Шары с газом

Запишите уравнение Менделеева—Клапейрона для каждого шара при общем давлении и сохранении общего числа молей. Складываются величины \(1/T_i\). Исключите неизвестные \(R\), \(\nu_0\) и \(V\), поделив два уравнения.

При соединении шаров газ перераспределяется так, что давление во всех шарах одинаково и равно \(P_0\); количество вещества сохраняется: \(\sum_{i=1}^{N}\nu_i = N\nu_0\). Для каждого шара \(P_0 V = \nu_i R T_i\), откуда \(\nu_i = \dfrac{P_0 V}{R T_i}\) и \[\Theta \equiv \sum_{i=1}^{N}\frac{1}{T_i} = \frac{N R\nu_0}{P_0 V}.\] После подключения \((N+1)\)-го шара давление становится \(P\), и аналогично \[\Theta + \frac{1}{T_{N+1}} = \frac{(N+1)R\nu_0}{PV}.\] Поделив второе равенство на первое, исключаем \(R\), \(\nu_0\) и \(V\): \[\frac{\Theta + T_{N+1}^{-1}}{\Theta} = \frac{(N+1)P_0}{NP} \quad\Rightarrow\quad T_{N+1} = \left[\Theta\left(\frac{(N+1)P_0}{NP} - 1\right)\right]^{-1}.\] Абсолютная температура положительна, поэтому давление \(P\) можно получить только при \((N+1)P_0 > NP\).

Ответ: \(T_{N+1} = \left[\Theta\left(\dfrac{(N+1)P_0}{NP} - 1\right)\right]^{-1}\), \(\Theta = \sum_{i=1}^{N} \dfrac{1}{T_i}\), при \((N+1)P_0 > NP\); иначе давление \(P\) создать невозможно.