 Укажите, какой из экспериментов, а) или б) может быть продемонстрирован экспериментально. Ответ кратко обоснуйте.
3.4 Рассчитайте численное значение равновесного расстояния \(L\), для магнитов, параметры которого приведены в Части 1.
Часть 4. Магнитная вязкость — токи Фуко.
Цилиндрический магнит помещают внутрь длинной вертикальной тонкостенной алюминиевой трубки. Внутренний радиус трубки равен \(r_0 = 3{,}0\) мм, толщина стенок равна \(h_0 = 0{,}30\) мм. Удельное электрическое сопротивление алюминия равно \(\rho = 2{,}8\cdot 10^{-8}\) Ом·м.
По-прежнему, считаем массу магнита \(m\) и его магнитный момент \(p_m\) известными.
Пусть скорость движения магнита постоянна и равна \(V\). Выделим на стенке трубки тонкий слой толщиной \(\Delta z\), находящийся на расстоянии \(z\) от середины магнита. В пп. 4.1–4.4 ответы выразите через параметры магнитного поля \(b\) и \(B_{r\max}\), найденные в п. 2.8.
4.1 Найдите силу индуцированного тока \(\Delta I\), протекающего по выделенному кольцу \(\Delta z\).
4.2 Найдите мощность теплоты, выделяющейся в трубке при движении магнита.
4.3 Найдите силу вязкого магнитного трения, действующую на движущийся магнит.
4.4 Найдите скорость установившегося падения магнита в трубке \(V\).
4.5 Рассчитайте численное значение скорости падения магнита, характеристики которого приведены в Части 1.
Примечание. Зависимость радиальной составляющей магнитного поля магнита на стенке трубки можно приближенно заменить на ступенчатую функцию, показанную на рисунке. Используйте параметры этой функции \(b\) и \(B_{r\max}\), найденные в п. 2.8. Если вам не удалось найти ответы в п.2.8, то в данной части считайте их известными.
▶Показать разборСкрыть разбор
ПодсказкаДля радиальной компоненты поля на малом расстоянии \(\Delta z\) от магнита используйте приближение \(B_r(z+\Delta z)\); для части 2.8 найдите экстремум производной функции \(B_r(z,r)\) по \(z\).
Ответ1.1) \(m \approx 9{,}6\cdot 10^{-4}\) кг; 1.2) \(p_m \approx 0{,}14\) А·м\(^2\); 1.3) \(I_m \approx 1{,}1\cdot 10^{4}\) А; 2.1) \(B^{(0)}_z = \dfrac{\mu_0 q_m}{4\pi}\dfrac{z}{(z^2+r^2)^{3/2}}\), \(B^{(0)}_r = \dfrac{\mu_0 q_m}{4\pi}\dfrac{r}{(z^2+r^2)^{3/2}}\); 2.3) \(B_z = \dfrac{\mu_0 p_m}{4\pi}\dfrac{2z^2-r^2}{(z^2+r^2)^{5/2}}\); 2.5) \(B_z(z) = \dfrac{\mu_0 p_m}{2\pi z^3}\); 2.6) \(B_r = \dfrac{\mu_0 p_m}{4\pi}\dfrac{3zr}{(z^2+r^2)^{5/2}}\); 2.8) \(b = \dfrac{r}{2}\), \(B_{r\max} = C\dfrac{\mu_0 p_m}{r^3}\), \(C = \dfrac{3}{8\pi}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{5/3} \approx 0{,}068\); 3.1) \(F = -\dfrac{3\mu_0 p_m^2}{2\pi z^4}\); 3.2) \(L = \sqrt[4]{\dfrac{3\mu_0 p_m^2}{2\pi mg}}\) (для случая а)); 3.3) экспериментально реализуем вариант а) — положение равновесия устойчиво; в случае б) равновесие неустойчиво; 3.4) \(L \approx 3{,}3\) см; 4.1) \(\Delta I = \dfrac{B_r V\Delta z\,h_0}{\rho}\); 4.2) \(P = \dfrac{8\pi r_0 bh_0}{\rho}B_{r\max}^2V^2\); 4.3) \(F = \dfrac{8\pi r_0 bh_0}{\rho}B_{r\max}^2V\); 4.4) \(V = \dfrac{mg\rho}{8\pi r_0 bh_0 B_{r\max}^2}\); 4.5) \(B_{r\max} \approx 0{,}45\) Тл, \(V \approx 3{,}9\) см/с.
РешениеЧасть 1.
1.1. Так как плотность и геометрические размеры цилиндрического магнита заданы, то расчёт его массы труда не представляет: \[m = \rho V = \rho\frac{\pi d^2}{4}h = 9{,}6\cdot 10^{-4}\ \text{кг} .\]
1.2. Магнитный момент магнита рассчитывается по определению намагниченности \(M_R = \dfrac{p_m}{V}\), откуда \(p_m = M_RV\). Используя связь \(B_R = \mu_0M_R\), получим \[p_m = M_RV = \frac{B_R}{\mu_0}\cdot\frac{\pi d^2}{4}h = 0{,}14\ \text{А}\cdot\text{м}^2 .\]
1.3. Расчёт силы тока намагничивания можно провести по формуле магнитного момента, выражаемого через силу тока намагничивания: \(p_m = IS\), \[I_m = \frac{p_m}{S} = \frac{B_R}{\mu_0}h \approx 1{,}1\cdot 10^{4}\ \text{А} .\]
Часть 2. Магнитное поле магнита.
2.1. Требуемые компоненты индукции поля точечного магнитного заряда находятся из формулы «типа Кулона» \(B = \dfrac{\mu_0 q_m}{4\pi R^2}\) и рисунка: \[B^{(0)}_z(z,r) = \frac{\mu_0 q_m}{4\pi R^2}\cos\alpha = \frac{\mu_0 q_m}{4\pi}\frac{z}{\left(z^2+r^2\right)^{3/2}} , \qquad B^{(0)}_r(z,r) = \frac{\mu_0 q_m}{4\pi R^2}\sin\alpha = \frac{\mu_0 q_m}{4\pi}\frac{r}{\left(z^2+r^2\right)^{3/2}} .\]
2.2. Картина силовых линий магнитного диполя (поля линейного магнита, поля кругового тока, поля Земли и т. д.) приводится во всех учебниках физики. Силовые линии выходят из северного полюса и входят в южный.
2.3. Для решения данного пункта можно воспользоваться подсказкой, приведённой в условии. Здесь приведено решение по первому, более короткому пути: \[B_z(z,r) = B^{(0)}_z(z,r) - B^{(0)}_z(z+a,r) = -\left(B^{(0)}_z(z,r)\right)'_z\cdot a .\] Аккуратное вычисление производной приводит к результату: \[B_z(z,r) = -\frac{\mu_0 q_m a}{4\pi}\left(\frac{z}{(z^2+r^2)^{3/2}}\right)'_z = \frac{\mu_0 p_m}{4\pi}\,\frac{2z^2-r^2}{\left(z^2+r^2\right)^{5/2}} .\]
2.4. Схематический график этой функции можно построить на основе качественного анализа (функция чётна, нули функции при \(r = \pm\sqrt{2z}\), очевидны участки монотонности, стремление к нулю с отрицательной стороны при \(z\to\pm\infty\)). Результат построения показан на рисунке.
2.5. Значения индукции поля на оси можно получить, полагая \(r = 0\) в формуле для \(B_z\): \[B_z(z) = \frac{\mu_0 p_m}{2\pi z^3} .\]
2.6. Радиальная компонента поля рассчитывается аналогично (и несколько проще): \[B_r(z,r) = -\frac{\mu_0 q_m a}{4\pi}\left(\frac{r}{(z^2+r^2)^{3/2}}\right)'_z = \frac{\mu_0 p_m}{4\pi}\,\frac{3zr}{\left(z^2+r^2\right)^{5/2}} .\]
2.7. График этой функции также строится на основе качественного анализа (функция нечётна: обращается в нуль при \(z = 0\); стремится к нулю при \(z\to\pm\infty\)). Результат — на рисунке.
2.8. Поиск экстремумов функции проводится стандартным методом — в точках экстремумов производная функции обращается в нуль. Поэтому вычислим производную от функции (10) и приравняем её к нулю: \[\left(B_r(z,r)\right)'_z = \frac{\mu_0 p_m}{4\pi}\,3r\,\frac{r^2-4z^2}{\left(z^2+r^2\right)^{7/2}} = 0 .\] Из полученного уравнения следует, что положение экстремума \(z^* = \pm b = \pm\dfrac{r}{2}\). Значения функции в экстремуме равны \[B_{r\max}(z,r) = \frac{\mu_0 p_m}{4\pi}\,\frac{3zr}{\left(z^2+r^2\right)^{5/2}}\Bigg|_{z=\frac{r}{2}} = C\,\frac{\mu_0 p_m}{r^3} ,\] здесь безразмерная константа равна \(C = \dfrac{3}{8\pi}\left(\dfrac{4}{5}\right)^{5/3}\approx 0{,}068\). Таким образом, полный ответ на вопросы данного пункта: \(b = \dfrac{r}{2}\), \(B_{r\max} = C\dfrac{\mu_0p_m}{r^3}\).
Часть 3. Притяжение и отталкивание.
3.1. Рассмотрим магнитный диполь, находящийся в неоднородном магнитном поле \(B(z)\). Ось диполя совпадает с направлением поля (что соответствует условию рассматриваемой задачи). В этом случае суммарная сила, действующая на диполь, равна \[F = -q_mB(z) + q_mB(z+a) .\] Учитывая малость величины \(a\), это выражение можно преобразовать к виду \[F = q_m a\,\frac{B(z+a)-B(z)}{a}\approx p_mB'(z) .\] Зависимость индукции поля на оси от координаты задаётся формулой (9). Поэтому сила взаимодействия между магнитами равна \[F = p_mB'(z) = p_m\left(\frac{\mu_0p_m}{2\pi z^3}\right)' = -\frac{3\mu_0p_m^2}{2\pi z^4} .\]
3.2. При ориентации магнитов, указанной на рис. а), сила магнитного отталкивания уравновешивает силу тяжести: \[\frac{3\mu_0p_m^2}{2\pi L^4} = mg .\] Из этого уравнения находим искомое расстояние \[L = \sqrt[4]{\frac{3\mu_0p_m^2}{2\pi mg}} .\]
3.3. Реализовать экспериментально можно только вариант а), так как в этом случае положение равновесия является устойчивым. В случае б) положение равновесия неустойчиво.
3.4. Подстановка ранее найденных численных значений параметров в формулу приводит к результату: \(L = 3{,}3\) см.
Часть 4. Магнитная вязкость — токи Фуко.
4.1. При движении магнита в каждой точке стенки трубки изменяется магнитное поле, в следствие чего в ней возникают электрические токи, называемые токами Фуко. Для расчёта их характеристик удобно перейти в систему отсчёта, связанную с магнитом. В этой системе трубка движется в магнитном поле, поэтому источником ЭДС является сила Лоренца, действующая на заряды, которая возникает благодаря радиальной составляющей индукции поля магнита. Сила Лоренца направлена по касательной к поверхности трубки. Величина этой силы равна \(F_L = qVB_r\). Соответственно, ЭДС, возникающая в контуре, охватывающем трубку, равна \[\varepsilon = \frac{1}{q}F_L\cdot 2\pi r_0 = 2\pi r_0B_rV .\] Теперь с помощью закона Ома определим силу тока \[\Delta I = \frac{\varepsilon}{R} = \frac{\varepsilon}{\rho\frac{2\pi r_0}{\Delta z\,h_0}} = \frac{B_rV\,\Delta z\,h_0}{\rho} .\]
4.1. (продолжение) Наконец, воспользуемся рекомендуемым приближением для функциональной зависимости радиальной составляющей поля. Ступенчатое приближение даёт \[\Delta I = \frac{B_{r\max}V\Delta z\,h_0}{\rho} .\]
4.2. Ток возникает во всех частях трубки, в которых имеется радиальное магнитное поле. В рамках используемого «ступенчатого» приближения радиальная составляющая имеется в полосе шириной \(4b\). Отметим, что направление тока не существенно, так как мощность выделяющейся теплоты не зависит от направления тока. Поэтому можно записать, что «эффективная» сила тока равна \[I = \frac{B_{r\max}Vh_0}{\rho}\cdot 4b .\] Мощность теплоты, выделяющейся в трубке, рассчитывается по закону Джоуля–Ленца: \(P = I^2R\), где \(R = \rho\dfrac{2\pi r_0}{4bh_0}\) — электрическое сопротивление части стенки трубки, по которой протекает электрический ток. Собирая все промежуточные результаты, получим \[P = \left(\frac{B_{r\max}Vh_0}{\rho}\cdot 4b\right)^2\rho\frac{2\pi r_0}{4bh_0} = \frac{8\pi r_0bh_0}{\rho}B_{r\max}^2V^2 .\]
4.3. Рассчитанную мощность теплоты можно связать с мощностью, развиваемой силой вязкого магнитного трения: \(P = F\cdot V\). С помощью этой формулы находим явное выражение для этой силы \[F = \frac{8\pi r_0bh_0}{\rho}B_{r\max}^2V .\]
4.4. Приравняем найденное значение силы вязкого трения к силе тяжести падающего магнита: \(\dfrac{8\pi r_0bh_0}{\rho}B_{r\max}^2V = mg\), откуда \[V = \frac{mg\rho}{8\pi r_0bh_0B_{r\max}^2} .\]
4.5. Численные расчёты: \(B_{r\max} = C\dfrac{\mu_0p_m}{r_0^3} \approx 0{,}45\) Тл; \[V = \frac{mg\rho}{8\pi r_0bh_0B_{r\max}^2} \approx 3{,}9\ \text{см/с} .\]