Кошка и доска

Разложите начальную скорость на горизонтальную и вертикальную составляющие; при прыжке с доски доска уезжает назад и меняет скорость кошки относительно пола.

Рассмотрим прыжок с пола. Обозначим начальную скорость кошки за \(\vec v\), а время полёта за \(t\), тогда из системы уравнений \[\begin{cases}v_x t=L,\\ v_y t-gt^2/2=0\end{cases} \tag{1}\] получим связь проекций скорости на горизонтальную (x) и вертикальную (y) оси с длиной прыжка \(L\): \[v_xv_y=\dfrac{gL}{2}. \tag{2}\] При прыжке с доски это соотношение останется прежним, но начальная скорость кошки относительно пола \(\tilde{\vec v}\) будет другой, и кошка прыгнет на расстояние \(\tilde L\): \[\tilde v_x\tilde v_y=\dfrac{g\tilde L}{2}. \tag{3}\] Скорость \(\tilde{\vec v}\) можно найти по правилам перехода из одной инерциальной системы отсчета в другую (в начале фазы полета доску уже можно считать инерциальной системой). Из условия следует, что скорость кошки относительно доски в начале фазы полета равна начальной скорости \(\vec v\) относительно пола в первом прыжке, следовательно \[\tilde v_x=v_x-u,\qquad \tilde v_y=v_y, \tag{4}\] где \(u\) — скорость доски относительно пола, с которой она поедет в противоположную прыжку сторону. Найдем эту скорость. Вдоль горизонтальной оси внешние силы на кошку и доску не действуют, следовательно выполняется закон сохранения x-проекции импульса, запишем его в системе пола: \[m(v_x-u)-Mu=0\quad\Rightarrow\quad u=\dfrac{mv_x}{M+m}. \tag{5}\] Теперь мы можем найти искомое расстояние, поделив (3) на (2) с учетом (4) и (5): \[\tilde L=\dfrac{\tilde v_x}{v_x}L=\dfrac{M}{M+m}L=\dfrac23L. \tag{6}\] Ответ: Кошка приземлится на расстоянии \(2L/3\) от места второго толчка.