Хроматическая аберрация

Решение

A1. Положим линзу на стол и нажмем пальцем на ее край. Линза повернется так, чтобы плоскость стола стала касательной к поверхности линзы у ее края (см. рис. 3).

Рис. 3. Измерение радиуса кривизны поверхности линзы

Измерим высоту поднятия противоположного края линзы над поверхностью стола \(h=(8.5 \pm 0.5)~мм\), а также диаметр линзы \((D=60.0 \pm 0.5~мм\). Запишем связь между величиной радиуса кривизны поверхности линзы \(R\), углом \(\alpha\), характеризующим угловой размер поверхности, и измеренными величинами:

\[D=2 \sin \frac{\alpha}{2} R \approx \alpha R\]\[h=R(1-\cos \alpha) \approx R \frac{\alpha^{2}}{2} \qquad(3)\]Тогда, исключая угловой размер поверхности линзы, получим для радиуса ее кривизны:\[R=\frac{D^{2}}{2 h}=(212 \pm 16)~мм\qquad(4)\]

Ответ:

\[R=(212 \pm 16)~мм\]

A2. Соберем установку, в которой источником света будет являться светодиод, излучение которого будет фокусироваться линзой на экране (см. рис. 4). С помощью подставки и пластилина отцентрируем систему для получения наилучших результатов. Будем считать наиболее резким изображением четкое изображение кристалла светодиода.

Рис. 4. Определение фокусного расстояния линзы

Измерим зависимость расстояния между изображением и линзой от расстояния между источником и линзой. Рассчитаем в каждом случае фокусное расстояние линзы.

Усредним значение:

\[F=204~мм\]Случайную погрешность оценим как среднее квадратичное отклонение \(\Delta F_{сл}=1~мм\). Кроме всего прочего положение источника может быть определено с точностью не выше \(2~мм\). Положение линзы также определяется с некоторой погрешностью. Полную приборную погрешность оценим приблизительно в \(\Delta F_{пр}=2~мм\). Суммарная погрешность определения фокусного расстояния в данном эксперименте не ниже \(3~мм\). Итого для фокусного расстояния имеем:

Ответ:

\[F=204 \pm 3~мм\]

A3. По полученным данным рассчитаем показатель преломления линзы:\[n=1+ \frac{R}{2F}=0.05 \pm 0.04 \qquad(5)\]

Ответ:

\[n=0.05 \pm 0.04\]

A4. Поскольку показатель преломления линзы зависит от длины волны света, то для светодиодов разного цвета фокусное расстояние линзы будет различно. Несмотря на высокую точность измерения фокусного расстояния, для оценки разницы фокусных расстояний подобная установка не подходит. Причина состоит в том, что светодиод нельзя считать точечным источником при таких характерных расстояниях. Однако, если перед светодиодом расположить тонкий объект, то каждую точку его границы можно считать точечным источником вторичного излучения. Положение такого объекта можно определить с более высокой точностью, чем положение светящегося источника в светодиоде. Также, в случае использования препятствия из фольги, положение вторичного источника (края фольги) становится независимым от положения светодиода, и не изменяется при смене светодиода. Измерим таким образом фокусные расстояния для синего и красного светодиодов. Рассчитаем в каждом эксперименте разницу этих расстояний.

A5.

Усредним значение фокусного расстояния для синего светодиода: \[F{'}=204~мм\]Видно, что полученное значение с высокой степенью точности совпадает с измеренным ранее. Оценим случайную погрешность измерений фокусного расстояния в этом случае. \[\Delta F_{сл}^{'}=0.4~мм\]Видно, что в данном методе измерений, разброс результатов для фокусного расстояния существенно меньше, чем в методе, подразумевающем поиск изображения самого светодиода.

Рассчитаем для каждого положения линзы разность фокусных расстояний и усредним результаты измерений.

Ответ:

\[\Delta F=4.7 \pm 0.3~мм\]

A6. Свяжем разность показателей преломления и разность фокусных расстояний

\[\Delta n=(n-1) \frac{\Delta F}{F}=0.012 \pm 0.001 \qquad(6)\]

Ответ:

\[\Delta n=0.012 \pm 0.001\]

Источник: pho.rs/p/4369.