Две линзы на пружине

Когда пружина не напряжена, первая линза даёт изображение в фокусе второй. Когда линза висит, найдите растяжение пружины \(y\) через весовую массу линзы и закон Гука, а положение изображения — через формулу тонкой линзы для второй линзы, где источником служит первое изображение.

Когда линза Л\(_2\) удерживается, параллельный пучок получается, если первая линза даёт действительное изображение \(S_1\) в фокусе второй. По формуле тонкой линзы \(\dfrac{1}{F} = \dfrac{1}{f} + \dfrac{1}{d}\) при \(d = 2F\) находим \(f = 2F\). Значит, длина ненапряжённой пружины \(x_0 = 2F + F = 3F\).

Пусть линза Л\(_2\) висит на пружине, растянутой весом \(mg\) до длины \(x\); удлинение \(y = x - x_0\), и по закону Гука \(m = \dfrac{ky}{g}\). Расстояние от Л\(_2\) до первого изображения \(d_1 = x - 2F = y + F\). По формуле тонкой линзы расстояние до второго изображения \[f_1 = \frac{F(y + F)}{y}.\] По условию \(|SS_2| = 9F\), то есть \(2F + x + f_1 = 9F\), или \(6F + y + \dfrac{F^2}{y} = 9F\). Отсюда \[y^2 - 3Fy + F^2 = 0, \qquad y = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}F.\] Два положения линзы Л\(_2\) дают одно и то же положение изображения, поэтому масса линзы \[m = \frac{ky}{g} = \frac{kF(3 \pm \sqrt{5})}{2g}.\]

Ответ: \(m = \dfrac{kF(3 \pm \sqrt{5})}{2g}\).