Два кубика из разных металлов

Обозначим длину ребра кубика за \(a\), удельные сопротивления материалов, из которых изготовлены кубики, через \(\rho_1\) и \(\rho_2\). Согласно условию линии тока направлены всегда перпендикулярно граням, к которым подключен источник. Поэтому для определения сопротивлений можно пользоваться формулой \(R=\rho l/S\), где \(l\) — длина проводника, \(S\) — площадь поперечного сечения. Сопротивления кубиков равны \[R_1=\dfrac{\rho_1 a}{a^2}=\dfrac{\rho_1}{a},\qquad R_2=\dfrac{\rho_2 a}{a^2}=\dfrac{\rho_2}{a}. \tag{1}\]

На левой части рисунка кубики подключены к источнику последовательно, поэтому полное сопротивление составляет \[R_{\text{I}}=R_1+R_2=\dfrac{\rho_1+\rho_2}{a}. \tag{2}\] При изменении формы кубиков объем сохраняется. Следовательно, увеличение длины проводника в \(\lambda\) раз приводит к уменьшению площади поперечного сечения в \(\lambda\) раз. В результате сопротивления становятся равными \[R_1'=\dfrac{\rho_1\lambda a}{a^2/\lambda}=\dfrac{\lambda^2\rho_1}{a},\qquad R_2'=\dfrac{\rho_2\lambda a}{a^2/\lambda}=\dfrac{\lambda^2\rho_2}{a}. \tag{3}\] На правой части рисунка вытянутые кубики подключены параллельно. Полное сопротивление равно \[R_{\text{II}}=\dfrac{R_1'R_2'}{R_1'+R_2'}=\dfrac{\lambda^2\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)a}. \tag{4}\] По условию в обоих случаях в цепи течет одинаковый ток. Значит, сопротивления \(R_{\text{I}}\) и \(R_{\text{II}}\) должны совпадать: \[\dfrac{\rho_1+\rho_2}{a}=\dfrac{\lambda^2\rho_1\rho_2}{(\rho_1+\rho_2)a}. \tag{5}\] Сокращая на \(a\) и вводя переменную \(x\equiv\rho_1/\rho_2\), получаем квадратное уравнение \[x^2+\left(2-\lambda^2\right)x+1=0. \tag{6}\] Решения этого уравнения \[x_\pm=\dfrac{\lambda^2-2\pm\sqrt{(\lambda^2-2)^2-4}}{2}. \tag{7}\] Отметим, что \(x_+x_-=1\). Таким образом, \(x_+\) дает отношение большего удельного сопротивления к меньшему, а \(x_-\) — обратную величину. То есть оба решения квадратного уравнения описывают одну и ту же ситуацию. Решения имеют смысл только при \(\lambda\geqslant2\). В противном случае условие задачи не может быть реализовано. При \(\lambda=2\), естественно, \(x_+=x_-=1\) и \(\rho_1=\rho_2\). Ответ: Отношение большего удельного сопротивления к меньшему равно \(\left[(\lambda^2-2)+\sqrt{(\lambda^2-2)^2-4}\right]/2\). Решение существует только при \(\lambda\geqslant2\).