Задачи › Баллистика: бросок под углом

Тень от мячика

  1. Тень от мячика

    Интернет-олимпиада 2022/23, 11 кл.
    7/10

    Солнце поднялось над горизонтом на угол \(\beta=0{,}45\) рад. Над ровной горизонтальной поверхностью земли под углом \(\alpha=0{,}79\) рад к горизонту со скоростью \(V_0=6{,}8\) м/с бросают маленький мяч и начинают отсчёт времени. Вектор скорости мяча лежит в вертикальной плоскости, содержащей луч, идущий из точки старта в направлении на Солнце. Ось \(0X\) направлена слева направо. Определите:

    Рисунок

    1. Максимальное расстояние \(S\) между мячом и его тенью на земле.

    2. Начальную скорость \(V_1\) движения тени мяча по земле (проекцию на ось \(0X\), с возможным учётом знака).

    3. Максимальную по модулю скорость \(V_{max}\) движения тени мяча по земле.

    4. Момент времени \(t\), когда скорость движения тени мяча по земле была минимальной по модулю.

    Ответы вводите с точностью не хуже, чем до \(0{,}1\%\). Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Сопротивление воздуха учитывать не нужно.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Тень мяча лежит на земле на луче от Солнца через мяч. Найдите, как расстояние от мяча до тени зависит от его высоты, а затем запишите координату тени как функцию времени.

    Ответ

    1) \(S \approx 2{,}7369 \pm 0{,}007\) м;  2) \(V_1 \approx -5{,}2136 \pm 0{,}013\) м/с;  3) \(V_{max} \approx 14{,}7858 \pm 0{,}037\) м/с;  4) \(t \approx 0{,}256983 \pm 0{,}00064\) с.

    Решение

    1. Расстояние от мяча до тени вдоль луча Солнца равно \(s = y/\sin\beta\), где \(y\) — высота мяча. Высота максимальна при \(y_{max} = \dfrac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g}\), поэтому \[S = \frac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g\sin\beta} \approx 2{,}737~\text{м}.\]

    2. Координата тени \(X = x - y\,\mathrm{ctg}\,\beta\), где \(x = V_0\cos\alpha\, t\), \(y = V_0\sin\alpha\, t - \dfrac{gt^2}{2}\). Тень движется с постоянным ускорением \(g\,\mathrm{ctg}\,\beta\), а её скорость \[V_x(t) = V_0(\cos\alpha - \sin\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta) + g\,\mathrm{ctg}\,\beta\cdot t.\] В начальный момент \(V_1 = V_0(\cos\alpha - \sin\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta) \approx -5{,}21\) м/с.

    3. Скорость тени линейна по времени, поэтому по модулю максимальна в момент падения мяча на землю \(t_п = \dfrac{2V_0\sin\alpha}{g} \approx 0{,}986\) с: \[V_{max} = |V_x(t_п)| \approx 14{,}79~\text{м/с}.\]

    4. Скорость тени обращается в нуль при \[t = -\frac{V_1}{g\,\mathrm{ctg}\,\beta} \approx 0{,}257~\text{с}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх