Брусок и мячик

Удар по верхнему ребру раскручивает брусок, так что часть энергии уходит во вращение. Запишите законы сохранения импульса, момента импульса относительно центра бруска и энергии. Время удара можно устремить к нулю.

Пусть \(v\) — скорость мячика перед ударом, \(u\) — после удара. Брусок под действием горизонтальной силы \(F\) в точке \(G\) начинает двигаться поступательно и вращаться. Возьмём систему отсчёта, связанную с нижним правым углом \(E\), и запишем второй закон Ньютона и уравнение моментов относительно центра бруска. При \(F > (b/c)Mg\) брусок начинает вращаться относительно \(E\) (\(b\) — ширина, \(c\) — высота бруска).

Перейдём к пределу \(F \to \infty\), \(\Delta t \to 0\) при \(F\Delta t = \Delta p = m(u + v)\). Тогда скорости центра масс бруска \[v_{Cx} = \frac{\Delta p}{M}, \qquad v_{Cy} = \frac{c}{b}\cdot\frac{\Delta p}{M}.\] Законы сохранения энергии, горизонтального импульса и момента импульса относительно центра бруска дают \[\frac{u}{v} = \frac{1 - (m/M)(1 + c^2/b^2)}{1 + (m/M)(1 + c^2/b^2)}.\] Отношение расстояний \(|AF|\) и \(|BF|\) равно отношению скоростей \(v\) и \(u\), так как время полёта определяется высотой \(|FG|\) и одинаково для траекторий \(GA\) и \(GB\). Поэтому \(|BF| = \dfrac{u}{v}L\). При \(c/b = 2\): \[|AB| = |AF| - |BF| = \frac{10\,(m/M)}{1 + 5\,m/M}\,L.\] Предельные случаи: при \(m \ll M\) отрезок мал, \(|AB| \approx 10(m/M)L\) (брусок — почти неподвижная стена); при \(M \ll m\) получаем \(|AB| \approx 2L\).

Ответ: \(|AB| = \dfrac{10\,(m/M)}{1 + 5\,m/M}\,L\).