Космонавт и астероид

Сначала найдите скорость, с которой космонавт должен оттолкнуться, чтобы попасть в астероид вовремя. Затем выпишите закон сохранения импульса при встрече. Подумайте, нужно ли гасить весь импульс или только его составляющую, направленную от станции.

Пусть точка встречи — \(O\), \(x = |BO| = L\operatorname{tg}\alpha\), \(l = |CO| = L/\cos\alpha\). Из равенства времён полёта космонавта и астероида до точки \(O\): \(\dfrac{2L - x}{v} = \dfrac{l}{u}\), откуда \[u = \frac{v}{2\cos\alpha - \sin\alpha}.\] Заметим, что \(\operatorname{tg}\alpha < 2\), иначе космонавт не доберётся до астероида.

По закону сохранения импульса после столкновения (масса системы \(3m\)): \[V_x = \frac{2v - u\sin\alpha}{3}, \qquad V_y = \frac{u\cos\alpha}{3}, \qquad V = \frac{1}{3}\sqrt{u^2 + 4v^2 - 4uv\sin\alpha}.\] Направление скорости: \(\operatorname{tg}\varphi = \dfrac{V_y}{V_x} = \dfrac{1}{4 - 3\operatorname{tg}\alpha}\).

Если \(\operatorname{tg}\varphi < 0\) (при \(4/3 < \operatorname{tg}\alpha < 2\)) или \(-\pi/2 < \alpha < 0\), после столкновения космонавт и астероид удаляются от станции. Тогда нужно погасить весь импульс: \(\Delta P = 3mV\). Если погасить импульс сразу, а затем дать бесконечно малый импульс в сторону станции, можно вернуться.

Если \(0 < \operatorname{tg}\alpha < 4/3\), сравним углы \(\varphi\) и \(\alpha\): неравенство \(\operatorname{tg}\varphi - \operatorname{tg}\alpha < 0\) сводится к \(\dfrac{1 - 4\operatorname{tg}\alpha + 3\operatorname{tg}^2\alpha}{4 - 3\operatorname{tg}\alpha} < 0\). При \(\dfrac{1}{3} < \operatorname{tg}\alpha < 1\) выполняется \(\varphi < \alpha\): у скорости \(V\) есть составляющая к станции, и достаточно погасить только составляющую полного импульса, перпендикулярную \(CO\). До столкновения эту составляющую имел только астероид, поэтому \[\Delta P = 3mV\cos(\alpha - \varphi) = 2mv\cos\alpha.\] В остальных случаях (\(0 < \alpha < \operatorname{arctg}\dfrac{1}{3}\) или \(\dfrac{\pi}{4} < \alpha < \operatorname{arctg}\dfrac{4}{3}\)) после столкновения космонавт и астероид удаляются от станции и \(\Delta P = 3mV\).

Ответ: \(\Delta P = 3mV\) при \(-\dfrac{\pi}{2} < \alpha < \operatorname{arctg}\dfrac{1}{3}\) или \(\dfrac{\pi}{4} \leqslant \alpha < \operatorname{arctg} 2\); \(\Delta P = 2mv\cos\alpha\) при \(\operatorname{arctg}\dfrac{1}{3} \leqslant \alpha < \dfrac{\pi}{4}\); при \(\alpha \geqslant \operatorname{arctg} 2\) встреча невозможна.