Весы

Резистор на поверхности балки лежит на дуге радиуса \(r \pm d/2\) с тем же углом, что и участок недеформируемой линии. Мостовая схема при малых \(\Delta R\) даёт напряжение, пропорциональное разности относительных изменений сопротивлений \(R_1\) и \(R_2\).

Проведем из центра дуги окружности недеформируемой линии два луча к краям резистора №1. Эти два луча отсекут на недеформируемой линии дугу, размер которой будет равен размеру резистора \(l_0\) до деформации. Положим угол между лучами равным \(\beta\). Тогда размер резистора в недеформируемом состоянии окажется равным \(l_0 = \beta r\).

Размер подложки после деформирования балки составит \[l = \beta(r + d/2).\] Тогда величина относительного удлинения резистора составит \[\varepsilon_1 = \frac{l - l_0}{l_0} = \frac{d}{2r}.\] Относительное изменение длины резистора №2 будет таким же по модулю, но отрицательным: \[\varepsilon_2 = -\frac{l - l_0}{l_0} = -\frac{d}{2r}.\]

В ненагруженном состоянии балки напряжения на резисторах №1 и №2 одинаковы и равны половине напряжения источника питания. Показания вольтметра в этом случае будут нулевыми. При нагрузке балки сопротивление резистора №1 увеличится на величину \[\Delta R = k\varepsilon R_0 = k\cdot\frac{d}{2r}\cdot R_0 \ll R_0,\] а сопротивление резистора №2 уменьшится на ту же величину. Силы тока через резисторы \(R_1\) и \(R_2\), соответственно, равны \[I_1 = \frac{\mathcal{E}}{R_1 + R_0} = \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R}, \qquad I_2 = \frac{\mathcal{E}}{R_2 + R_0} = \frac{\mathcal{E}}{2R_0 - \Delta R}.\] Показание вольтметра будет равно разности напряжений на резисторах \(R_3 = R_0\) и составит \[U = (I_2 - I_1)R_0 = \left(\frac{\mathcal{E}}{2R_0 - \Delta R} - \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R}\right)\cdot R_0 = \frac{2\mathcal{E}R_0\Delta R}{4R_0^2 - (\Delta R)^2} \approx \frac{\mathcal{E}}{2}\cdot\frac{\Delta R}{R_0}.\] С учетом ранее полученного выражения для изменений сопротивлений резисторов: \[U = \frac{\mathcal{E}kd}{4r} = \frac{\mathcal{E}kdm}{4\alpha}.\] Таким образом, зависимость величины показаний вольтметра от массы поставленного на платформу груза является прямой пропорциональностью, то есть \(n = 1\). Тогда для коэффициента этой зависимости имеем: \[\gamma = \frac{\mathcal{E}kd}{4\alpha}.\]

Если недеформируемая линия балки будет проходить на некотором расстоянии \(x\) от верхней поверхности балки, то формулы для относительной деформации подложек резисторов №1 и №2 примут вид: \[\begin{cases} \varepsilon_1 = x/r,\\ \varepsilon_2 = -(d - x)/r. \end{cases}\] Соответственно, относительные изменения сопротивлений: \[\begin{cases} \Delta R_1/R_0 = kx/r,\\ \Delta R_2/R_0 = -k(d - x)/r. \end{cases}\] Тогда для показаний вольтметра аналогично предыдущему случаю получим: \[U' = \left(\frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R_2} - \frac{\mathcal{E}}{2R_0 + \Delta R_1}\right)\cdot R_0 = \frac{\mathcal{E}R_0(\Delta R_1 - \Delta R_2)}{(2R_0 + \Delta R_1)(2R_0 + \Delta R_2)} \approx \frac{\mathcal{E}}{4}\cdot\frac{\Delta R_1 - \Delta R_2}{R_0},\] откуда \[U' = \frac{k\mathcal{E}}{4}\left(\frac{x}{r} + \frac{d - x}{r}\right) = \frac{\mathcal{E}kd}{4r} = U.\] То есть полученный ранее ответ не зависит от места положения недеформируемой линии.

Теперь предположим, что балка ко всему прочему нагрелась. Тогда к относительным изменениям длины подложек резисторов добавятся еще и удлинения за счет теплового расширения балки: \[\begin{cases} \varepsilon_1 = d/(2r) + \varepsilon_3,\\ \varepsilon_2 = -d/(2r) + \varepsilon_3. \end{cases}\] Проведя аналогичные вычисления, получим, что и в этом случае показания вольтметра останутся прежними:

\[U'' = \frac{k\mathcal{E}}{4}\left(\frac{d}{2r} + \varepsilon_3 - \frac{d}{2r} - \varepsilon_3\right) = \frac{\mathcal{E}kd}{4r} = U.\] То есть предложенная схема тензоэлектрического датчика является термостабильной и в целом не чувствительна к деформациям растяжения-сжатия балки.