Колебания поршней в сообщающихся сосудах

Обозначим массы поршней в узком и широком сосудах через \(m_1\) и \(m_2\) соответственно. Для удобства введем также \(S_1\equiv S\) и \(S_2\equiv3S\). Предположим, что в состоянии равновесия большой поршень находится выше маленького на высоту \(H\). Приравнивая давления жидкости на уровне маленького поршня, получаем (\(p_0\) — внешнее давление): \[p_0+\dfrac{m_1g}{S_1}=p_0+\dfrac{m_2g}{S_2}+\rho gH\quad\Leftrightarrow\quad H=\dfrac1\rho\left(\dfrac{m_1}{S_1}-\dfrac{m_2}{S_2}\right). \tag{1}\] При надавливании на поршень и его перемещении на расстояние \(x\) вниз над системой совершается положительная работа. Эта работа равна изменению потенциальной энергии системы \(\Delta U\). Когда поршень отпускают, начинаются колебания, которые постепенно затухают из-за наличия вязкости. Система возвращается в исходное состояние механического равновесия. Поскольку сообщающиеся сосуды теплоизолированы, вся совершенная над системой работа приводит к ее нагреву, то есть \[\Delta U=C\Delta T\quad\Leftrightarrow\quad\Delta T=\dfrac{\Delta U}{C}. \tag{2}\] Поскольку объем жидкости сохраняется, перемещения маленького \(x\) и большого \(y\) поршней связаны соотношением \[S_1x=S_2y\quad\Leftrightarrow\quad y=\dfrac{S_1}{S_2}x. \tag{3}\] Рассчитаем изменение потенциальной энергии системы по сравнению с состоянием равновесия. Маленький поршень опускается на величину \(x\), что уменьшает энергию на величину \(m_1gx\). Большой поршень поднимается на \(y\). Соответствующее изменение энергии равно \(m_2gy\). Разберемся с потенциальной энергией жидкости. Все изменение можно представить как перенос жидкости массой \(\rho xS_1\) из одной области, помеченной на рис. 4 знаком «\(-\)», в область, отмеченную знаком «\(+\)». При этом центр масс перемещаемого объема жидкости поднимается с уровня \(-x/2\) относительно маленького поршня на уровень \(H+y/2\). Таким образом, полное изменение потенциальной энергии равно \[\Delta U=-m_1gx+m_2gy+\rho xS_1g\left[H+\dfrac y2-\left(-\dfrac x2\right)\right]. \tag{4}\]

С учетом (12) и (13) имеем \[\Delta T=\dfrac{\rho gx^2S_1}{2C}\left(1+\dfrac{S_1}{S_2}\right)=\dfrac{2\rho gx^2S}{3C}. \tag{5}\] В решении мы предполагали, что в равновесии большой поршень находится выше маленького, однако все выкладки остаются в силе и в обратном случае, если считать \(H\) отрицательным. Ответ: Изменение температуры системы составляет \(2\rho gx^2S/(3C)\).