Потери энергии

Какая сила нужна, чтобы придать нижней части цепочки скорость \(v_0\) за малое время? Сравните работу внешней силы с изменением кинетической и потенциальной энергии цепочки.

1.1. Диск разгоняется под действием силы трения \(F\) со стороны движущейся ленты. По третьему закону Ньютона такая же по модулю сила \(F'\) действует на ленту. Поэтому, чтобы лента продолжала двигаться с прежней скоростью, на столько же должна увеличиться сила тяги \(F''\), действующая на ленту. Именно работа этой силы как сообщает кинетическую энергию диску, так и приводит к выделению теплоты. Расчёт работы проведём в неподвижной системе отсчёта. Сила трения, ускорение диска и время разгона: \[F = \mu mg ,\qquad a = \frac{F}{m} = \mu g ,\qquad \tau = \frac{v_0}{a} = \frac{v_0}{\mu g} .\] За это время лента сместится на расстояние \[x_2 = v_0\tau = \frac{v_0^2}{\mu g} ,\] работа этой силы \[A = Fx_2 = \mu mg\,\frac{v_0^2}{\mu g} = mv_0^2 .\] Эта работа равна сумме приобретённой кинетической энергии диска \(\Delta E = \dfrac{mv_0^2}{2}\) и выделившейся теплоты \(Q\). Следовательно, \[Q = \frac{mv_0^2}{2} .\] Способ решения 2. Рассмотрим движение диска в системе отсчёта, связанной с лентой. Эта система отсчёта инерциальна. В ней диск имел начальную скорость \(v_0\), а затем в результате трения остановился. Следовательно, начальная кинетическая энергия диска полностью выделилась в виде теплоты. Откуда следует полученный результат.

1.2. Можно воспользоваться вторым способом решения предыдущей задачи 1.1. Сразу приведём ответ: количество выделившейся теплоты равно \[Q = \frac{mv_0^2}{2} .\] Приведём ещё один обобщающий метод решения. Обозначим силу, разгоняющую шарик, \(\vec F\). Работу силы, приложенной к шарику, можно рассчитать как сумму \(A_1 = \sum_k F_k\Delta x_{1k}\), где \(F_k\) — сила на малом интервале. По второму закону Ньютона \(F_k = m\dfrac{\Delta v_{1k}}{\Delta t}\), поэтому \[A_1 = \sum_k m\,v_{1k}\Delta v_{1k} = \sum_k m\,\Delta\!\left(\frac{v_{1k}^2}{2}\right) = \frac{mv_0^2}{2} .\] Работа силы, движущей воду, \(A_2 = \sum_k mv_0\Delta v_{1k} = mv_0^2\). Работа внешней силы в два раза превышает изменение кинетической энергии шарика, следовательно, выделившаяся теплота равна полученной кинетической энергии: \(Q = \dfrac{mv_0^2}{2}\).

1.3.1. Так как цепочка поднимается с постоянной скоростью, то в любой момент времени сумма сил, действующих на поднятую часть цепочки, равна нулю. При подъёме цепочки на малую высоту \(\Delta z\) нижняя её часть длины \(\Delta z\) должна быстро увеличить скорость от нуля до скорости цепочки \(v_0\). Эта сила натяжения определяется через скорость изменения импульса: \[F' = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{v_0\Delta m}{\Delta t} = \frac{m}{l}v_0^2 ,\] где \(\Delta m = \dfrac{m}{l}\Delta z = \dfrac{m}{l}v_0\Delta t\) — масса части цепочки, которая отрывается от стола за малый промежуток времени \(\Delta t\). Таким образом, сила, с которой тянут цепочку вверх при равномерном движении, должна быть равна сумме силы тяжести поднятой части \(m'g = \dfrac{m}{l}zg\) и найденной силы \(F'\): \[F = \frac{m}{l}zg + \frac{m}{l}v_0^2 .\] График этой линейной функции показан на рисунке.

1.3.2. Работа найденной силы численно равна площади под графиком: \[A = \frac{mv_0^2}{l}\cdot l + \frac{1}{2}mgl = mv_0^2 + \frac{1}{2}mgl .\] Энергия, сообщённая цепочке, пошла на увеличение кинетической энергии цепочки \(\dfrac{mv_0^2}{2}\), её потенциальной энергии \(\dfrac{1}{2}mgl\) и выделившуюся теплоту \(Q\). Поэтому \[A = \frac{mv_0^2}{2} + \frac{1}{2}mgl + Q .\] Из этого уравнения следует, что количество выделившейся теплоты равно \[Q = \frac{mv_0^2}{2} .\]