Сложность 1–10 — наша примерная оценка: 1–2 — одна формула, 3–4 — несколько шагов по стандартной схеме, 5–6 — нужна идея, известная олимпиаднику, 7–8 — нестандартная идея или длинное решение, 9–10 — самые трудные задачи финалов.
Объём, масса и плотность жидкости
В стакане находится неизвестная жидкость. Измерьте:
объём жидкости (с точностью до целых);
массу жидкости (с точностью до \(0{,}5\) г).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса жидкости — разность массы стакана с жидкостью и пустого стакана; объём — по шкале мензурки.
Объём, масса и плотность жидкости
В стакане находится неизвестная жидкость. Измерьте:
объём жидкости (с точностью до целых);
массу жидкости (с точностью до целых);
плотность жидкости (с точностью до тысячных).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПлотность — отношение массы жидкости к её объёму; массу стакана при взвешивании нужно вычесть.
Объём и масса жидкости
В стакане находится неизвестная жидкость. Измерьте:
объём жидкости (с точностью до целых);
массу жидкости (с точностью до \(0{,}5\) г).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОбъём берите по шкале мерного стакана. Массу жидкости найдите взвешиванием стакана с жидкостью и без неё.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 285 \pm 2{,}5\) мл; 2) \(m = 273{,}585 \pm 0{,}61\) г.
Взвешивание жидкости
В стакане находится неизвестная жидкость. Измерьте:
объём жидкости (с точностью до \(0{,}5\) мл);
массу жидкости (с точностью до \(0{,}5\) г).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса жидкости — разность масс стакана с жидкостью и пустого стакана; взвешивайте на чашечных весах гирями.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 81{,}04 \pm 0{,}8\) мл; 2) \(m = 64{,}782 \pm 0{,}61\) г.
Давление куба на стол
Имеется штатив, динамометр, линейка и два куба.
Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
массу куба №1;
давление куба №1 на стол;
плотность куба №2.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВес куба, измеренный динамометром, даёт массу; давление равно силе тяжести, делённой на площадь основания куба.
Движение двух точечных тел
Два точечных тела движутся вдоль оси \(Ox\). На рисунке показаны графики зависимости их координат от времени. Цена деления \(X_0=4{,}7\) м, \(t_0=2{,}3\) с. Концы отрезков расположены точно в узлах координатной сетки. Определите:
скорость \(V_1\) тела 1 на начальном участке движения;
скорость \(V_2\) тела 2 в момент времени \(3 t_0\);
значение средней скорости \(V\) тела 1 за весь показанный интервал времени (отношение величины перемещения к времени);
значение средней путевой скорости \(V_s\) тела 1 за весь показанный интервал времени (отношение пройденного пути к времени);
значение времени \(T\), когда перемещения тел с момента начала движения совпали;
значение проекции \(V_{21}\) на ось \(Ox\) скорости тела 2 относительно тела 1 в момент времени \(4 t_0\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость на участке графика равна тангенсу угла наклона, то есть отношению приращения координаты к приращению времени; перемещение и путь тела 1 различаются из-за разворота.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 2{,}725 \pm 0{,}05\) м/с; 2) \(V_2 = 1{,}02 \pm 0{,}05\) м/с; 3) \(V = 0{,}2552 \pm 0{,}011\) м/с; 4) \(V_s = 1{,}7875 \pm 0{,}011\) м/с; 5) \(T = 9{,}775 \pm 0{,}05\) с; 6) \(V_{21} = 4{,}085 \pm 0{,}05\) м/с.
Определите массу тел
Определите массу тел с максимальной возможной точностью. Масса каждой из белых гирек равна \(100\) мг.
Тела 1, 2 и 3 — на рисунке; массы определите в граммах.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 1538 \pm 0{,}001\) г; 2) \(m_2 = 2616 \pm 0{,}001\) г; 3) \(m_3 = 1600{,}9 \pm 0{,}001\) г.
На сколько километров пробега хватит бензина?
Ёмкость бензобака автомобиля составляет \(V=40\) л. Плотность бензина \(\rho=700\) кг/м\(^3\). При скорости \(v=85\) км/ч автомобиль расходует \(V_1=8{,}4\) л топлива на \(100\) км. Определите:
на сколько килограммов уменьшится масса полностью заправленного автомобиля за счёт расхода бензина, когда он проедет со скоростью \(v\) путь \(S=280\) км;
сколько литров бензина израсходует автомобиль, двигаясь со скоростью \(v\) в течение \(t=30\) мин;
на сколько километров пробега со скоростью \(v\) хватит \(0{,}6\) бака бензина.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\Delta m = 16{,}46 \pm 0{,}1\) кг; 2) \(3{,}57 \pm 0{,}1\) л; 3) \(285{,}71 \pm 0{,}1\) км.
Объём капли
Из-за неисправного крана из смесителя капает вода по \(N=47\) капель в минуту. За время \(t=21\) часов капающая вода заполняет цилиндрическую трёхлитровую банку. Считая все капли одинаковыми, найдите объём одной капли в миллилитрах, вес капли в миллиньютонах. Какое давление создаст эта вода на дно банки площадью \(S=90\) см\(^2\)? Ответ дайте в килопаскалях. Плотность воды — \(1\) г/см\(^3\). Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Объём капли приведите с точностью до тысячных, вес и давление — до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЧисло капель за время \(t\) умножьте на объём одной капли и приравняйте объёму банки; вес капли найдите через её массу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(0{,}0506 \pm 0{,}002\) мл; 2) \(0{,}496 \pm 0{,}01\) мН; 3) \(3{,}267 \pm 0{,}01\) кПа.
Неопытный турист взял напрокат автомобиль
Неопытный турист впервые приехал в США и взял напрокат автомобиль. Ему сказали, что этот автомобиль на одном галлоне топлива может проехать \(k=32{,}5\) миль, а объём топливного бака — \(m=17{,}5\) галлона. При этом турист знает, что в одном галлоне \(3{,}78\) литра, а в одной миле — \(1{,}6\) км. Определите:
Каков расход топлива этого автомобиля в более привычных туристу литрах на 100 км пути.
На сколько километров пути хватит полного бака топлива.
Сколько времени займёт этот путь при предельно допустимой скорости в \(n=65\) миль/час.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПереведите мили и галлоны в километры и литры; расход на 100 км — отношение объёма топлива к пути.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(7{,}26923076923 \pm 0{,}0726923076923\) л на 100 км; 2) \(910 \pm 9{,}1\) км; 3) \(8{,}75 \pm 0{,}0875\) ч.
Давление куба на стол
Имеется штатив, динамометр, линейка и два куба. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
Вес куба №1.
Массу куба №1.
Давление куба №1 на стол.
Плотность куба №2.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВес измеряется динамометром; масса получается делением веса на \(g\). Давление на стол — отношение веса к площади основания, которую найдите по линейке.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(0{,}7 \pm 0{,}007\) Н; 2) \(71{,}43 \pm 0{,}71\) г; 3) \(1215 \pm 12\) Па; 4) \(5{,}775 \pm 0{,}058\) г/см\(^3\).
Первобытное племя измеряет время в днях и лунах
Первобытное племя измеряет время в днях и лунах. При этом у них в одной луне \(m=26\) дней. Известно, что до соседнего племени дикарям надо добираться \(k=7\) дней, а обратно с добычей они идут в \(n=1{,}9\) раз медленней. Найдите:
Сколько лун займёт у племени путь туда и обратно?
Во сколько раз путь туда и обратно займёт меньше времени, если обратно наоборот придётся двигаться в \(n=1{,}9\) раз быстрее, чем туда?
Сколько лун в этом случае займёт обратный путь?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПуть туда занимает \(k\) дней; обратный путь в \(n\) раз медленнее или быстрее — умножьте или поделите \(k\) на \(n\). Переводите дни в луны делением на \(m\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(0{,}78077 \pm 0{,}0078\) луны; 2) \(1{,}9 \pm 0{,}019\) раз; 3) \(0{,}4109 \pm 0{,}0041\) луны.
Гири, помеченные знаком вопроса
Определите массу гирь, помеченных знаком вопроса. Гири пронумерованы красными цифрами по месту их расположения на столе, а числа на гирях указывают их массу в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНеизвестную гирю уравновешивайте известными гирями на весах: равенство моментов сил на плечах одинаковой длины даёт равенство масс. Сравнивайте результаты разных взвешиваний между собой.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 4 \pm 0{,}05\) г; 2) \(m_2 = 196 \pm 0{,}05\) г; 3) \(m_3 = 704 \pm 0{,}05\) г; 4) \(m_4 = 1999{,}8 \pm 0{,}05\) г.
Масса кубиков: весы и динамометр
Определите с максимальной возможной точностью массу кубиков № 1–4. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах, погрешность разметки шкалы динамометра пренебрежимо мала.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоказание динамометра равно весу всех тел, подвешенных под ним, с учётом их подвеса. Сравнивайте показания при разных сочетаниях тел.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 394 \pm 0{,}01\) г; 2) \(m_2 = 139 \pm 0{,}01\) г; 3) \(m_3 = 492{,}48 \pm 0{,}48\) г; 4) \(m_4 = 1560{,}9 \pm 3\) г.
Гири, помеченные знаком вопроса
Определите массу гирь, помеченных знаком вопроса. Гири пронумерованы красными цифрами по месту их расположения на столе, а числа на гирях указывают их массу в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНеизвестную гирю уравновешивайте известными гирями на весах: равенство моментов сил на плечах одинаковой длины даёт равенство масс. Сравнивайте результаты разных взвешиваний между собой.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 24 \pm 0{,}05\) г; 2) \(m_2 = 176 \pm 0{,}05\) г; 3) \(m_3 = 724 \pm 0{,}05\) г; 4) \(m_4 = 1999{,}4 \pm 0{,}05\) г.
Давление куба на стол и плотность куба
Имеется штатив, динамометр, линейка и два куба. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
Массу куба №1.
Площадь грани куба №1.
Давление куба №1 на стол.
Плотность куба №2.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДавление на стол равно весу куба, делённому на площадь его грани, которой он стоит на столе. Массу и плотность второго куба найдите через вес и объём, измеряя его размеры линейкой.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 71{,}43 \pm 0{,}71\) г; 2) \(S = 13{,}13 \pm 0{,}39\) см\(^2\); 3) \(p = 533{,}2 \pm 18{,}6\) Па; 4) \(\rho_2 = 2{,}27 \pm 0{,}034\) г/см\(^3\).
Движение вдоль прямой
Две материальные точки движутся вдоль оси \(Ox\). На рисунке показан график зависимости их координат от времени. Концы отрезков находятся строго в узлах координатной сетки. \(X_0 = 15\) см. Определите:
Максимальную скорость точки \(A\) в процессе движения (\(V_A\)).
Скорость точки \(A\) относительно точки \(B\) (\(V_{AB}\)) в момент времени \(t = 1{,}4\) с.
Путь, пройденный точкой \(A\) за всё время движения (\(S_A\)).
Среднюю путевую скорость точки \(B\) (\(V\)) за всё время движения (отношение пройденного пути к затраченному времени).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость на графике \(x(t)\) — это наклон; самый крутой отрезок даёт максимальную скорость. Путь считайте по всем отрезкам, а не по разности координат.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_A = 60{,}005 \pm 0{,}11\) см/с; 2) \(V_{AB} = 1{,}045 \pm 0{,}11\) м/с; 3) \(S_A = 1{,}496 \pm 0{,}11\) м; 4) \(V = 45{,}001 \pm 0{,}11\) см/с.
Масса гирь, помеченных знаком вопроса
Определите массу гирь, помеченных знаком вопроса. Гири пронумерованы красными цифрами по месту их расположения на столе, а числа на гирях указывают их массу в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЧашечные весы показывают равенство масс при равновесии: неизвестную гирю уравновесьте известными.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветГиря 1: \(9 \pm 0{,}05\) г; гиря 2: \(191 \pm 0{,}05\) г; гиря 3: \(709 \pm 0{,}05\) г; гиря 4: \(1999{,}4 \pm 0{,}05\) г.
Определите массу тел
Определите массу тел с максимальной возможной точностью. Масса каждой из белых гирек равна \(100\) мг, масса подписанных гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУравновешивайте каждое тело гирями и белыми гирьками; точность определяется набором гирь, которым получено равновесие.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТело 1: \(1427 \pm 0{,}001\) г; тело 2: \(2498 \pm 0{,}001\) г; тело 3: \(1490{,}9 \pm 0{,}001\) г.
Движение вдоль прямой
Две материальные точки движутся вдоль оси \(Ox\). На рисунке показан график зависимости их координат от времени. Концы отрезков находятся строго в узлах координатной сетки. \(X_0 = 21\) см. Определите:
Максимальную скорость точки \(A\) в процессе движения (\(V_A\)).
Скорость точки \(A\) относительно точки \(B\) (\(V_{AB}\)) в момент времени \(t = 1{,}6\) с.
Путь, пройденный точкой \(A\) за всё время движения (\(S_A\)).
Среднюю путевую скорость точки \(B\) (\(V\)) за всё время движения (отношение пройденного пути к затраченному времени).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость на графике \(x(t)\) — это наклон; самый крутой отрезок даёт максимальную скорость. Путь считайте по всем отрезкам, а не по разности координат.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_A = 83{,}996 \pm 0{,}11\) см/с; 2) \(V_{AB} = 1{,}474 \pm 0{,}11\) м/с; 3) \(S_A = 2{,}101 \pm 0{,}11\) м; 4) \(V = 62{,}997 \pm 0{,}11\) см/с.
Определите массу тел
Определите массу тел с максимальной возможной точностью. Масса каждой из белых гирек равна \(100\) мг, масса подписанных гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУравновешивайте каждое тело набором гирь и белых гирек; точность определяется тем, насколько точно подобран набор.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТело 1: \(1442 \pm 0{,}001\) г; тело 2: \(2513 \pm 0{,}001\) г; тело 3: \(1506{,}9 \pm 0{,}001\) г.
Масса гирь, помеченных знаком вопроса
Определите массу гирь, помеченных знаком вопроса. Числа на гирях указывают их массу в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса каждой гирьки определяется по равновесию на весах; проверяйте результат сравнением с гирями, масса которых указана на них.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 14 \pm 0{,}05\) г; 2) \(m_2 = 186 \pm 0{,}05\) г; 3) \(m_3 = 714 \pm 0{,}05\) г; 4) \(m_4 = 1999{,}5 \pm 0{,}05\) г.
Определите массу четырёх тел
Определите массу четырёх тел с максимальной возможной точностью. Масса каждой из белых гирек равна \(100\) мг, масса подписанных гирь указана в граммах.
масса тела 1;
масса тела 2;
масса тела 3;
масса тела 4.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУравновешивайте тело набором гирь; белые гирьки позволяют уточнить доли грамма.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 1589 \pm 0{,}001\) г; 2) \(m_2 = 2676 \pm 0{,}001\) г; 3) \(m_3 = 1643{,}9 \pm 0{,}001\) г; 4) \(m_4 = 4265{,}15 \pm 0{,}01\) г.
Весы и динамометр
Определите с максимальной возможной точностью массу кубиков. Занесите результат в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считать равным \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах, погрешность разметки шкалы динамометра пренебрежимо мала.
масса тела №1;
масса тела №2;
масса тела №3;
масса тела №4.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДинамометр показывает вес, то есть силу натяжения; сравнивайте показания для тел и известных гирь.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 411 \pm 0{,}01\) г; 2) \(m_2 = 138 \pm 0{,}01\) г; 3) \(m_3 = 455{,}52 \pm 0{,}48\) г; 4) \(m_4 = 1646{,}1 \pm 3\) г.
Весы и динамометр
Определите с максимальной возможной точностью массу кубиков. Занесите результат в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считать равным \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах, погрешность разметки шкалы динамометра пренебрежимо мала.
масса тела №1;
масса тела №2;
масса тела №3;
масса тела №4.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДинамометр показывает силу натяжения, равную весу подвешенного тела; сравнивайте показания для тел и известных гирь.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 411 \pm 0{,}01\) г; 2) \(m_2 = 138 \pm 0{,}01\) г; 3) \(m_3 = 455{,}52 \pm 0{,}48\) г; 4) \(m_4 = 1646{,}1 \pm 3\) г.
Три мензурки и отливной стакан
Имеется две мензурки с подписанными шкалами, третья мензурка с неподписанной шкалой, отливной стакан, весы и пипетка. В отливном стакане находится вода.
Определите:
максимальный объём \(v\) воды, который можно налить в мензурку с подписанной шкалой (с точностью до целых);
максимальный объём \(V\) воды, который можно налить в мензурку с неподписанной шкалой (с точностью до целых);
цену деления \(V_3\) рисок мензурки с неподписанной шкалой (с точностью до десятых).
Краны открываются и закрываются щелчком по ним. Воду можно набирать в мензурку, выливать из неё в раковину или переливать в другую мензурку, стоящую в раковине. Ускорение свободного падения считать равным \(9{,}8\) м/с\(^2\), плотность воды \(1\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса воды на весах и её объём связаны плотностью воды. Неподписанную мензурку удобно калибровать через уже известный объём налитой воды.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 195 \pm 2\) мл; 2) \(V = 350 \pm 2\) мл; 3) \(V_3 = 65 \pm 0{,}5\) мл.
Масса неподписанных гирь, кубов, слитка и пластины
Определите массу неподписанных белой и серой гирек, кубов, слитка и треугольной пластины с максимальной возможной точностью. Масса подписанных гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУравновешивайте тела на весах подписанными гирями: по условию равновесия найдите массы неизвестных тел, сравнивая их с известными.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответтело 1: \(m = 1493 \pm 0{,}001\) г; тело 2: \(m = 2578 \pm 0{,}001\) г; белая гирька: \(m = 0{,}125 \pm 0{,}001\) г; серая гирька: \(m = 0{,}75 \pm 0{,}001\) г; тело 3: \(m = 1571{,}875 \pm 0{,}001\) г; тело 4: \(m = 4071{,}125 \pm 0{,}001\) г.
Взвешивание тел
Определите массу неподписанных белой и серой гирек, кубов, слитка и треугольной пластины с максимальной возможной точностью. Масса подписанных гирь указана в граммах.
Занесите массы (г) в отчёт:
Тело 1.
Тело 2.
Белая гирька.
Серая гирька.
Тело 3.
Тело 4.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОдного взвешивания мало для точности: сравнивайте массу неизвестного тела с набором подписанных гирь и комбинируйте результаты разных взвешиваний.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТело 1: \(1583 \pm 0{,}001\) г; Тело 2: \(2642 \pm 0{,}001\) г; белая гирька: \(0{,}125 \pm 0{,}001\) г; серая гирька: \(0{,}75 \pm 0{,}001\) г; Тело 3: \(1637{,}875 \pm 0{,}001\) г; Тело 4: \(4225{,}125 \pm 0{,}001\) г.
Весы и динамометр
Определите с максимальной возможной точностью массу кубиков. Занесите результат в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считать равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах, погрешность разметки шкалы динамометра пренебрежимо мала. Динамометр можно закреплять в лапке штатива — для этого его необходимо поднести сбоку к лапке штатива так, чтобы захват лапки немного заходил в область динамометра, и отпустить. К телам, подвешенным на динамометр, можно снизу подцеплять другие тела, в том числе гири — подвести тело к низу подвешенного и отпустить, оно зацепится.
Массы (г) в отчёт:
Масса тела №1.
Масса тела №2.
Масса тела №3.
Масса тела №4.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса кубика по динамометру и по весам с гирями: сравните показания весов и динамометра и учитывайте, что сила тяжести равна \(mg\).
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТело №1: \(419 \pm 0{,}01\) г; Тело №2: \(139 \pm 0{,}01\) г; Тело №3: \(483{,}504 \pm 0{,}48\) г; Тело №4: \(1524{,}9 \pm 3\) г.
Масса тел и неподписанных гирек
Определите массу кубов, слитка, треугольной пластины и неподписанных белых и серых гирек с максимальной возможной точностью. Масса подписанных гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУравновешивайте тела на весах гирями и сравнивайте массы попарно. Неподписанные гирьки можно найти по разности уравновешенных масс.
Масса гирь
Определите массы гирь, помеченных знаком вопроса, и отошлите отчёт на сервер. Гири бракованные, и их масса не «круглая». Пары одинаковых гирь нумеруются красными цифрами по месту их расположения на столе.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОдинаковые по массе гири образуют пару с общей цифрой. Сравните массы на весах: уравновешенные чаши дают равенство весов.
Стержень на двух опорах
Однородный стержень массой \(M=26\) кг и длиной \(L=4{,}2\) м лежит горизонтально на двух опорах, расположенных на расстоянии \(X_1=0{,}2\) м и \(X_2=0{,}1\) м от его концов.
Вычислите силу давления стержня на левую опору — \(F_1\).
Вычислите силу давления стержня на правую опору — \(F_2\).
Какой минимальной силой \(F_3\) можно приподнять правый конец стержня?
Ответы округлите с точностью до десятых. Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСтержень в равновесии: сумма сил и сумма моментов относительно любой точки равны нулю. Удобно выбрать точку, в которой находится одна из опор.
Масса и плотность тел
Определите массу и плотность тел — куба и шара. Занесите результаты в отчёт и отправьте его на сервер. Массу определите с точностью до десятых, плотность — с точностью до сотых.
Значение \(g\) считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах. Задание разрешено переделывать, но за повторную отсылку результатов на сервер начисляется до \(4\) штрафных баллов. К динамометру можно цеплять тела, если предварительно закрепить динамометр в лапке штатива — занести динамометр сбоку на небольшую глубину в область лапки и отпустить. К динамометру можно цеплять несколько тел — для этого к нижней части висящего на динамометре тела следует подвести крючок следующего тела — и отпустить. Приборную погрешность динамометра считать пренебрежимо малой. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, после чего щелчок мышью в любом месте экрана возвращает первоначальный масштаб. В мензурке находится вода, её плотность \(1\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВес тела в воздухе и его вес в воде, измеренный динамометром, дают силу Архимеда, а по ней — объём тела.
Давление куба на стол
Имеется штатив, динамометр, линейка и два куба.
Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\) %:
массу куба №1;
давление куба №1 на стол;
плотность куба №2.
Поездка мотоциклиста
Колонна машин движется со скоростью \(11\) м/с, растянувшись на расстояние \(3\) км. Из головы колонны выехал мотоциклист со скоростью \(15\) м/с и поехал к хвосту колонны, а затем возвратился обратно к голове колонны.
Какое время потратил мотоциклист на эту поездку?
Во сколько раз \(K\) больше израсходовалось бензина в мотоцикле при движении к голове колонны по сравнению с движением к концу колонны?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВремя поездки складывается из времени движения к хвосту и обратно к голове; скорости мотоциклиста относительно колонны на этих участках равны разности и сумме скоростей.
Масса гири, масса тележки и её путь
Тележку можно установить в верхней части наклонного рельса, при этом она автоматически закрепится электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит.
Определите массу большой гири (зелёной), а также массу тележки и её путь при движении от верхней до нижней точки рельса после отпускания электромагнита.
Массы и путь определите с точностью до десятых. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр.
Массы гирь указаны в граммах. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТележка движется с ускорением под действием силы тяжести вдоль наклонного рельса; по времени движения и пути связывайте ускорение с расстоянием и массами.
Наклонный рельс с лебёдкой и два бруска
Имеется наклонный рельс с лебёдкой, датчиком натяжения нити и датчиком времени, линейка и два бруска. Колесо лебёдки крутится с постоянной скоростью наматывания нити. Трения в системе нет.
Масса первого бруска \(m_1=28{,}1\) г. Ширина \(w\) брусков одинакова и равна \(w=1\) см. Сила, действующая на брусок, который тащит лебёдка, пропорциональна его весу, и коэффициент пропорциональности зависит только от угла наклона рельса.
Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
скорость \(v\) движения бруска при его подъёме лебёдкой;
массу бруска №2;
плотность бруска №2.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость находится по времени прохождения бруском известного расстояния между оптическими воротами; массы — по натяжению нити, которое пропорционально весу.
Во сколько раз уменьшится промежуток времени?
Два спортсмена бегут в одну сторону со скоростью \(4{,}7\) м/с. Между ними бегает собака со скоростью \(9\) м/с. На дорогу от одного спортсмена и обратно собака затрачивает некоторый промежуток времени. Найдите:
во сколько раз \(K_1\) уменьшится этот промежуток, если скорость собаки увеличится вдвое при неизменной скорости спортсменов;
во сколько раз \(K_2\) уменьшится этот промежуток, если скорость спортсменов уменьшится вдвое при неизменной скорости собаки.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыразите время как сумму времён движения собаки к спортсмену и обратно, учитывая скорость спортсмена относительно собаки.
Пассажир на палубе корабля
Корабль движется вдоль берега реки. Идущий по палубе корабля с кормы в направлении его движения пассажир оказался напротив стоящего на берегу автомобиля за \(3{,}44\) мин. Если бы пассажир шёл в \(2{,}54\) раз быстрее, он бы поравнялся с автомобилем за \(2{,}25\) мин.
За какое время \(t\) (в секундах) пассажир оказался бы напротив автомобиля, если бы, когда он шёл с первоначальной скоростью, автомобиль двигался вдоль берега навстречу кораблю со скоростью, превышающей скорость пассажира относительно берега в \(2{,}14\) раз?
За какое время \(t_0\) (в минутах) пассажир оказался бы напротив неподвижного автомобиля, если бы остался неподвижно стоять на корме?
Значение \(t\) вводите с точностью не хуже чем до десятых, значение \(t_0\) — не хуже чем до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость пассажира относительно берега равна сумме скорости корабля и скорости пассажира относительно корабля; две известные ситуации дают два уравнения.
Центр тяжести плоского тела
Найдите с точностью до \(0{,}5\) мм минимальное \(R_{\min}\) и максимальное \(R_{\max}\) расстояния от центра тяжести плоского тела до вершин этого тела.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЦентр тяжести плоского тела — точка пересечения линий, по которым направлена сила тяжести при подвешивании тела в разных точках.
Непонятный индикатор
Тележка установлена на наклонный рельс. Она автоматически закрепляется электромагнитом на краях рельса. Надписи о том, какие величины измеряются, стёрлись, но известно, что датчик может измерять либо время в секундах от момента полного распрямления пружины до пересечения тележкой оптических ворот, либо мгновенную скорость тележки при прохождении оптических ворот (в м/с). Причём каждый из датчиков может измерять свою величину.
При отпускании электромагнита тележка выталкивается пружиной. Координату конца пружины в момент полного распрямления пружины обозначим как \(A\), координату тележки в этот момент как \(B\), а координату точки, расположенной на \(10{,}9\) см правее от \(A\), как \(C\). Координаты отсчитываются вдоль оси, расположенной параллельно рельсу.
Найдите вес тележки в миллиНьютонах с точностью до десятых.
Также выясните, какой датчик что измеряет, и определите с точностью до тысячных мгновенную скорость тележки при прохождении точки \(C\), а также среднюю скорость тележки при прохождении промежутка \(BC\). В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр.
Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЭнергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию тележки и в её потенциальную энергию на наклонном рельсе; один датчик даёт время, другой — скорость.
Какое в среднем число рыб будет попадать в пасть акуле?
Акула, раскрыв пасть площадью \(550\) см\(^2\), плывёт со скоростью \(7{,}8\) м/с. Навстречу ей плывёт косяк рыб со скоростью \(1{,}3\) м/с. Концентрация рыб в косяке составляет в среднем \(12\) рыб на кубометр. Найдите:
Какое в среднем число рыб будет попадать в пасть акуле в секунду, если скорость акулы и косяка будет оставаться неизменной?
Во сколько раз вырастет это число, если скорость акулы возрастёт вдвое?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЧисло рыб, попадающих в пасть за секунду, равно концентрации, умноженной на объём воды, проходящей через пасть за секунду; скорость рыб и акулы складывается.
С какой погрешностью можно гарантированно измерить массу груза?
Имеются рычажные весы и набор гирь \(10\) кг, \(5\) кг, \(5\) кг, \(500\) г, \(50\) г.
Какой максимальный вес \(P_{\max}\) груза можно измерить с помощью этого набора гирь?
С какой погрешностью \(\Delta m\) можно гарантированно измерить массу груза, лежащую в диапазоне от \(15\) кг до \(15\) кг \(500\) г?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМаксимальный груз уравновешивается суммой всех гирь; погрешность определяется тем, что при равновесии можно поставить гири с шагом, равным наименьшей из них.
Центр тяжести плоского тела
Найдите с точностью до \(0{,}5\) мм минимальное \(R_{\min}\) и максимальное \(R_{\max}\) расстояния от центра тяжести плоского тела до вершин этого тела.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЦентр тяжести плоского тела — точка пересечения линий, по которым направлена сила тяжести при подвешивании тела в разных точках.
Найдите объём пустого места в контейнере
Масса картофеля, до самого верха насыпанного в контейнер объёмом \(4\) м\(^3\), составляет \(1390\) кг. При этом картофелина массой \(99{,}2\) г занимает объём \(83{,}8\) см\(^3\). Найдите:
объём пустого места в контейнере в м\(^3\) с точностью до сотых;
какую массу сухого песка (плотность сухого песка равна \(1{,}5\) г/см\(^3\)) можно засыпать в контейнер с картофелем, чтобы он был полностью заполнен? Ответ приведите в килограммах с точностью до целых;
чему будет равна масса содержимого контейнера с песком и картофелем, если в него долить воду до тех пор, пока она не перестанет впитываться песком (плотность влажного песка равна \(2\) г/см\(^3\))? Ответ приведите в килограммах с точностью до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПлотность картофеля по его отдельной картофелине и суммарной массе даёт объём картофеля; остаток объёма контейнера — пустое место.
Коэффициент полезного действия электрокара
В электрокаре используется аккумулятор с напряжением \(80\) В, максимальная потребляемая от аккумулятора мощность равна \(34\) кВт. Максимальная сила тяги электрокара \(1171\) Н, при этом обеспечивается скорость движения \(18\) м/с. За какое время разрядится аккумулятор при движении электрокара с максимальной скоростью, если ёмкость его аккумулятора составляет \(380\) А\(\cdot\)ч? Каков в процентах КПД электрокара?
Время вводить с точностью до сотых, значение КПД — с точностью до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПолезная мощность — произведение силы тяги на скорость; полная потребляемая — мощность аккумулятора.
Модель трассы
Трасса, по которой движется автомобиль, состоит из двух линейных участков и двух дуг окружностей, большой и малой. В момент старта автомобиль находится в начале одного из линейных участков. Имеется модель трассы, которая показывает с уменьшением в \(450\) раз движение радиоуправляемого автомобиля по трассе. При движении автомобиль сохраняет одно и то же значение скорости.
Определите с точностью до десятых скорость движения автомобиля и с точностью до целых длину \(S\) всей трассы.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость находится по времени прохождения известной доли трассы; переведите модельные размеры в натуральные, умножив на \(450\).
Скорость мотоциклиста
Колонна машин движется по ровной дороге со скоростью \(9\) м/с, растянувшись на расстояние \(2{,}8\) км. Из головы колонны выехал мотоциклист со скоростью \(15\) м/с и поехал к хвосту колонны, доехал до него, а затем возвратился обратно к голове колонны.
Какое время \(t\) потратил мотоциклист на эту поездку?
Во сколько раз \(K\) больше израсходовалось бензина в мотоцикле при движении к голове колонны по сравнению с движением к концу колонны?
Чему равна средняя путевая скорость \(V\) мотоциклиста относительно колонны?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВремя поездки складывается из времени движения к хвосту и обратно к голове; скорость мотоциклиста относительно колонны на этих участках равна разности и сумме скоростей.
Во сколько раз уменьшится промежуток времени?
Два спортсмена бегут в одну сторону со скоростью \(4{,}3\) м/с. Между ними бегает собака со скоростью \(9{,}2\) м/с. На дорогу от одного спортсмена и обратно собака затрачивает некоторый промежуток времени. Найдите:
во сколько раз \(K_1\) уменьшится этот промежуток, если скорость собаки увеличится вдвое при неизменной скорости спортсменов;
во сколько раз \(K_2\) уменьшится этот промежуток, если скорость спортсменов уменьшится вдвое при неизменной скорости собаки.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыразите время как сумму времён движения собаки к спортсмену и обратно, учитывая скорость спортсмена относительно собаки.
Центр тяжести плоского тела сложной формы
Найдите с точностью до \(0{,}5\) мм минимальное \(R_{\min}\) и максимальное \(R_{\max}\) расстояния от центра тяжести плоского тела до вершин этого тела.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЦентр тяжести плоского тела — точка пересечения линий, по которым направлена сила тяжести при подвешивании тела в разных точках.
Движение двух точечных тел
Два точечных тела движутся вдоль оси \(Ox\). На рисунке показаны графики зависимости их координат от времени. Цена деления \(X_0=4{,}9\) м, \(t_0=1{,}4\) с. Концы отрезков расположены точно в узлах координатной сетки. Определите:
скорость \(V_1\) тела 1 на начальном участке движения;
скорость \(V_2\) тела 2 в момент времени \(3 t_0\);
значение средней скорости \(V\) тела 1 за весь показанный интервал времени (отношение величины перемещения к времени);
значение средней путевой скорости \(V_s\) тела 1 за весь показанный интервал времени (отношение пройденного пути к времени);
значение времени \(T\), когда перемещения тел с момента начала движения совпали;
значение проекции \(V_{21}\) на ось \(Ox\) скорости тела 2 относительно тела 1 в момент времени \(4 t_0\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 4{,}665 \pm 0{,}05\) м/с; 2) \(V_2 = 1{,}75 \pm 0{,}05\) м/с; 3) \(V = 0{,}4378 \pm 0{,}011\) м/с; 4) \(V_s = 3{,}0624 \pm 0{,}011\) м/с; 5) \(T = 5{,}95 \pm 0{,}05\) с; 6) \(V_{21} = 7 \pm 0{,}05\) м/с.
Гонка моделей автомобилей
Две модели автомобилей одновременно стартуют по соседним полосам трассы и проходят одинаковую дистанцию. Первая всё время движется со скоростью \(V_1=0{,}86\) м/с. Вторая проходит \(0{,}57\) пути со скоростью \(V_2=0{,}7\) м/с, а затем резко увеличивает скорость до \(V_3=2{,}2\) м/с и финиширует на \(\Delta t=11{,}6\) с раньше первой. Определите:
время, которое первая модель затратила на прохождение дистанции, \(T\);
длину дистанции \(S\);
через какой интервал времени \(T_2\) от начала движения вторая модель увеличила скорость;
наибольшее расстояние между моделями во время движения \(L\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыразите путь через скорость первой модели и время \(T\); для второй модели запишите время на каждом участке и приравняйте сумму к \(T-11{,}6\) с.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(T = 88{,}132 \pm 0{,}11\) с; 2) \(S = 75{,}79 \pm 0{,}11\) м; 3) \(T_2 = 61{,}721 \pm 0{,}11\) с; 4) \(L = 9{,}977 \pm 0{,}11\) м.
Пружинные матрасы
Пружинный матрас изготовлен из \(400\) одинаковых пружин, жёсткостью \(K=200\) Н/м каждая. Масса каждого матраса \(M_1=40\) кг, площадь \(S=3\) м\(^2\). Рабочие на складе сложили \(13\) таких матрасов один на другой, проложив между ними листы фанеры чуть большей площади, массой \(M_2=15\) кг каждый (смотрите рисунок). Пол на складе ровный, горизонтальный. Определите:
давление \(P_1\) со стороны стопки матрасов на поверхность пола;
силу \(F_1\), действующую сверху на 10-й от верха стопки матрас;
давление \(P_2\), действующее со стороны 8-го сверху матраса на лежащую на нём фанеру;
деформацию \(X\) пружин этого матраса из-за того, что он оказался в стопке.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(P_1 = 2286{,}5 \pm 5\) Па; 2) \(F_1 = 4851 \pm 5\) Н; 3) \(P_2 = 1257{,}6 \pm 2\) Па; 4) \(X = 4{,}716 \pm 0{,}02\) см.
Игра с собакой
На аллее в парке хозяин играет с собакой. В начальный момент времени собака сидит рядом с ним, а хозяин бросает летающий диск. Собака бежит за диском, подбирает его, с такой же скоростью бежит обратно и в момент времени \(11 t_0\) отдаёт в руки хозяину. Ось \(Ox\) направлена вдоль аллеи. На рисунке показан график зависимости от времени проекций на ось \(Ox\) скоростей диска (\(V_1\), красная линия), собаки (\(V_2\), сиреневая линия) и хозяина (\(V_3\), зелёная линия). График выполнен в масштабе только по оси времени. Значение \(t_0=3{,}2\) с. Известно, что хозяин идёт по аллее со скоростью \(V_0=0{,}5\) м/с. Остальные проекции скоростей надо вычислять, указан только их знак и отмечено нулевое значение. Определите:
отношение \(V_1/V_2\) проекции скорости диска к проекции скорости собаки в момент времени \(t_1=1{,}3 t_0\);
отношение \(V_1/V_3\) проекции скорости собаки к проекции скорости хозяина в момент времени \(t_2=1{,}3 t_0\);
максимальное расстояние \(S_1\) между диском и хозяином собаки;
максимальное расстояние \(S_2\) между диском и собакой;
путь \(L\), который пробежала собака за время игры.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1/V_2 = 2 \pm 0{,}001\); 2) \(V_1/V_3 = -3 \pm 0{,}001\); 3) \(S_1 = 24{,}002 \pm 0{,}11\) м; 4) \(S_2 = 14{,}399 \pm 0{,}11\) м; 5) \(L = 43{,}197 \pm 0{,}11\) м.
Столкновения тележки со стенками рельса
При нажатии кнопки «Пуск» тележка начинает двигаться. Определите скорость тележки (в см/с, ответ вводите с точностью до сотых) и количество столкновений тележки с левой (\(N_1\)) и с правой (\(N_2\)) стенками рельса через \(t=3844\) с после начала её движения из начального состояния, если во время движения она будет упруго отражаться от стенок — с сохранением модуля скорости.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 9{,}9 \pm 0{,}05\) см/с; 2) \(N_1 = 112 \pm 0{,}002\); 3) \(N_2 = 113 \pm 0{,}002\).
Определите массу тел
Определите массу тел с максимальной возможной точностью. Масса каждой из белых гирек равна \(100\) мг.
Массы тел 1, 2 и 3 — в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТело уравновешивают гирьками на второй чашке весов; масса тела равна сумме масс гирек, при которой весы в равновесии. Точность растёт, если подбирать гирьки аккуратно.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(1493 \pm 0{,}001\) г; 2) \(2561 \pm 0{,}001\) г; 3) \(1549{,}9 \pm 0{,}001\) г.
Непослушные пружины
Имеется: гири №1 и №2 неизвестной массы; две пружины (узкая и широкая); штатив, лапку которого (зажим) можно перемещать, если в ней ничего не закреплено, и в которой можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; линейка; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири массой \(150\) и \(200\) г.
Если гиря, подвешенная на пружине, касается датчика или стола, пружина выскакивает из зажима штатива.
Определите:
массу \(M_1\) гири №1 (в граммах);
коэффициент жёсткости \(K_1\) узкой пружины;
массу \(M_2\) гири №2 (в граммах);
коэффициент жёсткости \(K_2\) широкой пружины.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРастяжение пружины под весом гири связывает массу и жёсткость, а период колебаний гири на пружине даёт вторую связь между ними.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M_1 = 123{,}9 \pm 3\) г; 2) \(K_1 = 18{,}2 \pm 0{,}4\) Н/м; 3) \(M_2 = 147 \pm 3\) г; 4) \(K_2 = 8{,}1 \pm 0{,}2\) Н/м.
Игра с летающим диском
На аллее в парке хозяин играет с собакой. В начальный момент времени собака сидит рядом с ним, а хозяин бросает летающий диск. Собака бежит за диском, подбирает его, с такой же скоростью бежит обратно и в момент времени \(11\,t_0\) отдаёт в руки хозяину. Ось \(Ox\) направлена вдоль аллеи. На рисунке показан график зависимости от времени проекций на ось \(Ox\) скоростей диска (\(V_1\), красная линия), собаки (\(V_2\), сиреневая линия) и хозяина (\(V_3\), зелёная линия). График выполнен в масштабе только по оси времени. Значение \(t_0=3{,}3\) с. Известно, что хозяин идёт по аллее со скоростью \(V_0=0{,}4\) м/с. Остальные проекции скоростей надо вычислять, указан только их знак и отмечено нулевое значение. Все участки графиков начинаются и заканчиваются строго в обозначенные моменты времени.
Ответы приведите с точностью до десятых. Определите:
Отношение проекции скорости диска к проекции скорости человека \(V_1/V_3\) в момент времени \(t_1=1{,}4\,t_0\).
Проекцию на ось \(Ox\) скорости человека относительно диска \(V_x\) в момент времени \(t_2=1{,}1\,t_0\) (в м/с).
Максимальное расстояние \(L_1\) между собакой и человеком (в м).
Максимальное расстояние \(L_2\) между диском и собакой (в м).
Проекцию на ось \(Ox\) перемещения собаки \(S_x\) за время игры (в м).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПеремещение находится как площадь под графиком скорости с учётом знака; расстояние между телами — как интеграл разности их скоростей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(-6 \pm 0{,}001\); 2) \(-2{,}805 \pm 0{,}11\) м/с; 3) \(19{,}8 \pm 0{,}11\) м; 4) \(11{,}88 \pm 0{,}11\) м; 5) \(-3{,}96 \pm 0{,}11\) м.
Момент силы при закручивании болта
Какое усилие должен приложить автомеханик, чтобы закрутить болт на колесе автомобиля, прикладывая момент силы \(M=60\) Н\(\cdot\)м ключом с длиной рукоятки \(L=26\) см?
Чему равна максимальная величина силы трения (в килоньютонах), удерживающей болт на месте, если отвернуть его можно, прикладывая силу \(F=470\) Н гаечным ключом с длиной рукоятки \(L=26\) см? Толщиной резьбы болта пренебречь. Диаметр болта \(d=12\) мм.
Какой длины надо взять насадку к рукоятке ключа длиной \(20\) см (добавить к уже имеющейся длине), чтобы, прилагая усилие \(F_1=470\) Н, затянуть болт на колесе микроавтобуса моментом силы \(M_1=180\) Н\(\cdot\)м?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМомент силы равен произведению силы на плечо. Сила трения в резьбе действует на расстоянии \(d/2\) от оси болта, а момент, который удерживает болт, равен моменту приложенной силы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(230{,}75 \pm 0{,}5\) Н; 2) \(20{,}36 \pm 0{,}2\) кН; 3) \(18{,}3 \pm 0{,}15\) см.
Скорость машинки и поршня
Радиоуправляемая машинка начинает движение с постоянной скоростью при нажатии на пульте дистанционного управления кнопки «Старт», останавливается при нажатии кнопки «Стоп» и возвращается в начальное положение при нажатии кнопки «Сброс». Ультразвуковой датчик координаты подключён к цифровому прибору, который показывает на экране график зависимости от времени расстояния от датчика до поверхности поршня, который движется внутри цилиндрического сосуда.
Определите с точностью до сотых (в см/с):
скорость \(v\) движения машинки;
максимальную скорость движения поршня \(V_{\max}\) относительно земли при этом движении;
скорость движения поршня \(V_1\) относительно земли в момент, когда поршень максимально близок к левой стенке сосуда.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость машинки — наклон участка графика, где она движется равномерно. Скорость поршня относительно земли — наклон графика расстояния до датчика, взятый с учётом того, что датчик неподвижен.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(4{,}1 \pm 0{,}1\) см/с; 2) \(8{,}2 \pm 0{,}2\) см/с; 3) \(4{,}1 \pm 0{,}1\) см/с.
Тренер и колонна спортсменов
По дорожке стадиона равномерно бежит колонна спортсменов. Дистанция между ними одинакова. Бегущий по дорожке им навстречу тренер обнаружил, что если его скорость равна \(V_1=3{,}6\) м/с, то через каждые \(6\) с он встречает спортсмена из колонны, а при скорости тренера по величине в \(2{,}3\) раза больше уже тренер, бегущий в попутном направлении, каждые \(18\) с обгоняет спортсмена из колонны. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
Скорость спортсменов колонне (в м/с);
Дистанцию между спортсменами в колонне (в метрах);
Через какой промежуток времени будут пробегать спортсмены мимо стоящего тренера (в секундах)?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВстречный и попутный обгон дают два уравнения относительной скорости: при встрече скорости складываются, при обгоне вычитаются.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(5{,}31 \pm 0{,}0531\) м/с; 2) \(53{,}46 \pm 0{,}5346\) м; 3) \(10{,}0677966102 \pm 0{,}100677966102\) с.
Определите массу тел
Определите массу тел с максимальной возможной точностью. Масса каждой из белых гирек равна \(100\) мг.
Массы тел 1, 2 и 3 — в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТело уравновешивают гирьками на второй чашке весов; масса тела равна сумме масс гирек, при которой весы в равновесии. Точность растёт, если подбирать гирьки аккуратно.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(1472 \pm 0{,}001\) г; 2) \(2553 \pm 0{,}001\) г; 3) \(1551{,}9 \pm 0{,}001\) г.
Скорость машинки и поршня
Радиоуправляемая машинка начинает движение с постоянной скоростью при нажатии на пульте дистанционного управления кнопки «Старт», останавливается при нажатии кнопки «Стоп» и возвращается в начальное положение при нажатии кнопки «Сброс». Ультразвуковой датчик координаты подключён к цифровому прибору, который показывает на экране график зависимости от времени расстояния от датчика до поверхности поршня, который движется внутри цилиндрического сосуда.
Определите с точностью до сотых (в см/с):
скорость \(v\) движения машинки;
максимальную скорость движения поршня \(V_{\max}\) относительно земли при этом движении;
скорость движения поршня \(V_1\) относительно земли в момент, когда поршень максимально близок к левой стенке сосуда.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость машинки — наклон участка графика, где она движется равномерно. Скорость поршня относительно земли — наклон графика расстояния до датчика, взятый с учётом того, что датчик неподвижен.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(5{,}6 \pm 0{,}1\) см/с; 2) \(11{,}2 \pm 0{,}2\) см/с; 3) \(5{,}6 \pm 0{,}1\) см/с.
Взвешивание жидкости
В стакане находится неизвестная жидкость. Измерьте:
объём жидкости (с точностью до \(0{,}5\) мл);
массу жидкости (с точностью до \(0{,}5\) г).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОбъём отсчитайте по шкале мерного стакана; массу жидкости найдите взвешиванием стакана с жидкостью и без неё, учитывая массу самого стакана.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 59{,}04 \pm 0{,}8\) мл; 2) \(m = 47{,}214 \pm 0{,}61\) г.
Соревнование племён
Два первобытных племени измеряют расстояния длиной ступни своего вождя. На соревнованиях лучший воин первого племени кинул камень дальше лучшего воина второго племени на \(k=2{,}6\) ступней своего вождя. При этом известно, что лучший воин первого племени кинул камень на расстояние \(n=7\) ступней своего вождя, а лучший воин второго племени — на расстояние \(m=9{,}4\) ступней своего вождя. Определите:
Отношение длины ступни вождя первого племени к длине ступни вождя второго племени.
Какое расстояние, измеренное в ступнях своего вождя, проиграл воин второго племени?
На какую часть ступни первого вождя его ступня длиннее ступни второго вождя?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОдно и то же расстояние в разных ступнях связано пропорцией: запишите оба броска в метрах через длины ступней.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(2{,}136 \pm 0{,}021\); 2) \(5{,}555 \pm 0{,}055\) ступней; 3) \(0{,}5319 \pm 0{,}0053\) ступни.
Встреча туристов
Первый турист выехал на велосипеде с железнодорожной станции со скоростью \(v_1 = 10{,}9\) км/ч. До туристического лагеря, в который он направился, путь по лесным дорожкам \(s = 7{,}9\) км, однако турист не знал, по какой дорожке ехать в конце пути. Для того, чтобы показать первому туристу дорогу, одновременно с выездом того со станции ему навстречу из лагеря вышел второй турист со скоростью \(v_2 = 5{,}5\) км/ч. Когда туристы встретились, велосипедист посадил пешего туриста на багажник и поехал в сторону туристического лагеря, но из-за дополнительного груза его скорость движения стала равна \(v_3 = 8{,}2\) км/ч.
Через какое время \(t_1\) после встречи туристы приехали в лагерь? Через какое время \(t_2\) после встречи туристы приехали бы в лагерь, если бы пеший турист вышел на 29 минут раньше начала движения велосипедиста со станции? Через какое время \(t_3\) после встречи туристы приехали бы в лагерь, если бы пеший турист вышел на 100 минут раньше начала движения велосипедиста со станции?
Ответы вводите в минутах с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСначала найдите место встречи по времени до неё, затем оставшийся путь до лагеря. Для \(t_2\) и \(t_3\) учтите, сколько времени пеший турист шёл до старта велосипедиста.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t_1 = 19{,}38 \pm 0{,}2\) мин; 2) \(t_2 = 32{,}32 \pm 0{,}2\) мин; 3) \(t_3 = 57{,}8 \pm 0{,}2\) мин.
Тележки на рельсе
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Известно, что средняя скорость тележки прямо пропорционально зависит от времени движения от начальной точки. Определите:
Длину \(W\) одной тележки.
Расстояние \(X\) между оптическими воротами.
Расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами.
Расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса. Положение тележки отсчитывается по концу стрелки.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЕсли средняя скорость растёт пропорционально времени, то скорость меняется равномерно и средняя скорость за интервал равна полусумме скоростей на его концах. Длину тележки и расстояния найдите по показаниям датчиков и времени движения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(W = 10{,}9 \pm 0{,}05\) см; 2) \(X = 14{,}7 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_1 = 28{,}2 \pm 0{,}1\) см; 4) \(L_2 = 23{,}652 \pm 0{,}12\) см.
Дюймовочка и мотылёк
Дюймовочка плывёт на листе кувшинки по ручью: мотылёк привязан к листу шёлковым поясом, а жаба плывёт за ними. Пусть скорость течения ручья \(V_1=0{,}22\) м/с, жаба плывёт со скоростью \(V_2=0{,}4\) м/с относительно воды, мотылёк летит со скоростью \(V_3=0{,}8\) м/с относительно воздуха и дует попутный ветер со скоростью \(V_4=0{,}22\) м/с. Определите:
Скорость Дюймовочки относительно берега \(V_b\).
Скорость Дюймовочки относительно жабы \(V_o\).
На сколько метров \(L\) увеличится расстояние между Дюймовочкой и жабой за \(T=11\) минут погони.
Какой путь \(S\) проплывёт за это время жаба относительно берега.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость мотылька относительно берега складывается из его скорости относительно воздуха и скорости ветра; относительно воды лист движется со скоростью течения плюс тяга мотылька.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_b = 1{,}023 \pm 0{,}11\) м/с; 2) \(V_o = 0{,}396 \pm 0{,}11\) м/с; 3) \(L = 264 \pm 0{,}11\) м; 4) \(S = 409{,}2 \pm 0{,}11\) м.
Центр тяжести плоского тела
Найдите с точностью до \(0{,}5\) мм минимальное \(R_{min}\) и максимальное \(R_{max}\) расстояния от центра тяжести плоского тела до вершин этого тела (мест излома линии).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЦентр тяжести плоского тела найдите подвешиванием за два разных места: линии, проведённые по отвесу через точки подвеса, пересекутся в центре тяжести.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(R_{min} = 5{,}655 \pm 0{,}13\) см; \(R_{max} = 18{,}564 \pm 0{,}13\) см.
Пружины и гири
Имеется: гири №1 и №2 неизвестной массы; две пружины (узкая и широкая); штатив, лапку которого (зажим) можно перемещать, если в ней ничего не закреплено, и в которой можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; линейка; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири массой 150 и 200 г. Если гиря, подвешенная на пружине, касается датчика или стола, пружина выскакивает из зажима штатива.
Определите:
массу \(M_1\) гири №1 (в граммах);
коэффициент жёсткости \(K_1\) узкой пружины;
массу \(M_2\) гири №2 (в граммах);
коэффициент жёсткости \(K_2\) широкой пружины.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРастяжение пружины под грузом пропорционально силе тяжести: по нескольким известным гирям найдите коэффициент жёсткости и затем массы неизвестных гирь.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M_1 = 98{,}1 \pm 3\) г; 2) \(K_1 = 19{,}8 \pm 0{,}4\) Н/м; 3) \(M_2 = 150{,}9 \pm 3\) г; 4) \(K_2 = 7{,}8 \pm 0{,}2\) Н/м.
Находчивый пастух
Пастух решил взвесить двух баранов, но у него не было ни весов, ни линейки. Но он знал свой вес и придумал как это сделать: соорудил рычажные весы из жерди (однородного стержня, который можно считать невесомым) длиной \(k=12\) пядей. Под стержень подложил камень и на левый конец стержня положил барана, а на правый сел сам. Оказалось, что стержень находится в равновесии, когда камень расположен на расстоянии \(m=2{,}5\) пядей от пастуха. Затем поменял барана на другого и сел на то же место. При этом камень для равновесия пришлось передвинуть на \(n=1\) пядь влево. Пренебрегая размерами пастуха и баранов найдите:
Во сколько раз пастух тяжелее первого барана?
Во сколько раз второй баран тяжелее первого?
Во сколько раз расстояние от опоры до первого барана было больше расстояния от опоры до пастуха?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУсловие равновесия рычага — равенство моментов сил относительно опоры. Составьте его для обоих случаев и сравните.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(3{,}8 \pm 0{,}038\); 2) \(1{,}5647 \pm 0{,}016\); 3) \(3{,}8 \pm 0{,}038\).
Игра с летающим диском
На аллее в парке хозяин играет с собакой. В начальный момент времени собака сидит рядом с ним, а хозяин бросает летающий диск. Собака бежит за диском, подбирает его, с такой же скоростью бежит обратно и в момент времени \(11\,t_0\) отдаёт в руки хозяину. Ось \(Ox\) направлена вдоль аллеи. На рисунке показан график зависимости от времени проекций на ось \(Ox\) скоростей диска (\(V_1\), красная линия), собаки (\(V_2\), сиреневая линия) и хозяина (\(V_3\), зелёная линия). График выполнен в масштабе только по оси времени. Значение \(t_0=4{,}1\) с. Известно, что хозяин идёт по аллее со скоростью \(V_0=0{,}4\) м/с. Остальные проекции скоростей надо вычислять, указан только их знак и отмечено нулевое значение. Все участки графиков начинаются и заканчиваются строго в обозначенные моменты времени.
Определите:
Отношение \(V_1/V_3\) проекции скорости диска к проекции скорости человека в момент времени \(t_1=1{,}2\,t_0\).
Проекцию на ось \(Ox\) скорости человека относительно диска \(V_x\) в момент времени \(t_2=1{,}6\,t_0\).
Максимальное расстояние \(L_1\) между собакой и человеком.
Максимальное расстояние \(L_2\) между диском и собакой.
Проекцию на ось \(Ox\) перемещения собаки \(S_x\) за время игры.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПроекции скоростей на графике — ступеньки; для каждого момента времени найдите, какая линия на нём действует. Расстояния находятся как площади под графиками скоростей на нужных интервалах.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(-6 \pm 0{,}1\); 2) \(V_x = -2{,}805 \pm 0{,}11\) м/с; 3) \(L_1 = 24{,}596 \pm 0{,}11\) м; 4) \(L_2 = 14{,}762 \pm 0{,}11\) м; 5) \(S_x = -4{,}917 \pm 0{,}11\) м.
Найдите момент силы
Какое усилие должен приложить автомеханик, чтобы закрутить болт на колесе автомобиля, прикладывая момент силы \(M=60\) Н·м ключом с длиной рукоятки \(L=22\) см?
Чему равна максимальная величина силы трения (в килоньютонах), удерживающей болт на месте, если отвернуть его можно, прикладывая силу \(F=500\) Н гаечным ключом с длиной рукоятки \(L=22\) см? Толщиной резьбы болта пренебречь. Диаметр болта \(d=12\) мм.
Какой длины надо взять насадку к рукоятке ключа длиной 20 см (добавить к уже имеющейся длине), чтобы, прилагая усилие \(F_1=500\) Н, затянуть болт на колесе микроавтобуса моментом силы \(M_1=180\) Н·м?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМомент силы — произведение силы на плечо. Сила трения в резьбе создаёт момент относительно оси болта, плечо которого равно половине диаметра.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(272{,}75 \pm 0{,}5\) Н; 2) \(18{,}34 \pm 0{,}2\) кН; 3) \(16{,}005 \pm 0{,}15\) см.
Скорость машинки и поршня
Радиоуправляемая машинка начинает движение с постоянной скоростью при нажатии на пульте дистанционного управления кнопки «Старт», останавливается при нажатии кнопки «Стоп» и возвращается в начальное положение при нажатии кнопки «Сброс». Ультразвуковой датчик координаты подключён к цифровому прибору, который показывает на экране график зависимости от времени расстояния от датчика до поверхности поршня, который движется внутри цилиндрического сосуда. Определите с точностью до сотых:
скорость \(v\) движения машинки;
максимальную скорость движения поршня \(V_{max}\) относительно земли при этом движении;
скорость движения поршня \(V_1\) относительно земли в момент, когда поршень максимально близок к левой стенке сосуда.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость по графику расстояния — это наклон прямой; поршень связан с машинкой (нитью или механизмом), поэтому сравните его скорость с движением машинки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 4{,}7 \pm 0{,}1\) см/с; 2) \(V_{max} = 9{,}4 \pm 0{,}2\) см/с; 3) \(V_1 = 4{,}7 \pm 0{,}1\) см/с.
Движение по дугам
Материальная точка движется в плоскости \(XOY\) по дугам окружностей. За первую секунду движения она перемещается из точки \(A\) в точку \(B\), а за вторую — из точки \(B\) в точку \(C\). На рисунке показана траектория, пройденная точкой за первые две секунды движения, а также равномерная сетка. В течение всего рассматриваемого интервала времени направление движения точки вдоль траектории не менялось, \(X_0 = 12\) м, выделенные точки расположены строго в узлах координатной сетки. Величиной средней скорости (модулем вектора средней скорости) называется отношение модуля вектора перемещения ко времени, за которое перемещение было совершено. Определите:
величину средней скорости \(V_{y1}\) движения точки вдоль оси \(OY\) за первую секунду;
величину средней скорости \(V_2\) (модуль вектора средней скорости) движения точки за вторую секунду;
величину средней скорости \(V\) (модуль вектора средней скорости) движения точки за первые две секунды;
среднюю путевую скорость \(V_s\) точки (отношение пройденного пути к времени движения).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПеремещение — вектор от начальной точки к конечной; средняя путевая скорость считается по длине дуги, а не по перемещению.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{y1} = 36{,}003 \pm 0{,}11\) м/с; 2) \(V_2 = 16{,}973 \pm 0{,}11\) м/с; 3) \(V = 26{,}829 \pm 0{,}11\) м/с; 4) \(V_s = 37{,}697 \pm 0{,}11\) м/с.
Две машины
Две машины одновременно начали движение и, двигаясь по одному маршруту, одновременно прибыли в пункт назначения. Первая машина прошла первую треть пути со скоростью \(V_1=24{,}2\) м/с, а оставшуюся часть пути со скоростью \(V_2=20{,}2\) м/с. Вторая машина прошла первую половину пути со скоростью \(V_1\), затем останавливалась на \(t=4{,}5\) мин на заправке, а вторую половину пути прошла со скоростью \(V_2\). Вычислите:
Какой путь \(S\) прошли машины.
Среднюю путевую скорость второй машины \(V\) (отношение всего пройденного пути к затраченному времени).
Максимальное расстояние между машинами в процессе движения \(L\).
Какое расстояние \(Z\) машины проехали рядом.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыразите время движения каждой машины через весь путь \(S\) и скорости на участках. Расстояние между машинами удобно строить как функцию времени: его максимум и отрезок, где машины едут рядом, видны на таком графике.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S = 198 \pm 0{,}5\) км; 2) \(V = 21{,}373 \pm 0{,}11\) м/с; 3) \(L = 5{,}456 \pm 0{,}11\) км; 4) \(Z = 165 \pm 0{,}5\) км.
Скорости частиц
Частицы \(A\) и \(B\) движутся вдоль оси \(Ox\). В момент времени \(t=0\) частица \(A\) находится в точке с координатой \(X_1=-2{,}7\) м, а частица \(B\) — в точке с координатой \(X_2=2{,}5\) м. На рисунке показан график зависимости проекций скорости частиц от времени, \(V_0=4{,}7\) м/с, \(t_0=1{,}5\) с, концы отрезков находятся строго в узлах координатной сетки. Вычислите:
Величину максимальной относительной скорости частиц \(V\).
На сколько метров \(L\) увеличилось расстояние между частицами, пока они двигались с этой скоростью.
На каком расстоянии \(S\) находились частицы в момент времени \(5t_0\).
Для частицы \(A\) вычислите среднюю путевую скорость \(V_S\) (отношение всего пройденного пути к затраченному времени) за всё время движения.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОтносительная скорость — разность проекций скоростей двух частиц; её модуль максимален там, где разность графиков наибольшая. Пройденный путь равен площади под графиком модуля скорости, а не площади под самим графиком.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 23{,}5 \pm 0{,}047\) м/с; 2) \(L = 35{,}25 \pm 0{,}0705\) м; 3) \(S = 100{,}55 \pm 0{,}2\) м; 4) \(V_S = 7{,}05 \pm 0{,}014\) м/с.
Масса гири, стаканов и параметры жидкости
В первом стакане находится некоторый объём \(V\) неизвестной жидкости, во втором — такой же объём \(V\) воды. Один миллилитр (то есть см\(^3\)) воды имеет массу 1 г. Стаканы №1 и №2 одинаковы. Жидкости можно набирать только в пустую пипетку.
Измерьте:
Массу синей гири (с точностью до сотых).
Массу стакана №1 (с точностью до сотых).
Массу стакана №3 (с точностью до сотых). Внимание! Гирь для этого недостаточно.
Массу \(M\) неизвестной жидкости (с точностью до десятых).
Объём \(V\) неизвестной жидкости (с точностью до десятых).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравнивайте массы стаканов с одинаковым объёмом воды и с одинаковым объёмом неизвестной жидкости: разность масс даёт массу жидкости. Для стакана, которого не хватает гирь, используйте равенство масс одинаковых стаканов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_{\text{гири}} = 0{,}1 \pm 0{,}001\) г; 2) \(m_1 = 5{,}5 \pm 0{,}02\) г; 3) \(m_3 = 28{,}75 \pm 0{,}02\) г; 4) \(M = 105{,}402 \pm 0{,}11\) г; 5) \(V = 155{,}001 \pm 0{,}11\) мл.
Гири на весах
Определите массу гирь, помеченных знаком вопроса. Гири нумеруются красными цифрами по месту их расположения на столе, а числа на гирях указывают их массу в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравнивайте неизвестную гирю с известными гирями на весах: при равновесии массы на чашках одинаковы.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветГиря 1: \(29 \pm 0{,}05\) г; гиря 2: \(171 \pm 0{,}05\) г; гиря 3: \(729 \pm 0{,}05\) г; гиря 4: \(1999{,}1 \pm 0{,}05\) г.
Энергия деформации пружины и работа силы тяжести
Имеется: гиря неизвестной массы; пружина; штатив, лапку которого (зажим) можно перемещать, и в которой можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири массой \(150\) и \(200\) г. Если гиря, подвешенная на пружине, касается датчика или стола, или сила деформации превышает некоторую предельную, пружина выскакивает из зажима штатива. Определите:
массу \(M\) гири (в граммах);
энергию \(E\) (в миллиджоулях) упругой деформации пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё гири;
какую работу \(A_1\) (в миллиджоулях) совершит сила тяжести, если из этого состояния равновесия гирю снять с крючка и поставить на датчик координаты;
какую работу \(A_2\) (в миллиджоулях) совершит сила тяжести, если гирю снять с датчика координаты, подвесить на пружину и дождаться прекращения колебаний.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРастяжение пружины при подвешивании гири даёт массу; энергия упругой деформации равна \(k\,\Delta x^2/2\), работа силы тяжести — \(mgh\) по перемещению.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M = 101{,}4 \pm 3\) г; 2) \(E = 19{,}9 \pm 1\) мДж; 3) \(A_1 = 157 \pm 2{,}5\) мДж; 4) \(A_2 = -157 \pm 2{,}5\) мДж.
Муравей-сладкоежка
Школьник пытался делать уроки на даче в саду, но было лень … Он решил попить кофе и случайно просыпал сахарный песок на тетрадку. Муравей почуял сладкое и пополз собирать лакомство со страницы. За первую минуту движения он переместился из точки \(A\) в точку \(B\), а за вторую минуту — из точки \(B\) в точку \(C\). При прохождении каждого из участков муравей полз только вперёд (не возвращался назад) по дугам окружности; \(X_0 = Y_0 = 1\) см. Определите:
величину средней скорости (\(V_{y1}\)) движения муравья вдоль оси \(OY\) за первую минуту;
путь (\(S\)), пройденный муравьём за вторую минуту;
среднюю путевую скорость (\(V_s\)) муравья за всё время движения (отношение пройденного пути ко времени движения).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКаждый участок — дуга окружности, длина дуги равна радиусу, умноженному на угол в радианах. Средняя скорость вдоль оси — изменение координаты, делённое на время.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{y1} = 0{,}6666 \pm 0{,}011\) мм/с; 2) \(S = 15{,}708 \pm 0{,}11\) см; 3) \(V_s = 1{,}8326 \pm 0{,}011\) мм/с.
Перевозка волка
По клетке, стоящей на платформе медленно движущегося с постоянной скоростью поезда, вдоль стенок клетки бегает волк со скоростью \(V_{\text{волка}}\) относительно пола клетки. Величина максимальной скорости волка относительно земли \(9{,}2\) м/с, минимальной — \(4{,}1\) м/с. Поезд движется медленнее, чем волк относительно поезда. Чему равна скорость движения поезда \(V_{\text{поезда}}\) (в километрах в час)? Скорость волка \(V_{\text{волка}}\) (в километрах в час)? Вычисления проводить с точностью не менее 4 значащих цифр.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость волка относительно земли — это сумма или разность его скорости относительно клетки и скорости поезда. Максимум и минимум соответствуют бегу по ходу и против хода поезда.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{\text{поезда}} = 9{,}18 \pm 0{,}1\) км/ч; 2) \(V_{\text{волка}} = 23{,}94 \pm 0{,}05\) км/ч.
Тележки на рельсе
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Известно, что средняя скорость тележки (отношение пройденного пути к времени движения) прямо пропорционально зависит от времени движения от начальной точки. Определите:
длину \(W\) одной тележки;
расстояние \(X\) между оптическими воротами;
расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами;
расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя скорость, растущая пропорционально времени, означает линейный рост скорости: путь от старта растёт квадратично по времени.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(W = 10{,}9 \pm 0{,}05\) см; 2) \(X = 15 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_1 = 28{,}45 \pm 0{,}1\) см; 4) \(L_2 = 24{,}804 \pm 0{,}12\) см.
Движение муравья
Школьник делал уроки на даче в саду. Он решил попить кофе и случайно просыпал сахарный песок на тетрадку. Муравей почуял сладкое и пополз собирать лакомство со страницы. За первую минуту движения он переместился из точки \(A\) в точку \(B\), а за вторую минуту — из точки \(B\) в точку \(C\). При прохождении каждого из участков муравей полз только вперёд (не возвращался назад) по дугам окружности; \(X_0 = Y_0 = 0{,}6\) см. Определите:
величину средней скорости (\(V_{y1}\)) движения муравья вдоль оси \(OY\) за первую минуту;
путь (\(S\)), пройденный муравьём за вторую минуту;
модуль вектора средней скорости (\(V\)) муравья за всё время движения;
среднюю путевую скорость (\(V_s\)) муравья за всё время движения (отношение пройденного пути ко времени движения).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКаждый участок — дуга окружности: её длина равна радиусу, умноженному на угол в радианах. Модуль средней скорости — перемещение за всё время, делённое на время.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{y1} = 0{,}4004 \pm 0{,}011\) мм/с; 2) \(S = 9{,}427 \pm 0{,}11\) см; 3) \(V = 0{,}5104 \pm 0{,}011\) мм/с; 4) \(V_s = 1{,}1 \pm 0{,}011\) мм/с.
Масса гирь, помеченных знаком вопроса
Определите массу гирь, помеченных знаком вопроса. Гири пронумерованы красными цифрами по месту их расположения на столе, а числа на гирях указывают их массу в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЧашечные весы показывают равенство масс при равновесии: неизвестную гирю уравновесьте известными.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветГиря 1: \(39 \pm 0{,}05\) г; гиря 2: \(161 \pm 0{,}05\) г; гиря 3: \(739 \pm 0{,}05\) г; гиря 4: \(1999{,}3 \pm 0{,}05\) г.
Бананы и орехи
Однажды Мартышка и Попугай решили взвесить друг друга при помощи бананов и орехов. Оказалось, что масса Попугая \(M_1\) равна массе \(N=83\) орехов. Относительной погрешностью \(\delta M\) измерения величины \(M\) называется отношение погрешности \(\Delta M\) измерения величины \(M\) к самой этой величине: \(\delta M = \Delta M/M\). Вычислите:
С какой относительной погрешностью \(\delta M_1\) определили массу Попугая в орехах.
Относительная погрешность при взвешивании Попугая при помощи бананов оказалась в \(K=14\) раз больше. Найдите отношение \(X\) массы ореха к массе банана.
Оказалось, что масса Мартышки \(M_2\) равна массе \(Y=42\) бананов. Чему будет равна относительная погрешность \(\delta M_2\) при взвешивании Мартышки при использовании орехов?
Какой будет эта погрешность \(\delta M_3\) сразу после того, как Мартышка съест \(Z=2{,}6\) бананов?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОтносительная погрешность взвешивания обратно пропорциональна числу мерок, которое укладывается в массу взвешиваемого тела. Сравните эти числа для орехов и бананов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\delta M_1 = 0{,}602 \pm 0{,}006\) %; 2) \(X = 0{,}0714 \pm 0{,}0007\); 3) \(\delta M_2 = 0{,}0850 \pm 0{,}0009\) %; 4) \(\delta M_3 = 0{,}0801 \pm 0{,}0008\) %.
Объём сухого и влажного песка
В одинаковых массивных стаканах №1 и №2 (массой \(m\) каждый) сначала находился сухой песок — во втором стакане его было столько же, сколько в первом. Затем в стакан №2 налили некоторый объём \(V\) воды, из-за чего песок в нём стал влажным и более тяжёлым. Определите:
объём \(V_0\) воды в мерном стакане — с точностью до миллилитров;
первоначальный суммарный объём \(V_{12}\) сухого песка в первом и втором стакане — с точностью до миллилитров;
объём \(V_2\) влажного песка во втором стакане — с точностью до миллилитров;
объём воды \(V\), который долили в стакан №2, — с точностью до десятых миллилитра;
объём \(V_3\) оставшегося воздуха между песчинками влажного песка в стакане №2 — с точностью до десятых миллилитра.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните массы стаканов с песком до и после долива воды. Объём воздуха в песке — это разность объёма влажного песка и суммы объёмов песчинок и воды.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_0 = 165{,}2 \pm 4\) мл; 2) \(V_{12} = 390 \pm 5\) мл; 3) \(V_2 = 195 \pm 2\) мл; 4) \(V = 40{,}02 \pm 0{,}6\) мл; 5) \(V_3 = 42{,}2 \pm 2\) мл.
Взвешивание с помощью сцепленных динамометров
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. К грузу, подвешенному к динамометру, можно подцеплять снизу другие грузы. Определите с точностью до целых:
массу груза № 1;
массу груза № 2;
массу груза № 3.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоказание верхнего динамометра равно весу всех грузов, подвешенных под ним, а нижнего — весу только своего груза.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 428{,}6 \pm 2\) г; 2) \(m_2 = 238{,}4 \pm 2\) г; 3) \(m_3 = 1632{,}6 \pm 2\) г.
Эксперименты с тремя машинками
Имеется прибор с датчиком-эхолотом, позволяющий строить график зависимости расстояния от него до поверхности ближайшего предмета. Также имеются три машинки, которые можно ставить на линию напротив датчика-эхолота; движением одной из них можно управлять. Ось координат расположена слева направо. Определите в этой системе координат с учётом знака с точностью до сотых:
величину проекции на ось \(V_{1a}\) скорости машинки №1 при её движении вправо;
величину проекции на ось \(V_{1b}\) скорости машинки №1 при её движении влево;
величину проекции на ось \(V_2\) машинки №2 при её движении вправо;
разность \(L_1-L_2\) длин машинок №1 и №2;
расстояние \(X\) от эхолота до точки остановки машинок после отражения их от эхолота (машинки останавливаются при достижении левого края экрана);
длину \(L_1\) машинки №1.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость — наклон участка графика расстояния от времени. Для длины машинки важны моменты, когда её передний и задний края проходят датчик.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{1a} = 10 \pm 0{,}02\) см/с; 2) \(V_{1b} = -9{,}112 \pm 0{,}04\) см/с; 3) \(V_2 = 4{,}19 \pm 0{,}02\) см/с; 4) \(L_1-L_2 = 3{,}86 \pm 0{,}02\) см; 5) \(X = 72{,}7 \pm 0{,}025\) см; 6) \(L_1 = 8{,}47 \pm 0{,}02\) см.
Объём и плотность сухого и влажного песка
В одинаковых массивных стаканах №1 и №2 (массой \(m=51\) г каждый) сначала находился сухой песок — во втором стакане его было столько же, сколько в первом. Затем в стакан №2 налили некоторый объём \(V\) воды, из-за чего песок в нём стал влажным и более тяжёлым. Определите:
объём \(V_0\) воды в мерном стакане — с точностью до миллилитров;
первоначальный суммарный объём \(V_{12}\) сухого песка в первом и втором стакане — с точностью до миллилитров;
объём \(V_2\) влажного песка во втором стакане — с точностью до миллилитров;
объём воды \(V\), который долили в стакан №2, — с точностью до десятых миллилитра;
объём \(V_3\) оставшегося воздуха между песчинками влажного песка в стакане №2 — с точностью до десятых миллилитра;
плотность материала песчинок — с точностью до тысячных.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните массы стаканов с песком до и после долива воды. Объём воздуха в песке — это разность объёма влажного песка и суммы объёмов песчинок и воды; плотность песчинок найдите из массы сухого песка и его объёма.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_0 = 165{,}2 \pm 4\) мл; 2) \(V_{12} = 384 \pm 5\) мл; 3) \(V_2 = 192 \pm 2\) мл; 4) \(V = 31{,}98 \pm 0{,}6\) мл; 5) \(V_3 = 26 \pm 2\) мл; 6) \(\rho_{\text{пес}} = 2{,}121 \pm 0{,}03\) г/см\(^3\).
Переправа через реку
Ширина реки \(L = 1095\) м, скорость её течения \(U = 0{,}5\) м/с, собственная скорость катера \(V = 2{,}7\) м/с. Найдите:
минимальное время \(T_1\), за которое катер может переплыть реку (с точностью до десятых);
путь \(S\), который он пройдёт при такой переправе (с точностью до десятых);
время \(T_2\), за которое катер сможет переплыть реку по наикратчайшему пути (с точностью до десятых);
синус угла \(\alpha\) между вектором собственной скорости катера и скоростью течения при переправе по наикратчайшему пути (с точностью до тысячных).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля минимального времени катер должен всё время направлять нос строго поперёк реки. Наикратчайший путь — перпендикулярный берегу, и для него собственная скорость катера направлена под углом к течению.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(T_1 = 405{,}559 \pm 0{,}11\) с; 2) \(S = 1113{,}618 \pm 0{,}11\) м; 3) \(T_2 = 412{,}698 \pm 0{,}11\) с; 4) \(\sin\alpha = 0{,}9828 \pm 0{,}002\).
Объём и плотность сухого и влажного песка
В одинаковых массивных стаканах №1 и №2 (массой \(m = 51\) г каждый) сначала находился сухой песок — во втором стакане его было столько же, сколько в первом. Затем в стакан №2 налили некоторый объём \(V\) воды, из-за чего песок в нём стал влажным и более тяжёлым. Определите:
объём \(V_0\) воды в мерном стакане (с точностью до миллилитров);
первоначальный суммарный объём \(V_{12}\) сухого песка в первом и втором стакане (с точностью до миллилитров);
объём \(V_2\) влажного песка во втором стакане (с точностью до миллилитров);
объём воды \(V\), которую долили в стакан №2 (с точностью до десятых миллилитра);
объём \(V_3\) оставшегося воздуха между песчинками влажного песка в стакане №2 (с точностью до десятых миллилитра);
плотность материала песчинок (с точностью до тысячных).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса стакана с песком и водой даёт массу воды и, через плотность, её объём. Сравнивая массы сухого и влажного песка, найдите объём воздуха в смеси как разность объёмов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_0 = 145{,}2 \pm 4\) мл; 2) \(V_{12} = 416 \pm 5\) мл; 3) \(V_2 = 208 \pm 2\) мл; 4) \(V = 39{,}48 \pm 0{,}6\) мл; 5) \(V_3 = 56 \pm 2\) мл; 6) \(\rho = 2{,}55 \pm 0{,}03\) г/см\(^3\).
Тележки на рельсе
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Известно, что средняя скорость тележки (отношение пройденного пути к времени движения) прямо пропорционально зависит от времени движения от начальной точки. Определите:
длину \(W\) одной тележки;
расстояние \(X\) между оптическими воротами;
расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами;
расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля равноускоренного движения из состояния покоя средняя скорость равна половине конечной. Какая зависимость координаты от времени даёт среднюю скорость, линейную по времени?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(W = 10{,}9 \pm 0{,}05\) см; 2) \(X = 16{,}2 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_1 = 27{,}7 \pm 0{,}1\) см; 4) \(L_2 = 25{,}656 \pm 0{,}12\) см.
Незнайка строит дом
Незнайка решил построить дом из кубиков. Для фундамента он разложил одинаковые кубики массой \(m = 75\) г по сторонам квадрата в несколько слоёв. Но площадь дома оказалась маленькой. Тогда Незнайка сложил новый фундамент. Новая сторона квадрата была теперь на \(Z = 8\) кубиков больше, и кубики лежали в два слоя. Оказалось, что суммарная сила, с которой фундамент давил на опору, не изменилась, а давление со стороны нижних кубиков на опору уменьшилось в \(1{,}5\) раза и составило \(P = 184\) Па. Найдите:
вес \(F\) кубиков, которые использовал Незнайка во втором случае;
площадь \(S\) грани кубика;
массу \(M_1\) кубиков в нижнем слое фундамента в первом случае;
во сколько раз \(K\) увеличилась площадь внутри дома из-за переделки фундамента.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОбщий вес кубиков не меняется, а давление нижних кубиков связано с весом и площадью их основания.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F = 141{,}11 \pm 1{,}55\) Н; 2) \(S = 79{,}88 \pm 0{,}88\) см\(^2\); 3) \(M_1 = 4799{,}52 \pm 52{,}8\) г; 4) \(K = 2{,}350876 \pm 0{,}026\).
Тележки на рельсе
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Известно, что средняя скорость тележки (отношение пройденного пути к времени движения) прямо пропорционально зависит от времени движения от начальной точки. Определите:
длину \(W\) одной тележки;
расстояние \(X\) между оптическими воротами;
расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами;
расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля равноускоренного движения из состояния покоя средняя скорость равна половине конечной. Какая зависимость координаты от времени даёт среднюю скорость, линейную по времени?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(W = 10{,}9 \pm 0{,}05\) см; 2) \(X = 16{,}2 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_1 = 27{,}7 \pm 0{,}1\) см; 4) \(L_2 = 25{,}656 \pm 0{,}12\) см.
Тележки на рельсе
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Известно, что средняя скорость тележки (отношение пройденного пути к времени движения) прямо пропорционально зависит от времени движения от начальной точки. Определите:
длину \(W\) одной тележки;
расстояние \(X\) между оптическими воротами;
расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами;
расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса. Положение тележки отсчитывается по концу стрелки, оптических ворот — по вертикальной красной риске, находящейся около их основания;
значение \(a\) ускорения, с которым тележка движется по рельсу;
длину \(L\) рельса;
значение \(V_{max}\) максимальной скорости, которую тележка может приобрести при движении по рельсу.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри равноускоренном движении из начального положения средняя скорость равна половине конечной; выразите путь через время.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(W = 10{,}30 \pm 0{,}05\) см; 2) \(X = 16{,}6 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_1 = 28{,}3 \pm 0{,}1\) см; 4) \(L_2 = 24{,}35 \pm 0{,}12\) см; 5) \(L = 74{,}4 \pm 0{,}2\) см; 6) \(a = 0{,}2548 \pm 0{,}002\) м/с\(^2\); 7) \(V_{max} = 0{,}5715 \pm 0{,}005\) м/с.
Параметры мензурок
Имеется две мензурки с подписанными шкалами, третья мензурка с неподписанной шкалой, отливной стакан, весы и пипетка. В отливном стакане находится вода. Определите:
максимальный объём \(v\) воды, который можно налить в мензурку с подписанной шкалой (с точностью до целых);
максимальный объём \(V\) воды, который можно налить в мензурку с неподписанной шкалой (с точностью до целых);
цену деления \(V_3\) рисок третьей мензурки (с точностью до десятых).
Ускорение свободного падения считать равным \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\), плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса налитой воды, поделённая на её плотность, даёт объём. Неподписанную мензурку удобно откалибровать взвешиванием, а цену деления найти по числу рисок, которое занимает известный объём.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 210 \pm 2\) мл; 2) \(V = 365 \pm 2\) мл; 3) \(V_3 = 45 \pm 0{,}5\) мл (цена деления).
Рыбки в ведре
Плот плывёт по реке по течению со скоростью \(V_1=0{,}24\) м/с относительно берега. На плоту стоит ведро с живцами. Рыбки всё время плавают со скоростью \(V_2=0{,}63\) м/с относительно воды в ведре. Определите:
максимально возможную скорость \(V_{\max}\) рыбки относительно берега;
минимально возможную по модулю скорость \(V_{\min}\) рыбки относительно берега;
максимально возможную скорость \(V_3\) одной рыбки относительно другой;
максимально возможную скорость \(V_4\) рыбки относительно воды в реке.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость рыбки относительно берега складывается из скорости плота и скорости рыбки относительно воды в ведре. Экстремумы достигаются, когда векторы сонаправлены или противоположны.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{\max} = 0{,}869913 \pm 0{,}00957\) м/с; 2) \(V_{\min} = 0{,}389961 \pm 0{,}00429\) м/с; 3) \(V_3 = 1{,}259874 \pm 0{,}01386\) м/с; 4) \(V_4 = 0{,}629937 \pm 0{,}00693\) м/с.
Две тележки и рельс
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Известно, что средняя скорость тележки (отношение пройденного пути к времени движения) прямо пропорционально зависит от времени движения от начальной точки. Определите:
длину \(W\) одной тележки;
расстояние \(X\) между оптическими воротами;
расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами;
расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса.
Положение тележки отсчитывается по концу стрелки. Положение оптических ворот отсчитывается по вертикальной красной риске, находящейся около их основания. Линейку можно вращать за края. Длину \(W\) необходимо найти с точностью не хуже чем до сотых, остальные ответы — с точностью до одной десятой.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя скорость, пропорциональная времени, означает путь, пропорциональный квадрату времени. Какое движение так устроено?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(W = 10{,}7 \pm 0{,}05\) см; 2) \(X = 16{,}3 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_1 = 26{,}9 \pm 0{,}1\) см; 4) \(L_2 = 24{,}456 \pm 0{,}12\) см.
Пастила в шоколаде
Брусочки пастилы, равномерно покрытые шоколадной глазурью, имеют размеры \(a=15\) мм, \(b=19\) мм, \(c=127\) мм, толщина глазури \(x=0{,}4\) мм. Пастильная масса имеет плотность \(\rho_P=0{,}79\) г/см\(^3\), содержание воды в ней \(Y=25\) %. Шоколадная глазурь имеет плотность \(\rho_G=1{,}08\) г/см\(^3\), содержания воды в ней не допускается, а содержание в ней какао по массе \(X=18\) %. Определите:
среднюю плотность \(\rho\) готовой пастилы в шоколаде;
процент (по массе) \(Z\) содержания какао в готовой пастиле;
сколько граммов \(M_1\) какао потребуется для изготовления \(M=20\) кг пастилы;
сколько килограммов \(M_2\) воды будет содержаться в этой пастиле;
минимальное давление \(P\), которое брусочек пастилы может оказывать на поверхность тарелки.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя плотность — полная масса, делённая на полный объём; объём глазури находится как разность объёмов бруска с покрытием и без него.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\rho = 0{,}8186 \pm 0{,}009\) г/см\(^3\); 2) \(Z = 2{,}348 \pm 0{,}026\) %; 3) \(M_1 = 469{,}66 \pm 5{,}17\) г; 4) \(M_2 = 4{,}347 \pm 0{,}048\) кг; 5) \(P = 120{,}33 \pm 1{,}32\) Па.
Столкновения тележки со стенками рельса
При нажатии кнопки Пуск тележка начинает двигаться. Определите:
начальную координату \(X_0\) тележки (в см) с точностью до сотых;
скорость \(v\) тележки (в см/с) с точностью до сотых;
длину \(L\) шкалы рельса (в см) с точностью до десятых;
количество \(N_1\) столкновений тележки с левой стенкой рельса через \(t=4182\) с после начала её движения из начального состояния, если во время движения она будет упруго отражаться от стенок с сохранением модуля скорости;
количество \(N_2\) столкновений тележки с правой стенкой рельса до этого момента при тех же условиях.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТележка проходит рельс туда и обратно за фиксированное время; число столкновений с каждой стенкой определяется числом таких полных проходов за время \(t\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X_0 = 26{,}392 \pm 0{,}04\) см; 2) \(v = 10{,}7 \pm 0{,}05\) см/с; 3) \(L = 166 \pm 0{,}2\) см; 4) \(N_1 = 134 \pm 0{,}002\); 5) \(N_2 = 135 \pm 0{,}002\).
Скорости точек
В момент начала отсчёта времени две материальные точки начинают движение вдоль оси \(OX\). На рисунке показан график зависимости проекций скоростей этих точек от времени. Концы отрезков находятся строго в узлах координатной сетки. Оказалось, что в интервале времени от нуля до \(6t_0\) средняя путевая скорость (отношение пройденного пути ко времени) первой точки \(V_{ср1}=4{,}4\) м/с. Определите:
значение \(V_0\) на графике;
среднюю путевую скорость \(V_{ср2}\) второй точки в интервале времени от 0 до \(6t_0\);
максимальное значение скорости \(V_{21\max}\) второй точки относительно первой в этом интервале времени;
скорость \(V_{21}\) второй точки относительно первой в момент времени \(3{,}5t_0\).
Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента. Средняя скорость на участке с линейно изменяющейся скоростью равна полусумме начальной и конечной скорости на этом участке.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПуть первой точки — площадь под её графиком \(V_x(t)\) с учётом модуля скорости. Для второй точки скорость линейно растёт, поэтому её средняя скорость — полусумма крайних значений.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_0 = 2{,}514 \pm 0{,}028\) м/с; 2) \(V_{ср2} = 5{,}028 \pm 0{,}055\) м/с; 3) \(V_{21\max} = 15{,}084 \pm 0{,}17\) м/с; 4) \(V_{21} = 2{,}095 \pm 0{,}023\) м/с.
Рыбки в ведре
Плот плывёт по реке по течению со скоростью \(V_1 = 0{,}24\) м/с относительно берега. На плоту стоит ведро с живцами. Рыбки всё время плавают со скоростью \(V_2 = 0{,}63\) м/с относительно воды в ведре. Определите:
максимально возможную скорость \(V_{\max}\) рыбки относительно берега;
минимально возможную по модулю скорость \(V_{\min}\) рыбки относительно берега;
максимально возможную скорость \(V_3\) одной рыбки относительно другой;
максимально возможную скорость \(V_4\) рыбки относительно воды в реке.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость рыбки относительно берега складывается из скорости воды и скорости рыбки относительно воды в ведре. Переберите направления, при которых модуль такой суммы наибольший и наименьший.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{\max} = 0{,}869913 \pm 0{,}00957\) м/с; 2) \(V_{\min} = 0{,}389961 \pm 0{,}00429\) м/с; 3) \(V_3 = 1{,}259874 \pm 0{,}01386\) м/с; 4) \(V_4 = 0{,}629937 \pm 0{,}00693\) м/с.
Масса кубов, слитка и пластины
Определите массу кубов, слитка и треугольной пластины с максимальной возможной точностью. Масса каждой из белых гирек равна \(100\) мг, масса подписанных гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПодберите набор гирь, который уравновешивает тело на чаше весов. Масса тела равна массе гирь на другой чаше.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) тело 1 — \(1556 \pm 0{,}001\) г; 2) тело 2 — \(2619 \pm 0{,}001\) г; 3) тело 3 — \(1624{,}9 \pm 0{,}001\) г; 4) тело 4 — \(4175{,}15 \pm 0{,}001\) г.
Параметры гирь, стаканов и жидкости
В первом стакане находится некоторый объём \(V\) неизвестной жидкости, во втором — такой же объём \(V\) воды. Один миллилитр (то есть \(1\) см\(^3\)) воды имеет массу \(1\) г. Стаканы №1 и №2 одинаковы. Жидкости можно набирать только в пустую пипетку. Измерьте:
массу синей гири (с точностью до сотых);
массу стакана №1 (с точностью до сотых);
массу стакана №3 (с точностью до сотых). Внимание! Гирь для этого недостаточно;
массу \(M\) неизвестной жидкости (с точностью до десятых);
плотность неизвестной жидкости (с точностью до тысячных).
Жидкости можно переливать в поставленный в раковину стакан или выливать в раковину, опираясь нижней частью стакана о деревянный стержень, появляющийся при движении стакана.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРавные объёмы воды и неизвестной жидкости можно отмерить пипеткой. Сравните массы стаканов с одинаковыми объёмами и учтите собственную массу стаканов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(0{,}2 \pm 0{,}001\) г; 2) \(7{,}5 \pm 0{,}02\) г; 3) \(21{,}45 \pm 0{,}02\) г; 4) \(84{,}238 \pm 0{,}11\) г; 5) \(0{,}71995 \pm 0{,}0011\) г/см\(^3\).
Столкновения тележки со стенками рельса
При нажатии кнопки Пуск тележка начинает двигаться. Определите:
начальную координату \(X_0\) тележки (в см) — с точностью до сотых;
скорость \(v\) тележки (в см/с) — с точностью до сотых;
длину \(L\) шкалы рельса (в см) — с точностью до десятых;
количество \(N_1\) столкновений тележки с левой стенкой рельса через \(t = 3743\) с после начала её движения из начального состояния, если во время движения она будет упруго отражаться от стенок с сохранением модуля скорости;
количество \(N_2\) столкновений тележки с правой стенкой рельса до этого момента при тех же условиях.
Увеличительное стекло позволяет увеличивать изображение выбранной области окна. Нажатие мышью в любой части этого окна восстанавливает первоначальный масштаб. Выделение мышью области графика (нажать кнопку мыши и вести вправо вниз, а затем отпустить кнопку) позволяет неоднократно увеличивать изображение выбранной области графика. Движение в обратном направлении (справа налево снизу вверх) восстанавливает первоначальный масштаб графика.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМежду отражениями тележка движется равномерно. Найдите время, за которое она возвращается в исходную точку, и сколько таких полных циклов укладывается в \(t\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X_0 = 18{,}492 \pm 0{,}04\) см; 2) \(v = 11{,}1 \pm 0{,}05\) см/с; 3) \(L = 166{,}5 \pm 0{,}2\) см; 4) \(N_1 = 124 \pm 0{,}002\); 5) \(N_2 = 125 \pm 0{,}002\).
Пастила в шоколаде
Брусочки пастилы, равномерно покрытые шоколадной глазурью, имеют размеры \(a = 14\) мм, \(b = 18\) мм, \(c = 126\) мм, толщина глазури \(x = 0{,}4\) мм. Пастильная масса имеет плотность \(\rho_P = 0{,}85\) г/см\(^3\), содержание воды в ней \(Y = 27\) %. Шоколадная глазурь имеет плотность \(\rho_G = 1{,}17\) г/см\(^3\), содержания воды в ней не допускается, а содержание в ней какао по массе \(X = 17\) %. Определите:
среднюю плотность \(\rho\) готовой пастилы в шоколаде;
процент (по массе) \(Z\) содержания какао в готовой пастиле;
сколько граммов \(M_1\) какао потребуется для изготовления \(M = 28\) кг пастилы;
сколько килограммов \(M_2\) воды будет содержаться в этой пастиле;
минимальное давление \(P\), которое брусочек пастилы может оказывать на поверхность тарелки.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса брусочка складывается из массы пастильной части и массы глазури, а объём глазури — разность объёмов брусочка в глазури и без неё.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\rho = 0{,}8834 \pm 0{,}0097\) г/см\(^3\); 2) \(Z = 2{,}358 \pm 0{,}026\) %; 3) \(M_1 = 660{,}33 \pm 7{,}26\) г; 4) \(M_2 = 6{,}51 \pm 0{,}072\) кг; 5) \(P = 121{,}21 \pm 1{,}33\) Па.
Рыбки в ведре
Плот плывёт по реке по течению со скоростью \(V_1 = 0{,}37\) м/с относительно берега. На плоту стоит ведро с живцами. Рыбки всё время плавают со скоростью \(V_2 = 0{,}56\) м/с относительно воды в ведре. Определите:
максимально возможную скорость \(V_{\max}\) рыбки относительно берега;
минимально возможную по модулю скорость \(V_{\min}\) рыбки относительно берега;
максимально возможную скорость \(V_3\) одной рыбки относительно другой;
максимально возможную скорость \(V_4\) рыбки относительно воды в реке.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость рыбки относительно берега складывается из скорости воды и скорости рыбки относительно воды в ведре. Переберите направления, при которых модуль такой суммы наибольший и наименьший.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{\max} = 0{,}929907 \pm 0{,}01023\) м/с; 2) \(V_{\min} = 0{,}189981 \pm 0{,}00209\) м/с; 3) \(V_3 = 1{,}119888 \pm 0{,}01232\) м/с; 4) \(V_4 = 0{,}559944 \pm 0{,}00616\) м/с.
Масса неподписанных гирь, кубов, слитка и пластины
Определите массу неподписанных белой и серой гирек, кубов, слитка и треугольной пластины с максимальной возможной точностью. Масса подписанных гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНеподписанные гирьки уравновешивайте подписанными гирями в разных комбинациях; масса каждого тела равна массе гирь на другой чаше весов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) тело 1 — \(1586 \pm 0{,}001\) г; 2) тело 2 — \(2644 \pm 0{,}001\) г; 3) белая гирька — \(0{,}125 \pm 0{,}001\) г; 4) серая гирька — \(0{,}75 \pm 0{,}001\) г; 5) тело 3 — \(1649{,}875 \pm 0{,}001\) г; 6) тело 4 — \(4230{,}125 \pm 0{,}001\) г.
Непослушный щенок
Девочка посадила щенка в сумку и стала спускаться с ним на эскалаторе в метро. Однако, через \(t_0=53{,}8\) с, когда они проехали \(S=32{,}3\) м, щенок выпрыгнул из сумки и побежал вверх со скоростью \(V_1=1{,}15\) м/с относительно эскалатора. Мальчик, который в этот момент поднимался по встречному эскалатору вверх и был как раз рядом с девочкой, крикнул ей, что поймает щенка. Он побежал вверх со скоростью \(V_2=0{,}59\) м/с относительно эскалатора, дождался щенка наверху, спустился с ним (бежал по движущемуся вниз эскалатору с той же скоростью) и передал хозяйке из рук в руки. Девочка ждала их на платформе \(t_3=74{,}9\) с.
Определите:
Скорость эскалатора относительно шахты (\(U\)).
Сколько времени (\(t_1\)) мальчик бежал по эскалатору вверх.
Сколько времени (\(t_2\)) мальчик ждал щенка наверху.
Длину шахты эскалатора (\(L\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость эскалатора найдите по пути девочки за время \(t_0\). Дальше складывайте скорость эскалатора с относительными скоростями мальчика и щенка и учитывайте, что девочка ждала на платформе всё время \(t_3\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(U = 0{,}6001 \pm 0{,}0072\) м/с; 2) \(t_1 = 27{,}124 \pm 0{,}326\) с; 3) \(t_2 = 31{,}62 \pm 0{,}38\) с; 4) \(L = 45{,}608 \pm 0{,}548\) м.
Непослушный щенок
Девочка посадила щенка в сумку и стала спускаться с ним на эскалаторе в метро. Однако, через \(t_0=53{,}8\) с, когда они проехали \(S=32{,}3\) м, щенок выпрыгнул из сумки и побежал вверх со скоростью \(V_1=1{,}15\) м/с относительно эскалатора. Мальчик, который в этот момент поднимался по встречному эскалатору вверх и был как раз рядом с девочкой, крикнул ей, что поймает щенка. Он побежал вверх со скоростью \(V_2=0{,}59\) м/с относительно эскалатора, дождался щенка наверху, спустился с ним (бежал по движущемуся вниз эскалатору с той же скоростью) и передал хозяйке из рук в руки. Девочка ждала их на платформе \(t_3=74{,}9\) с.
Определите:
Скорость эскалатора относительно шахты (\(U\)).
Сколько времени (\(t_1\)) мальчик бежал по эскалатору вверх.
Сколько времени (\(t_2\)) мальчик ждал щенка наверху.
Длину шахты эскалатора (\(L\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость эскалатора найдите по пути девочки за время \(t_0\). Дальше складывайте скорость эскалатора с относительными скоростями мальчика и щенка и учитывайте, что девочка ждала на платформе всё время \(t_3\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(U = 0{,}6001 \pm 0{,}0072\) м/с; 2) \(t_1 = 27{,}124 \pm 0{,}326\) с; 3) \(t_2 = 31{,}62 \pm 0{,}38\) с; 4) \(L = 45{,}608 \pm 0{,}548\) м.
Сцепленные динамометры
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. К грузу, подвешенному к динамометру, можно подцеплять снизу другие грузы. Определите с точностью до целых:
массу \(m_1\) груза № 1;
коэффициент жёсткости \(k_2\) пружины нижнего динамометра;
массу \(m_2\) груза № 2;
массу \(m_3\) груза № 3;
максимальную массу \(M\), которую можно взвесить в данной системе (не обязательно из имеющихся на столе тел).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоказание динамометра равно весу всех грузов, подвешенных ниже него. По растяжению пружины нижнего динамометра при известном грузе можно найти её жёсткость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 418{,}4 \pm 1\) г; 2) \(k_2 = 60{,}68 \pm 0{,}61\) Н/м; 3) \(m_2 = 272 \pm 1\) г; 4) \(m_3 = 1632{,}8 \pm 4\) г; 5) \(M = 1836{,}5 \pm 5\) г.
Скорость и перемещение тележки
Измерьте с помощью оптических датчиков с максимально возможной точностью:
скорость \(v\) тележки;
начальную координату \(x_0\) тележки;
какое было бы время \(t\) движения тележки от левого края рельса до правого, если бы начальная координата тележки была равна нулю;
какое было бы перемещение \(r\) тележки за \(109{,}91\) с движения от левого края рельса, если бы тележка упруго (без изменения модуля скорости) отражалась от краёв рельса.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость можно найти по двум показаниям датчиков: по расстоянию между ними и разности моментов прохождения тележки. Что меняется при упругом отражении от края рельса, а что остаётся?
Прогульщики
Два брата живут на расстоянии \(S = 18{,}3\) км от школы, после уроков они обычно доезжают до дома на школьном автобусе за \(t_1 = 30\) мин. Но однажды они сбежали из школы на \(t_0 = 50\) мин раньше окончания уроков. Один пошёл домой пешком и сел на автобус, когда тот догнал его в пути, а другой — взял в школе у друга велосипед и приехал домой одновременно с братом. Скорость велосипедиста в \(K = 3\) раза больше скорости пешехода. Школьный автобус каждый день отправляется по расписанию в одно и то же время. Определите:
скорость автобуса (\(U\));
скорость пешехода (\(V_п\));
скорость велосипедиста (\(V_в\));
сколько времени (\(t_2\)) шёл мальчик, пока его не догнал автобус;
какой путь (\(L\)) он прошёл за это время.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаАвтобус всё время едет с одной скоростью, а братья прибывают домой в одно время. Сравните, сколько времени каждый из них был в пути, и выразите путь автобуса через \(t_1\) и \(t_0\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(U = 36{,}59 \pm 0{,}44\) км/ч; 2) \(V_п = 4{,}573 \pm 0{,}055\) км/ч; 3) \(V_в = 13{,}72 \pm 0{,}165\) км/ч; 4) \(t_2 = 57{,}12 \pm 0{,}69\) мин; 5) \(L = 4{,}355 \pm 0{,}052\) км.
Взвешивание с помощью сцепленных динамометров
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. К грузу, подвешенному к динамометру, можно подцеплять снизу другие грузы. Определите с точностью до целых:
массу \(m_1\) груза № 1;
массу \(m_2\) груза № 2;
массу \(m_3\) груза № 3;
массу \(M\) нижнего динамометра.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВерхний динамометр показывает вес всего, что к нему подвешено, нижний — вес груза, подвешенного к нему самому. Сравните показания при разных подвесах.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 367{,}3 \pm 1\) г; 2) \(m_2 = 250{,}7 \pm 1\) г; 3) \(m_3 = 714{,}5 \pm 5\) г; 4) \(M = 102 \pm 1\) г.
Поездка на самокате
Для того чтобы добраться до университета студенту нужно пройти шоссе шириной \(X = 19{,}5\) м, проехать некоторое расстояние по парку и опять перейти шоссе такой же ширины. Он соблюдает правила, и по проезжей части движется пешком со скоростью \(V\), а на самокате едет только по парку со скоростью в \(K = 4{,}7\) раз большей. Оказалось, что средняя путевая скорость (отношение пути к затраченному времени) студента на всём маршруте \(V_{ср} = 4{,}6\) м/с совпала со средней скоростью с момента старта (\(t = 0\)) до момента времени \(t_1 = 293\) с. Определите:
длину всего пути (\(S\));
длину маршрута в парке (\(L\));
скорость движения пешком (\(V\));
скорость движения на самокате (\(U\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя путевая скорость равна отношению всего пути ко всему времени. Запишите время движения по проезжей части и по парку отдельно.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S = 2695 \pm 32\) м; 2) \(L = 2656 \pm 32\) м; 3) \(V = 1{,}032 \pm 0{,}023\) м/с; 4) \(U = 4{,}851091979522 \pm 0{,}11\) м/с.
Скорость и перемещение тележки
Измерьте с помощью оптических датчиков с максимально возможной точностью:
скорость \(v\) тележки;
начальную координату \(x_0\) тележки;
какое было бы время \(t\) движения тележки от левого края рельса до правого, если бы начальная координата тележки была равна нулю;
какое было бы перемещение \(r\) тележки за \(82{,}55\) с движения от левого края рельса, если бы тележка упруго (без изменения модуля скорости) отражалась от краёв рельса.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость можно найти по двум показаниям датчиков: по расстоянию между ними и разности моментов прохождения тележки. Что меняется при упругом отражении от края рельса, а что остаётся?
Прогульщики
Два брата живут на расстоянии \(S = 18{,}9\) км от школы, после уроков они обычно доезжают до дома на школьном автобусе за \(t_1 = 25\) мин. Но однажды они сбежали из школы на \(t_0 = 47\) мин раньше окончания уроков. Один пошёл домой пешком и сел на автобус, когда тот догнал его в пути, а другой — взял в школе у друга велосипед и приехал домой одновременно с братом. Скорость велосипедиста в \(K = 2{,}9\) раза больше скорости пешехода. Школьный автобус каждый день отправляется по расписанию в одно и то же время. Определите:
скорость автобуса (\(U\));
скорость пешехода (\(V_п\));
скорость велосипедиста (\(V_в\));
сколько времени (\(t_2\)) шёл мальчик, пока его не догнал автобус;
какой путь (\(L\)) он прошёл за это время.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаАвтобус всё время едет с одной скоростью, а братья прибывают домой в одно время. Сравните, сколько времени каждый из них был в пути, и выразите путь автобуса через \(t_1\) и \(t_0\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(U = 45{,}34 \pm 0{,}54\) км/ч; 2) \(V_п = 5{,}429 \pm 0{,}065\) км/ч; 3) \(V_в = 15{,}744 \pm 0{,}189\) км/ч; 4) \(t_2 = 53{,}37 \pm 0{,}64\) мин; 5) \(L = 4{,}831 \pm 0{,}058\) км.
Поездка на самокате
Для того чтобы добраться до университета студенту нужно пройти шоссе шириной \(X = 19{,}9\) м, проехать некоторое расстояние по парку и опять перейти шоссе такой же ширины. Он соблюдает правила, и по проезжей части движется пешком со скоростью \(V\), а на самокате едет только по парку со скоростью в \(K = 4{,}7\) раз большей. Оказалось, что средняя путевая скорость (отношение пути к затраченному времени) студента на всём маршруте \(V_{ср} = 4{,}4\) м/с совпала со средней скоростью с момента старта (\(t = 0\)) до момента времени \(t_1 = 287\) с. Определите:
длину всего пути (\(S\));
длину маршрута в парке (\(L\));
скорость движения пешком (\(V\));
скорость движения на самокате (\(U\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя путевая скорость равна отношению всего пути ко всему времени. Запишите время движения по проезжей части и по парку отдельно.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S = 2524{,}58976 \pm 30\) м; 2) \(L = 2484{,}80568 \pm 30\) м; 3) \(V = 0{,}992 \pm 0{,}022\) м/с; 4) \(U = 4{,}66 \pm 0{,}10\) м/с.
Скорость и перемещение тележки
Измерьте с помощью оптических датчиков с максимально возможной точностью:
скорость \(v\) тележки;
начальную координату \(x_0\) тележки;
какое было бы время \(t\) движения тележки от левого края рельса до правого, если бы начальная координата тележки была равна нулю;
какое было бы перемещение \(r\) тележки за \(110{,}85\) с движения от левого края рельса, если бы тележка упруго (без изменения модуля скорости) отражалась от краёв рельса.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость можно найти по двум показаниям датчиков: по расстоянию между ними и разности моментов прохождения тележки. Что меняется при упругом отражении от края рельса, а что остаётся?
Два динамометра и периоды колебаний
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Определите:
массу груза № 1 — с точностью до десятых;
жёсткость пружины нижнего динамометра — с точностью до десятых;
массу нижнего динамометра — с точностью до десятых;
чему равен период \(T\) малых колебаний системы при небольшом вертикальном отклонении нижнего динамометра от положения равновесия при отсутствии трения — с точностью до тысячных;
чему равен период \(T_2\) малых колебаний системы при подвешивании к динамометрам груза № 2 при его небольшом вертикальном отклонении от положения равновесия при отсутствии трения — с точностью до тысячных.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 54 \pm 0{,}8\) г; 2) \(k = 54{,}32 \pm 0{,}8\) Н/м; 3) \(M = 81 \pm 3\) г; 4) \(T = 0{,}358 \pm 0{,}02\) с; 5) \(T_2 = 0{,}322 \pm 0{,}02\) с.
Масса гири, масса тележки и её средняя скорость на трети пути
Тележку можно установить в верхней части наклонного рельса, при этом она автоматически закрепится электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит.
Определите массу большой гири (зелёной), а также массу тележки и её среднюю скорость на первой трети пути движения тележки от верхней до нижней точки рельса после отпускания электромагнита. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
Массы определите с точностью до десятых грамма, а скорость — с точностью до тысячной м/с, и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Оптические датчики срабатывают при пересечении тележкой их светового луча — в момент прохождения координаты ворот маркером-стрелочкой. Положение ворот с оптическими датчиками можно изменять при помощи мыши, оно отмечается красным маркером. Массы гирь указаны в граммах. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе нужный участок экрана. Щелчок мышью в любом месте экрана (кроме линейки) возвращает первоначальный масштаб. Линейку можно перемещать при захвате за центральную часть и вращать при захвате за окрашенные края, в том числе при использовании увеличительного стекла. Задания можно переделывать, но за каждую повторную отсылку результатов на сервер назначается до 3 штрафных баллов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_\text{гири}=147{,}798\pm0{,}51\) г; 2) \(m_\text{тележки}=123{,}984\pm0{,}56\) г; 3) \(v=0{,}23805\pm0{,}0015\) м/с.
Температура, объём и плотность жидкости
В стакане находится неизвестная жидкость, второй такой же стакан пуст. Измерьте:
температуру жидкости (с точностью до десятых);
объём жидкости (с точностью до целых);
плотность жидкости (с точностью до тысячных).
Обратите внимание на то, что у стаканов имеется масса. Увеличительное стекло позволяет увеличивать изображение выбранной области окна. Нажатие мышью в любой части того же окна восстанавливает первоначальный масштаб. Термометр можно закреплять в штативе, занося его сбоку к лапке штатива и отпуская. Если термометр оказывается ПЕРЕД стаканом, он показывает температуру воздуха. Жидкость можно переливать в стакан, поставленный в раковину, опираясь нижней частью стакана о деревянный стержень, появляющийся при движении стакана. Её также можно выливать в раковину.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(65{,}5\pm0{,}1\,^\circ\text{C}\); 2) \(275\pm2{,}5\) мл; 3) \(0{,}9009\pm0{,}021\) г/см\(^3\).
Средняя скорость, вес и кинетическая энергия тележки
Установите тележку около левого конца наклонного рельса, при этом она закрепляется электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит. Пружина имеет жёсткость \(k=28{,}8\) Н/м.
Определите среднюю скорость тележки от момента её выталкивания пружиной до верхней точки движения, вес тележки, а также максимальную кинетическую энергию \(E_\text{max}\) тележки (в миллиджоулях) при её движении вверх по рельсу после выталкивания пружиной.
В режиме работы увеличительного стекла кнопки включения/выключения электромагнитов видны в верхней части экрана с соответствующей стороны экрана. Индикатор показывает время тележки от момента выталкивания пружиной до прохождения оптических ворот. Скорость и вес определите с точностью до тысячных, энергию — с точностью до десятых, и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Оптические датчики срабатывают при пересечении тележкой их светового луча — в момент прохождения координаты ворот маркером-стрелочкой. Положение ворот с оптическими датчиками можно изменять при помощи мыши, оно отмечается красным маркером. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе нужный участок экрана. Щелчок мышью в любом месте экрана (кроме линейки) возвращает первоначальный масштаб. Линейку можно перемещать, в том числе при использовании увеличительного стекла. Задания можно переделывать, но за каждую повторную отсылку результатов на сервер назначается по одному штрафному баллу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) средняя скорость \(0{,}4515\pm0{,}015\) м/с; 2) вес \(0{,}5049\pm0{,}017\) Н; 3) \(E_\text{max}=21{,}06\pm0{,}6\) мДж.
Температура, объём и плотность жидкости
В стакане находится неизвестная жидкость, второй такой же стакан пуст. Измерьте:
температуру жидкости (с точностью до десятых);
объём жидкости (с точностью до целых);
плотность жидкости (с точностью до тысячных).
Обратите внимание на то, что у стаканов имеется масса.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПлотность — отношение массы жидкости к её объёму; массу жидкости можно найти, сравнив стакан с жидкостью и пустой стакан.
Поезда
Какое время \(T_1\) потребуется поезду длиной \(L=323\) м, движущемуся со скоростью \(V_1=52\) м/с, чтобы полностью пройти мост длиной \(S=673\) м?
За какое время \(T_2\) этот поезд пройдёт мимо другого поезда такой же длины, движущегося со скоростью \(V_2=30\) м/с во встречном направлении?
За какое время \(T_3\) этот поезд пройдёт мимо третьего поезда длиной \(L_3=391\) м, движущегося со скоростью \(V_3=24\) м/с в том же направлении?
Ответы вводите с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля прохождения поезда по мосту путь равен сумме длин поезда и моста; при встрече поездов скорости складываются, а при движении в одном направлении — вычитаются.
Масса гири, масса тележки и её путь
Тележку можно установить в верхней части наклонного рельса, при этом она автоматически закрепится электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит.
Определите массу большой гири (зелёной), а также массу тележки и её путь при движении от верхней до нижней точки рельса после отпускания электромагнита.
Массы и путь определите с точностью до десятых. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Массы гирь указаны в граммах. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз движения тележки по времени и пути найдите ускорение, затем используйте второй закон Ньютона для тележки и гири.
Подскакивающий мячик
Мячик уронили вниз с высоты \(75\) см. Максимальная высота, на которую поднялся мячик после первого подскока, уменьшилась в четыре раза по сравнению с первоначальной, после следующего — ещё в четыре, и так продолжалось до тех пор, пока мячик не остановился.
Определите величину перемещения мячика из начального состояния в конечное и пройденный им за время движения путь.
Введите ответы с точностью до десятых. Вычисления проводить с точностью не менее 4 значащих цифр.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВысоты подскоков образуют убывающую геометрическую прогрессию; путь складывается из падений и подъёмов, а перемещение — из начальной и конечной точек.
Барсик и щенок
Щенок может съесть \(N=4{,}8\) сосисок за то время, за которое Барсик может съесть \(M=1\) таких же сосисок. Но однажды им досталась только одна сосиска длиной \(L=20\) см, и они решили начать есть её одновременно с противоположных концов. Через \(t=12\) с сосиска кончилась.
Определите:
С какой скоростью \(V_1\) двигался Барсик относительно земли при поедании сосиски, если сосиска лежала неподвижно на тарелке?
С какой скоростью \(V_2\) в это время двигался щенок относительно Барсика?
С какой скоростью \(V_3\) относительно земли пришлось бы двигаться Барсику, если бы щенок стоял неподвижно, упираясь лапами в землю и тащил сосиску на себя, не забывая при этом её есть?
Ответы вводите с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСосиска неподвижна, поэтому длина \(L\) сокращается за время \(t\) из-за движения ртов навстречу друг другу. Сравните, во сколько раз щенок ест быстрее Барсика.
Поезда
Какое время \(T_1\) потребуется поезду длиной \(L=323\) м, движущемуся со скоростью \(V_1=52\) м/с, чтобы полностью пройти мост длиной \(S=673\) м?
За какое время \(T_2\) этот поезд пройдёт мимо другого поезда такой же длины, движущегося со скоростью \(V_2=30\) м/с во встречном направлении?
За какое время \(T_3\) этот поезд пройдёт мимо третьего поезда длиной \(L_3=391\) м, движущегося со скоростью \(V_3=24\) м/с в том же направлении?
Ответы вводите с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля полного прохождения моста поезд проходит путь, равный сумме длины поезда и длины моста. При встречном движении скорости складываются.
Температура, объём и плотность жидкости
В стакане находится неизвестная жидкость, второй такой же стакан пуст. Измерьте:
температуру жидкости (с точностью до десятых);
объём жидкости (с точностью до целых);
плотность жидкости (с точностью до тысячных).
Обратите внимание на то, что у стаканов имеется масса.
Длина трассы
Трасса, по которой движется автомобиль, состоит из двух линейных участков и двух дуг окружностей, большой и малой. В момент старта автомобиль находится в начале одного из линейных участков. Имеется модель трассы, которая показывает с уменьшением в \(490\) раз движение радиоуправляемого автомобиля по трассе. Положение автомобиля на модельной трассе помечается светящимся кружком (его центром). Движение автомобиля можно начинать запуском таймера и останавливать остановкой таймера. При движении автомобиль сохраняет одно и то же значение скорости.
Определите с точностью до десятых скорость движения автомобиля, и с точностью до целых длину \(S\) всей трассы.
Масса гири, тележки и её путь
Тележку можно установить в верхней части наклонного рельса, при этом она автоматически закрепится электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит.
Определите массу большой гири (зелёной), а также массу тележки и её путь при движении от верхней до нижней точки рельса после отпускания электромагнита.
Массы и путь определите с точностью до десятых и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее \(4\) значащих цифр.
Массы гирь указаны в граммах. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе нужный участок экрана. Щелчок мышью в любом месте экрана (кроме линейки) возвращает первоначальный масштаб. Линейку можно перемещать при захвате за центральную часть и вращать при захвате за окрашенные края, в том числе при использовании увеличительного стекла. Задания можно переделывать, но за каждую повторную отсылку результатов на сервер назначается до \(3\) штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите второй закон Ньютона для тележки и гири и используйте связь пути с временем движения при равноускоренном движении.
Средняя скорость, вес и энергия тележки
Установите тележку около левого конца наклонного рельса, при этом она закрепляется электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит. В режиме работы увеличительного стекла кнопки включения/выключения электромагнитов видны в верхней части экрана с соответствующей стороны экрана. Индикатор показывает время тележки от момента выталкивания пружиной до прохождения оптических ворот. Пружина имеет жёсткость \(k=29{,}8\) Н/м.
Определите среднюю скорость тележки от момента её выталкивания пружиной до верхней точки движения, вес тележки, а также максимальную кинетическую энергию \(E_{\max}\) тележки (в миллиджоулях) при её движении вверх по рельсу после выталкивания пружиной.
Скорость и вес определите с точностью до тысячных, энергию — с точностью до десятых, и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее \(4\) значащих цифр. Оптические датчики срабатывают при пересечении тележкой их светового луча — в момент прохождения координаты ворот маркером-стрелочкой. Положение ворот с оптическими датчиками можно изменять при помощи мыши, оно отмечается красным маркером. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните энергию сжатой пружины с кинетической энергией тележки в момент, когда она отделилась от пружины.
Поезда
Какое время \(T_1\) потребуется поезду длиной \(L=323\) м, движущемуся со скоростью \(V_1=52\) м/с, чтобы полностью пройти мост длиной \(S=673\) м?
За какое время \(T_2\) этот поезд пройдёт мимо другого поезда такой же длины, движущегося со скоростью \(V_2=30\) м/с во встречном направлении?
За какое время \(T_3\) этот поезд пройдёт мимо третьего поезда длиной \(L_3=391\) м, движущегося со скоростью \(V_3=24\) м/с в том же направлении?
Ответы вводите с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВремя прохождения равно пути, который нужно пройти, делённому на скорость относительного движения; при встречном движении скорости складываются, при попутном — вычитаются.
Рыбы в пасти акулы
Акула, раскрыв пасть площадью \(560\) см\(^2\), плывёт со скоростью \(6{,}4\) м/с. Навстречу ей плывёт косяк рыб со скоростью \(1{,}2\) м/с. Концентрация рыб в косяке составляет в среднем \(20\) рыб на кубометр. Найдите:
какое в среднем число рыб будет попадать в пасть акуле в секунду, если скорость акулы и косяка будет оставаться неизменной;
во сколько раз вырастет это число, если скорость акулы возрастёт вдвое.
Пассажир на палубе корабля
Корабль движется вдоль берега реки. Идущий по палубе корабля с кормы в направлении его движения пассажир оказался напротив стоящего на берегу автомобиля за \(3{,}29\) мин. Если бы пассажир шёл в \(2{,}61\) раз быстрее, он бы поравнялся с автомобилем за \(2{,}36\) мин.
За какое время \(t\) (в секундах) пассажир оказался бы напротив автомобиля, если бы, когда он шёл с первоначальной скоростью, автомобиль двигался вдоль берега навстречу кораблю со скоростью, превышающей скорость пассажира относительно берега в \(2{,}22\) раза? За какое время \(t_0\) (в минутах) пассажир оказался бы напротив неподвижного автомобиля, если бы остался неподвижно стоять на корме?
Значение \(t\) вводите с точностью не хуже чем до десятых, значение \(t_0\) — не хуже чем до сотых.
Центр тяжести плоского тела
Найдите с точностью до \(0{,}5\) мм минимальное \(R_{\min}\) и максимальное \(R_{\max}\) расстояния от центра тяжести плоского тела до вершин этого тела.
Тело можно подвешивать на штатив в любых точках тела, при этом ось, на которую закрепляется тело, видна в виде красной точки. Груз можно подвешивать к той же оси.
Масса тел и работа силы тяжести
Определите массу пронумерованных тел — слитка, шара и куба. Определите, какую работу совершает сила тяжести с момента подвешивания на динамометр куба до перехода системы в равновесное состояние. Массу необходимо определить с максимальной возможной точностью, работу — с точностью до десятых.
Ускорение свободного падения считать равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), расстояния между большими (подписанными) делениями динамометра равны \(5\) см. Масса гирь указана в граммах, погрешность разметки шкалы динамометра пренебрежимо мала.
Движение брусков
Брусок №1 длиной \(L_1=77\) см расположен на лабораторном столе вдоль направления слева направо. Брусок №2 длиной \(L_2=34\) см поставлен на брусок №1 сверху вдоль него так, что левая часть бруска №2 в \(19\%\) от его длины свисает в воздух. Бруску №2 сообщают скорость \(V_2=3{,}6\) см/с относительно стола либо налево, либо направо.
Какое время \(t_1\) потребуется бруску №2 при движении налево, чтобы начать падать вниз?
Какое время \(t_2\) потребуется бруску №2 при движении направо, чтобы начать падать вниз?
Какое время \(t_3\) потребуется бруску №2 при движении направо, чтобы начать падать вниз, если одновременно с ним брусок №1 начнёт движение направо со скоростью \(V_1=5{,}3\) см/с относительно стола?
Бруски гладкие и скользят без трения. Во время движения бруски не достигают края стола.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПока брусок №2 опирается на брусок №1, сила трения отсутствует, и каждый брусок движется равномерно; падение начинается, когда центр масс верхнего бруска выходит за край нижнего.
Движение брусков
Брусок №1 длиной \(L_1=59\) см расположен на лабораторном столе вдоль направления слева направо. Брусок №2 длиной \(L_2=34\) см поставлен на брусок №1 сверху вдоль него так, что левая часть бруска №2 в \(16\%\) от его длины свисает в воздух. Бруску №2 сообщают скорость \(V_2=3{,}5\) см/c относительно стола либо налево, либо направо.
Какое время \(t_1\) потребуется бруску №2 при движении налево, чтобы начать падать вниз?
Какое время \(t_2\) потребуется бруску №2 при движении направо, чтобы начать падать вниз?
Какое время \(t_3\) потребуется бруску №2 при движении направо, чтобы начать падать вниз, если одновременно с ним брусок №1 начнёт движение направо со скоростью \(V_1=5{,}2\) см/c относительно стола?
Бруски гладкие и скользят без трения. Во время движения бруски не достигают края стола.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПока брусок №2 опирается на брусок №1, сила трения отсутствует, и каждый брусок движется равномерно; падение начинается, когда центр масс верхнего бруска выходит за край нижнего.
Масса гири, масса тележки и её путь
Тележку можно установить в верхней части наклонного рельса, при этом она автоматически закрепится электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит.
Определите массу большой гири (зелёной), а также массу тележки и её путь при движении от верхней до нижней точки рельса после отпускания электромагнита.
Массы и путь определите с точностью до десятых. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр.
Массы гирь указаны в граммах. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТележка движется с ускорением под действием силы тяжести вдоль наклонного рельса; по времени движения и пути связывайте ускорение с расстоянием и массами.
Непонятный индикатор
Тележка установлена на наклонный рельс. Она автоматически закрепляется электромагнитом на краях рельса. Надписи о том, какие величины измеряются, стёрлись, но известно, что датчик может измерять либо время в секундах от момента полного распрямления пружины до пересечения тележкой оптических ворот, либо мгновенную скорость тележки при прохождении оптических ворот (в м/с). Причём каждый из датчиков может измерять свою величину.
При отпускании электромагнита тележка выталкивается пружиной. Координату конца пружины в момент полного распрямления пружины обозначим как \(A\), координату тележки в этот момент как \(B\), а координату точки, расположенной на \(12{,}8\) см правее от \(A\), как \(C\). Координаты отсчитываются вдоль оси, расположенной параллельно рельсу.
Найдите вес тележки в миллиНьютонах с точностью до десятых.
Также выясните, какой датчик что измеряет, и определите с точностью до тысячных мгновенную скорость тележки при прохождении точки \(C\), а также среднюю скорость тележки при прохождении промежутка \(BC\). В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр.
Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЭнергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию тележки и в её потенциальную энергию на наклонном рельсе; один датчик даёт время, другой — скорость.
Бруски и пружинки
На рисунке показаны два бруска, которые могут скользить по горизонтальным направляющим. Левый имеет массу \(M_1=6\) кг, а правый — массу \(M_2=11\) кг. Коэффициент трения равен \(\mu=0{,}28\). Бруски соединены пружинами жёсткостью \(K_1=380\) Н/м и \(K_2=180\) Н/м. Длина пружин в недеформированном состоянии одинакова. К левому бруску приложили горизонтальную силу \(F_1=27\) Н, направленную налево, а к правому — силу \(F_2=136\) Н, направленную направо (см. рис.). Определите:
величину деформации пружин \(X\);
силу натяжения более жёсткой пружины \(F\);
ускорение брусков \(A\);
силу трения левого бруска о направляющие \(F_{\text{тр}}\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 11{,}693 \pm 0{,}11\) см; 2) \(F = 44{,}429 \pm 0{,}11\) Н; 3) \(A = 3{,}663 \pm 0{,}11\) м/с\(^2\); 4) \(F_{\text{тр}} = 16{,}467 \pm 0{,}11\) Н.
Система с тремя пружинами
Три пружины с коэффициентами жёсткости \(k_1=13{,}2\) кН/м, \(k_2=25{,}5\) кН/м, \(k_3=16{,}5\) кН/м соединены последовательно, первая из пружин свободным концом прикреплена к горизонтальной плите (рис. 1). Определите:
коэффициент жёсткости системы пружин \(K\);
период колебаний системы, если к нижней пружине прикрепить груз массой \(m=297\) кг (рис. 2);
первую пружину отсоединяют от плиты. Между второй и третьей пружиной вставляют невесомую нерастяжимую нить, перекидывают нить через невесомый блок, свободные концы первой и третьей пружин прикрепляют к грузу массой \(m=297\) кг (рис. 3). Вычислите удлинение сложного подвеса \(X\) после затухания колебаний.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(K = 5{,}698 \pm 0{,}11\) кН/м; 2) \(T = 1{,}43 \pm 0{,}11\) с; 3) \(X = 12{,}771 \pm 0{,}11\) см.
Масса и плотность куба и параметры жидкостей
На столе находятся куб из неизвестного вещества, стакан с водой (1) и стакан с неизвестной жидкостью (2), а также набор измерительных инструментов. Из крана в отливной стакан может течь вода. Определите массу куба и его плотность, а также объём воды в первом сосуде и плотность жидкости во втором сосуде. Массу вводить с точностью до десятых, остальные величины — с точностью до сотых.
Не забывайте, что стаканы массивны.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 226{,}56 \pm 1{,}6\) г; 2) \(\rho = 4{,}12 \pm 0{,}05\) г/см\(^3\); 3) \(V_1 = 115 \pm 2{,}5\) мл; 4) \(\rho_2 = 1{,}372 \pm 0{,}04\) г/см\(^3\).
Найдите дистанцию между спортсменами
По дорожке стадиона равномерно бежит колонна спортсменов. Дистанция между ними одинакова. Бегущий по дорожке в том же направлении тренер обнаружил, что если его скорость равна \(V_1=3{,}6\) м/с, то через каждые \(6\) с его обгоняет спортсмен из колонны, а при скорости тренера в два раза больше уже тренер каждые \(18\) с обгоняет спортсмена из колонны. Найдите:
скорость спортсменов в колонне (в м/с с точностью до сотых);
дистанцию между спортсменами в колонне (в метрах с точностью до сотых);
через какой промежуток времени будут пробегать спортсмены мимо стоящего тренера (в секундах с точностью до сотых).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите относительную скорость тренера и спортсменов для обоих случаев: интервал обгона равен дистанции, делённой на разность скоростей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 6{,}3 \pm 0{,}063\) м/с; 2) \(d = 16{,}2 \pm 0{,}162\) м; 3) \(\tau = 2{,}57 \pm 0{,}026\) с.
Скорость спортсменов в колонне
По дорожке стадиона равномерно бежит колонна спортсменов. Дистанция между ними одинакова и равна \(7{,}5\) м. Бегущий по дорожке в том же направлении тренер обнаружил, что если его скорость \(V_1=3{,}84\) м/с, то через каждые \(3\) с его обгоняет спортсмен из колонны, а при большей скорости тренера (\(V_2\)) уже тренер каждые \(14{,}5\) с обгоняет спортсмена из колонны. Найдите с точностью до сотых:
Скорость колонны \(V\) (в м/с);
Скорость тренера \(V_2\) (в м/с);
Через какой промежуток времени \(t\) будут пробегать спортсмены мимо стоящего тренера (в секундах)?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОтносительно тренера спортсмены проходят дистанцию между собой за интервал между обгонами: скорость сближения равна разности скоростей тренера и колонны.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(6{,}34 \pm 0{,}05\) м/с; 2) \(6{,}855 \pm 0{,}05\) м/с; 3) \(1{,}1835 \pm 0{,}015\) с.
Минимальный путь брошенного тела
Тело массой \(m=3{,}1\) кг бросают в вертикальном направлении с некоторой высоты в поле силы тяжести Земли. Какой минимальный путь может пройти тело за время \(t=4{,}4\) с? Какова при этом должна быть величина начальной скорости тела и величина его начальной кинетической энергии. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Начальная высота достаточна для того, чтобы тело за время \(t\) не упало на поверхность Земли. Путь, начальную скорость и энергию приведите с точностью не хуже, чем до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПуть за время \(t\) минимален, когда тело успевает пройти наименьшее расстояние: подумайте, при каком знаке скорости тело проходит только один участок пути без разворота.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(47{,}4315 \pm 0{,}015\) м; 2) \(21{,}5595 \pm 0{,}015\) м/с; 3) \(720{,}492 \pm 0{,}015\) Дж.
Коэффициент трения шара о поверхность
Шар массой \(86\) кг тянут за прицепленную к нему верёвку сначала по ровной шершавой поверхности с силой \(F_1=170\) Н, направленной под углом \(\alpha=21^\circ\) к горизонту, так что он при этом движется с постоянной скоростью. Затем его тянут вверх по наклонной плоскости с постоянной скоростью с некоторой силой \(F_2\), направленной под таким же углом \(\alpha\) к этой плоскости. Плоскость наклонена под углом \(\beta=9{,}6^\circ\) к горизонту и состоит из того же материала, что и горизонтальная поверхность. Значение ускорения свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Определите:
коэффициент трения \(k\) шара о горизонтальную поверхность (с точностью до тысячных);
значение силы \(F_2\) (с точностью до десятых).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри равномерном движении сумма сил равна нулю: запишите условие для горизонтального движения по обеим поверхностям и приравняйте коэффициенты трения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k = 0{,}203 \pm 0{,}002\); 2) \(F_2 = 307{,}28 \pm 0{,}8\) Н.
Жонглёр
Циркач жонглирует тремя шариками, подбрасывая их вертикально вверх через равные промежутки времени со скоростью \(10{,}9\) м/с. Определите:
через какой интервал времени \(t\) он подбрасывает шарики;
спустя какой интервал времени от начала жонглирования \(t_1\) два шарика в первый раз оказались на одной высоте?.
спустя какой интервал времени от начала жонглирования \(t_2\) два шарика во второй раз оказались на одной высоте?.
на какой высоте \(H\) в этот момент времени находился третий шарик.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаШарики движутся одинаково, сдвинутые по времени на интервал \(t\): подумайте, как связаны моменты, когда два шарика пересекают одну высоту, с интервалом \(t\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(0{,}7414 \pm 0{,}011\) с; 2) \(1{,}4828 \pm 0{,}011\) с; 3) \(1{,}8535 \pm 0{,}011\) с; 4) \(6{,}0621 \pm 0{,}011\) м.
Параметры движения тележки
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Известно, что средняя скорость тележки прямо пропорционально зависит от времени движения от начальной точки.
Определите:
Расстояние \(X\) между оптическими воротами.
Расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами.
Расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса. Положение тележки отсчитывается по концу стрелки.
Найти ответы необходимо с точностью не хуже чем до одной десятой. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 3 штрафных баллов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 16 \pm 0{,}1\) см; 2) \(L_1 = 27{,}45 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_2 = 25{,}848 \pm 0{,}12\) см.
Два динамометра
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Определите с точностью до десятых:
Массу груза № 1.
Жёсткость пружины нижнего динамометра.
Массу нижнего динамометра.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). К грузу, подвешенному к динамометру, можно подцеплять снизу другие грузы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 50 \pm 0{,}8\) г; 2) \(k = 57{,}84 \pm 0{,}8\) Н/м; 3) \(m = 81 \pm 3\) г.
Два динамометра и грузы
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Грузы можно подвешивать к динамометру, и снизу к ним подцеплять другие грузы. Определите:
Массу груза № 3 — с точностью до десятых.
Жесткость пружины верхнего динамометра — с точностью до десятых.
Массу нижнего динамометра — с точностью до десятых.
Максимальный вес груза, не обязательно из имеющихся, который можно измерить в данной лаборатории с помощью имеющихся сцепленных динамометров — с точностью до сотых.
Динамометры нельзя расцепить. Ускорение свободного падения считайте равным \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). К грузу, подвешенному к динамометру, можно подцеплять снизу другие грузы. Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУдлинение пружины пропорционально силе, которой она растянута. Сравните показания динамометров при подвешивании грузов с известной массой и при подвешивании одного динамометра к другому.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_3 = 204 \pm 0{,}8\) г; 2) \(k = 144 \pm 0{,}8\) Н/м; 3) \(m = 538{,}8 \pm 6\) г; 4) \(P_{\max} = 8 \pm 0{,}1\) Н.
Параметры движения тележки
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Известно, что средняя скорость тележки прямо пропорционально зависит от времени движения от начальной точки. Определите:
Расстояние \(X\) между оптическими воротами.
Расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами.
Расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса. Положение тележки отсчитывается по концу стрелки.
Найти ответы необходимо с точностью не хуже чем до одной десятой. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, после чего щелчок мышью в любом месте экрана возвращает первоначальный масштаб. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 3 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя скорость растёт пропорционально времени, значит тележка движется равноускоренно из состояния покоя. По показаниям оптических датчиков и их положению найдите путь и ускорение тележки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 16 \pm 0{,}1\) см; 2) \(L_1 = 27{,}45 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_2 = 25{,}848 \pm 0{,}12\) см.
Два динамометра и периоды
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Определите:
массу груза № 1 — с точностью до десятых;
жёсткость пружины нижнего динамометра — с точностью до десятых;
массу нижнего динамометра — с точностью до десятых;
период \(T\) малых колебаний системы при небольшом вертикальном отклонении нижнего динамометра от положения равновесия при отсутствии трения — с точностью до тысячных;
период \(T_2\) малых колебаний системы при подвешивании к динамометрам груза № 2 при его небольшом вертикальном отклонении от положения равновесия при отсутствии трения — с точностью до тысячных.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПериоды малых колебаний груза на пружине выражаются через массу и жёсткость; при подвешивании дополнительного груза нужно учесть, что он меняет эффективную массу колебательной системы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 53{,}04 \pm 0{,}8\) г; 2) \(k = 69{,}44 \pm 0{,}8\) Н/м; 3) \(m = 114{,}9 \pm 3\) г; 4) \(T = 0{,}426 \pm 0{,}02\) с; 5) \(T_2 = 0{,}282 \pm 0{,}02\) с.
Пассажир на эскалаторе
Пассажир спускается в метро по движущейся дорожке эскалатора. Вдоль эскалатора на одинаковом расстоянии друг от друга стоят светильники. Если пассажир пойдет по ленте эскалатора со скоростью \(v_1=2{,}1\) км/час, то он будет встречать светильники каждые \(t_1=2{,}7\) с. Если пассажир пойдет быстрее — со скоростью \(v_2=7{,}7\) км/час, то он будет встречать светильники чаще — каждые \(t_2=2{,}3\) с. Найдите:
расстояние между светильниками;
с какой периодичностью будет встречать светильники пассажир, стоящий на эскалаторе;
скорость дорожки эскалатора.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЧастота встречи светильников равна относительной скорости пассажира и светильников, деленной на расстояние между ними; запишите это для двух скоростей пассажира.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(24{,}15 \pm 0{,}2415\) м; 2) \(2{,}888 \pm 0{,}029\) с; 3) \(8{,}361 \pm 0{,}084\) м/с.
Брусок на наклонном рельсе с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и брусок. Колесо лебёдки крутится с постоянной угловой скоростью. У бруска имеется трение о рельс. Масса гирь указана в граммах. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\) %:
величину ускорения \(a_0\), с каким бы двигался брусок, если бы его, не присоединяя к лебёдке, поставить в середине рельса и отпустить, если бы не было трения;
силу трения \(F\), действующую на брусок при подъёме бруска по рельсу;
величину ускорения \(a_1\), с каким будет двигаться брусок, если его поставить в середине рельса и отпустить в реальной ситуации — когда присутствует трение;
КПД системы при подъёме бруска по рельсу (потери энергии в лебёдке не учитывать).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните силу, с которой лебёдка тянет брусок, с проекцией силы тяжести на рельс; разность и даёт трение и ускорение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a_0 = 3{,}1756 \pm 0{,}0317\) м/с\(^2\); 2) \(F = 0{,}3604 \pm 0{,}0036\) Н; 3) \(a_1 = 2{,}018 \pm 0{,}03\) м/с\(^2\); 4) \(\eta = 73{,}3 \pm 1{,}1\) %.
Использование неисправного одометра для нахождения пути
Одометр — прибор для измерения количества оборотов колеса. По нему можно установить путь автомобиля за тот или иной промежуток времени. Обычно наименьший разряд, который отображается на одометре, — сотня метров. Цифра, соответствующая предыдущему разряду (единицам километров), — почему-то не отображается. Представим себе, что автомобиль движется равномерно и в начальный момент времени на одометре в последнем разряде появился 0. Спустя \(t=118{,}5\) с водитель снова посмотрел на одометр и в последнем разряде увидел единицу. За какой промежуток времени автомобиль проходит путь \(s=110\) м? Скорость автомобиля постоянна и меньше \(v=100\) км/ч. Укажите в порядке убывания с точностью до сотых все возможные значения этого промежутка, удовлетворяющие условию задачи.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОдометр показывает только сотни метров, и «единица» в последнем разряде означает определённый интервал пробега. Сопоставьте возможные пробеги с путём \(s\) и скоростью, которая ограничена сверху.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(130{,}36 \pm 0{,}2\) с; 2) \(11{,}85 \pm 0{,}1\) с; 3) \(6{,}205 \pm 0{,}05\) с; 4) \(4{,}205 \pm 0{,}05\) с.
Параметры движения тележки
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Определите:
Расстояние \(X\) между оптическими воротами.
Расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами.
Расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса. Положение тележки отсчитывается по концу стрелки.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТележка движется с постоянным ускорением: по времени прохождения оптических ворот и известным положениям найдите расстояния на рельсе.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 17{,}8 \pm 0{,}1\) см; 2) \(L_1 = 27{,}6 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_2 = 23{,}604 \pm 0{,}12\) см.
Встреча туристов
Первый турист выехал на велосипеде с железнодорожной станции со скоростью \(v_1 = 12{,}4\) км/ч. До туристического лагеря, в который он направился, путь по лесным дорожкам \(s = 6{,}1\) км, однако турист не знал, по какой дорожке ехать в конце пути. Для того, чтобы показать первому туристу дорогу, одновременно с выездом того со станции ему навстречу из лагеря вышел второй турист со скоростью \(v_2 = 5{,}7\) км/ч. Когда туристы встретились, велосипедист посадил пешего туриста на багажник и поехал в сторону туристического лагеря, но из-за дополнительного груза его скорость движения стала равна \(v_3 = 7{,}9\) км/ч.
Через какое время \(t_1\) после встречи туристы приехали в лагерь?
Через какое время \(t_2\) после встречи туристы приехали бы в лагерь, если бы пеший турист вышел на \(20\) минут раньше начала движения велосипедиста со станции?
Через какое время \(t_3\) после встречи туристы приехали бы в лагерь, если бы пеший турист вышел на \(76\) минут раньше начала движения велосипедиста со станции?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите, где и когда туристы встретились; дальше время зависит от того, с какой скорости и на каком пути едет велосипедист.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t_1 = 14{,}6 \pm 0{,}2\) мин; 2) \(t_2 = 24{,}48 \pm 0{,}2\) мин; 3) \(t_3 = 46{,}32 \pm 0{,}2\) мин.
Использование неисправного одометра для нахождения пути
Одометр — прибор для измерения количества оборотов колеса. По нему можно установить путь автомобиля за тот или иной промежуток времени. Обычно наименьший разряд, который отображается на одометре — сотня метров. Цифра, соответствующая предыдущему разряду (единицам километров) — почему-то не отображается. Представим себе, что автомобиль движется равномерно и в начальный момент времени на одометре в последнем разряде появился \(0\). Спустя \(t = 119\) с водитель снова посмотрел на одометр и в последнем разряде увидел единицу. За какой промежуток времени автомобиль проходит путь \(s = 65\) м? Скорость автомобиля постоянна и меньше \(v = 106\) км/ч.
Укажите в порядке убывания с точностью до сотых все возможные значения этого промежутка, удовлетворяющие условию задачи.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоследний разряд показывает сотни метров; подумайте, при каких путях на нём появляется единица, и какие промежутки времени соответствуют этим путям.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветНаибольший возможный промежуток \(= 77{,}36 \pm 0{,}2\) с; возможный промежуток \(= 7{,}03 \pm 0{,}1\) с; возможный промежуток \(= 3{,}685 \pm 0{,}05\) с; наименьший возможный промежуток \(= 2{,}495 \pm 0{,}05\) с.
Параметры гири, тележки и рельса
Тележку можно установить в верхней части наклонного рельса, при этом она автоматически закрепится электромагнитом. Электромагнит включается и выключается по щелчку мыши по красной кнопке у края рельса. Определите:
массу \(M_1\) большой гири (зелёной);
массу \(M_2\) тележки;
её путь \(S\) при движении от верхней до нижней точки рельса после отпускания электромагнита;
её ускорение \(a\) при движении по рельсу.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУскорение тележки находится по пути и времени движения из кинематики; массы — по силам, при которых тележка и гири уравновешены.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M_1 = 102{,}04 \pm 0{,}1\) г; 2) \(M_2 = 111{,}64 \pm 0{,}1\) г; 3) \(S = 36{,}9 \pm 0{,}04\) см; 4) \(a = 1{,}185 \pm 0{,}05\) м/с\(^2\).
Наклонный рельс с лебёдкой: параметры двух брусков
Имеется наклонный рельс с лебёдкой, датчиком натяжения нити и датчиком времени, линейка и два бруска. Брусок можно ставить на рельс, затем присоединить к нему нить от лебёдки. Колесо лебёдки крутится с постоянной скоростью наматывания нити. Трения в системе нет. Секундомер отсчитывает время до пересечения центром бруска луча оптических ворот.
Угол наклона рельса \(\alpha = 0{,}32\) рад. Ширина \(w\) брусков одинакова и равна \(w = 1\) см. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
скорость \(v\) движения бруска при его подъёме лебёдкой;
массу бруска №1;
массу бруска №2;
плотность бруска №2.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость находится по ширине бруска и времени его прохождения луча; массы — по показаниям динамометра при равномерном подъёме по наклонному рельсу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 2{,}8 \pm 0{,}028\) см/с; 2) \(m_1 = 28{,}1 \pm 0{,}281\) г; 3) \(m_2 = 60{,}3 \pm 0{,}603\) г; 4) \(\rho_2 = 3{,}40677966102 \pm 0{,}0340677966102\) г/см\(^3\).
Модель трассы — радиус полуокружностей
Трасса, по которой движется радиоуправляемая модель автомобиля, состоит из двух линейных участков (\(AB\) и \(CD\)) и двух полуокружностей одинакового радиуса \(R\). В момент старта автомобиль находится в начале одного из линейных участков — в точке \(A\). Положение автомобиля на модельной трассе помечается светящимся кружком (его центром). Движение автомобиля можно начинать запуском таймера и останавливать остановкой таймера. При движении автомобиль сохраняет одно и то же значение скорости \(v\). Точкой \(E\) обозначим положение модели автомобиля через \(13{,}724\) с после старта.
Определите:
с точностью до сотых радиус \(R\) полуокружностей;
с точностью до сотых длину \(L\) одного линейного участка трассы;
с точностью до тысячных величину \(v\) путевой скорости — отношение пройденного моделью пути ко времени движения;
с точностью до сотых расстояние \(AC\);
с точностью до сотых время \(t_{AC}\) движения модели от точки \(A\) до точки \(C\) на первом круге (движение идёт по траектории \(ABCD\));
с точностью до тысячных величину \(V_{AE}\) — отношение расстояния между точками \(E\) и \(A\) к времени движения модели автомобиля от точки \(A\) до точки \(E\) на первом круге.
Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, а также перемещать в этом состоянии линейки. Щелчок мышью в любом другом месте экрана возвращает первоначальный масштаб. Линейки можно вращать за окрашенные края. Задания модели можно переделывать, но за каждую повторную отсылку на сервер назначается до 5 штрафных баллов. Комбинация клавиш Ctrl-C — копирование выделенной строки в буфер обмена; Ctrl-V — вставка данных из буфера обмена.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость постоянна, поэтому путь равен \(v\,t\). По времени движения от \(A\) до \(E\) и известной скорости найдите длину пути, а по линейным участкам и полуокружностям свяжите её с \(R\) и \(L\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(R = 18{,}8 \pm 0{,}0125\) см; 2) \(L = 28{,}5 \pm 0{,}025\) см; 3) \(v = 6{,}92 \pm 0{,}008\) см/с; 4) \(AC = 47{,}184 \pm 0{,}08\) см; 5) \(t_{AC} = 12{,}654 \pm 0{,}06\) с; 6) \(V_{AE} = 3{,}1425 \pm 0{,}025\) см/с.
Взвешивание с помощью сцепленных динамометров
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. К грузу, подвешенному к динамометру, можно подцеплять снизу другие грузы. Определите с точностью до целых:
Массу груза № 1.
Массу груза № 2.
Массу груза № 3.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), шкалы динамометров — точными.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоказание верхнего динамометра равно весу всех грузов, подвешенных под ним, а разность показаний двух динамометров даёт вес груза, подвешенного между ними.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 428{,}6 \pm 2\) г; 2) \(m_2 = 330{,}2 \pm 2\) г; 3) \(m_3 = 918{,}4 \pm 2\) г.
Энергия деформации пружины и работа силы тяжести
Имеется: гиря неизвестной массы; пружина; штатив, лапку которого (зажим) можно перемещать, если в ней ничего не закреплено, и в которой можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири массой \(150\) и \(200\) г. Если гиря, подвешенная на пружине, касается датчика или стола, или сила деформации превышает некоторую предельную, пружина выскакивает из зажима штатива. Определите:
массу \(M\) гири (в граммах);
энергию \(E\) (в миллиджоулях) упругой деформации пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё гири;
какую работу \(A_1\) (в миллиджоулях) совершит сила тяжести, если из этого состояния равновесия гирю снять с крючка и поставить на датчик координаты;
какую работу \(A_2\) (в миллиджоулях) совершит сила тяжести, если гирю снять с датчика координаты, подвесить на пружину и дождаться прекращения колебаний.
Энергию определите с точностью до десятых, остальные величины — с точностью до целых, и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Задания можно переделывать, но за каждую повторную отсылку результатов на сервер назначается до 4 штрафных баллов. Экран прибора с датчиком координаты можно увеличивать с помощью лупы или значка максимизатора в правом верхнем углу экрана прибора. Участок графика можно увеличивать движением мыши слева направо сверху вниз, в том числе несколько раз. Движение мыши справа налево снизу вверх восстанавливает первоначальный масштаб. В калькуляторе можно использовать сложение, вычитание, умножение {*}, деление {/}, а также выражения любой сложности с использованием этих операций (не забывайте заключать части выражений в круглые скобки и ставить символ умножения). Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 4 штрафных баллов. Комбинация клавиш Ctrl-C — копирование выделенной строки в буфер обмена; Ctrl-V — вставка данных из буфера обмена.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУдлинение пружины при подвешивании гири известной массы (150 или 200 г) даёт её жёсткость. По ней найдите массу неизвестной гири, а затем энергию деформации и работу силы тяжести при перемещении гири.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M = 116{,}1 \pm 3\) г; 2) \(E = 34{,}2 \pm 1\) мДж; 3) \(A_1 = 156{,}75 \pm 2{,}5\) мДж; 4) \(A_2 = -156{,}75 \pm 2{,}5\) мДж.
Масса гирь, помеченных знаком вопроса
Определите массу гирь, помеченных знаком вопроса.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВесы находятся в равновесии: сравните суммарные моменты гирь на левой и правой чашах, а для гирь на столе используйте известные гири.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 4 \pm 0{,}05\) г; 2) \(m_2 = 196 \pm 0{,}05\) г; 3) \(m_3 = 704 \pm 0{,}05\) г; 4) \(m_4 = 1999{,}9 \pm 0{,}05\) г.
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и брусок. Брусок можно поставить на рельс и присоединить к нему нить от лебёдки. Колесо лебёдки крутится с постоянной угловой скоростью. У бруска имеется трение о рельс. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\) %:
величину ускорения \(a_0\), с каким бы двигался брусок, если бы его, не присоединяя к лебёдке, поставить в середине рельса и отпустить, если бы не было трения;
силу трения \(F\), действующую на брусок при подъёме бруска по рельсу;
величину ускорения \(a_1\), с каким будет двигаться брусок, если его поставить в середине рельса и отпустить в реальной ситуации — когда присутствует трение;
КПД системы при подъёме бруска по рельсу (потери энергии в лебёдке не учитывать).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБез трения брусок скатывается с ускорением \(g\sin\alpha\), а с трением добавляется сила трения. Силу трения найдите из измерения натяжения нити при равномерном подъёме.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a_0 = 2{,}896 \pm 0{,}029\) м/с\(^2\); 2) \(F = 0{,}27726 \pm 0{,}0042\) Н; 3) \(a_1 = 1{,}96 \pm 0{,}049\) м/с\(^2\); 4) \(\eta = 75{,}6 \pm 1{,}9\) %.
Гири, помеченные знаком вопроса
Определите массу гирь, помеченных знаком вопроса. Гири пронумерованы красными цифрами по месту их расположения на столе, а числа на гирях указывают их массу в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНеизвестную гирю уравновешивайте известными гирями на весах: равенство моментов сил на плечах одинаковой длины даёт равенство масс. Сравнивайте результаты разных взвешиваний между собой.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 9 \pm 0{,}05\) г; 2) \(m_2 = 191 \pm 0{,}05\) г; 3) \(m_3 = 709 \pm 0{,}05\) г; 4) \(m_4 = 1999{,}7 \pm 0{,}05\) г.
Два пассажира на эскалаторе в метро
Эскалатор метро движется вниз. Два пассажира одновременно встают на верхнюю ступеньку эскалатора. Первый — сходит с неё, только доехав до подземной станции. Относительно шахты он движется со скоростью эскалатора \(v=0{,}9\) м/с и проезжает расстояние \(L=110\) м. Второй пассажир, проехав вместе с первым половину пути (то есть \(L/2\)), затем начинает идти по ходу движения эскалатора со скоростью \(u=1{,}15\,v\) м/с относительно эскалатора. Вычислите:
Отношение \(n\) средних скоростей второго и первого пассажиров относительно станции.
Значение промежутка времени \(t\) между прибытием на станцию второго и первого пассажиров.
Среднюю скорость \(v_2\) второго пассажира относительно станции.
Путь \(s\), пройденный вторым пассажиром по эскалатору.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПервый пассажир всё время едет со скоростью эскалатора. Второй на второй половине пути складывает скорость эскалатора и свою скорость относительно него; время и путь на каждом участке найдите отдельно.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(n = 1{,}3651 \pm 0{,}011\); 2) \(t = 32{,}692 \pm 0{,}11\) с; 3) \(v_2 = 1{,}228 \pm 0{,}02\) м/с; 4) \(s = 29{,}414 \pm 0{,}11\) м.
Наклонный рельс с лебёдкой, линейка и два бруска
Имеется наклонный рельс с лебёдкой, датчиком натяжения нити и датчиком времени, линейка и два бруска. Масса первого бруска \(m_1=27{,}1\) г. Ширина \(w\) брусков одинакова и равна \(w=1\) см. Сила, действующая на брусок, который тащит лебёдка, пропорциональна его весу, и коэффициент пропорциональности зависит только от угла наклона рельса. Колесо лебёдки крутится с постоянной скоростью наматывания нити. Трения в системе нет. Датчик времени срабатывает при прохождении оптических ворот центром бруска.
Найдите:
Длину \(L\) внутренней части рельса — от стенки до стенки.
Скорость \(v\) движения бруска при его подъёме лебёдкой.
Массу \(m_2\) бруска №2.
Плотность бруска №2.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость бруска при подъёме равна скорости наматывания нити; её можно найти по ширине бруска и времени его прохождения через оптические ворота.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 57{,}5 \pm 0{,}2\) см; 2) \(v = 2{,}43 \pm 0{,}024\) см/с; 3) \(m_2 = 50{,}3 \pm 0{,}503\) г; 4) \(\rho_2 = 2{,}9 \pm 0{,}029\) г/см\(^3\).
Наклонный рельс с лебёдкой, линейка, бруски и архимедова сила
Имеется наклонный рельс с лебёдкой, датчиком натяжения нити и датчиком времени, линейка и два бруска. Масса первого бруска \(m_1=28{,}1\) г. Ширина \(w\) брусков одинакова и равна \(w=0{,}95\) см. Сила, действующая на брусок, который тащит лебёдка, пропорциональна его весу, и коэффициент пропорциональности зависит только от угла наклона рельса. Колесо лебёдки крутится с постоянной скоростью наматывания нити. Трения в системе нет. Датчик времени срабатывает при прохождении оптических ворот центром бруска. Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\).
Найдите:
Длину \(L\) внутренней части рельса — от стенки до стенки.
Скорость \(v\) движения бруска при его подъёме лебёдкой.
Плотность бруска №2.
Величину \(F_2\) архимедовой силы, действующей на брусок №2 в состоянии устойчивого равновесия, если он будет плавать в ртути? Плотность ртути \(13{,}5\) г/см\(^3\).
Высоту \(h_2\) выступающей при этом над ртутью части бруска (обратите внимание на требование устойчивого равновесия).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость бруска при подъёме равна скорости наматывания нити; её можно найти по ширине бруска и времени его прохождения через оптические ворота. Для плавающего бруска сила Архимеда уравновешивает его вес.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 58{,}7 \pm 0{,}2\) см; 2) \(v = 3 \pm 0{,}03\) см/с; 3) \(\rho_2 = 4{,}054 \pm 0{,}041\) г/см\(^3\); 4) \(F_2 = 532{,}1 \pm 5{,}3\) мН; 5) \(h_2 = 0{,}665 \pm 0{,}007\) см.
Пыльца ольхи
В начале апреля концентрация пыльцы ольхи в городском воздухе составляет \(410\) зёрен на м\(^3\). За один вдох в лёгкие человека попадает \(520\) мл воздуха, в среднем человек делает \(15\) вдохов в минуту. Определите:
Сколько зёрен пыльцы \(N\) вдохнёт человек за \(t_1=2{,}2\) часа.
За какое время \(t_2\) он вдохнёт такое же количество пыльцы в лесу, где концентрация пыльцы составляет \(1740\) зёрен на м\(^3\).
Если идёт сильный дождь — выпадает \(6{,}3\) мм осадков за \(6\) часов, концентрация пыльцы убывает в \(2\) раза за \(10\) минут. За какое время \(t_3\) концентрация пыльцы уменьшится в два раза, если идёт небольшой дождь — \(0{,}7\) мм осадков за \(6\) часов.
За какое время \(t_4\) концентрация пыльцы уменьшится в четыре раза, если дождь будет таким же слабым, но капли будут падать под углом \(12^\circ\) к вертикали.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКонцентрация пыльцы убывает экспоненциально со временем, а скорость её убывания пропорциональна интенсивности дождя. Наклон капель меняет эффективную интенсивность на горизонтальной поверхности.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(N = 422{,}18 \pm 1{,}1\) штук; 2) \(t_2 = 31{,}13 \pm 1{,}1\) мин; 3) \(t_3 = 89{,}98 \pm 1{,}1\) мин; 4) \(t_4 = 179{,}96 \pm 1{,}1\) мин.
Дом для друзей
Крокодил Гена и Чебурашка строили дом для друзей. Каждый этаж состоял из \(11\) слоёв по \(26\) кирпичей в каждом. Масса каждого кирпича \(m=3\) кг, высота \(h=10{,}2\) см. Когда друзья заканчивали строить первый этаж, им пришлось установить блоки для подъёма стройматериалов. Массой платформ можно пренебречь. Чебурашка начал поднимать один кирпич при помощи блока, закреплённого на левом углу дома, но решил, что лучше доверить эту работу Гене. Тогда он сбросил кирпич на землю, залез на платформу сам и стал подниматься, выбирая лапами свободно висящую верёвку (смотрите рисунок). Ему пришлось приложить силу в \(1{,}4\) раза больше. Вычислите:
С какой силой \(F_1\) Чебурашка тянул за верёвку, поднимая кирпич.
Массу Чебурашки \(M\).
Какую работу \(A\) совершил Гена, поднимая кирпичи для постройки второго и третьего этажей.
С какой силой \(F_2\) Гена тянул за верёвку.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРабота при подъёме груза по вертикали равна произведению веса на высоту подъёма; сравнивайте силы натяжения верёвки на участках блоков с весом поднимаемых кирпичей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_1 = 29{,}403 \pm 0{,}11\) Н; 2) \(M = 8{,}404 \pm 0{,}11\) кг; 3) \(A = 36{,}883 \pm 0{,}11\) кДж; 4) \(F_2 = 382{,}195 \pm 0{,}11\) Н.
Пробуксовка колёс автомобиля
Полноприводный автомобиль (все колёса ведущие) массой \(1200\) кг разгоняется из состояния покоя до некоторой скорости. Считая, что вся мощность двигателя \(70\) кВт передаётся на колёса, все колёса нагружены одинаково и коэффициент трения скольжения между колёсами и асфальтом \(0{,}65\) остаётся все время разгона постоянным, найдите:
При какой скорости прекратится пробуксовка колёс автомобиля?
Каково будет время разгона до этой скорости?
Какова будет в этот момент угловая скорость колеса радиусом \(45\) см?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПока сила трения покоя может быть достаточной, колёса разгоняют машину с максимальным ускорением \(\mu g\); предельная скорость достигается, когда мощность \(P=Fv\) совпадает с пределом сцепления.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 9{,}158 \pm 0{,}02\) м/с; 2) \(t = 1{,}438 \pm 0{,}02\) с; 3) \(\omega = 20{,}35 \pm 0{,}1\) рад/с.
Грузы на резинке
В системе имеется набор грузов, две линейки и невесомая резинка, закреплённая за лапки штативов — в таком состоянии она не растянута. Грузы можно подвешивать на резинку: для этого аккуратно поднесите крючок груза к помеченной чёрной точке резинки, потяните крючком резинку и отпустите. Помеченные чёрными точками места крепления грузов располагаются на резинке на расстояниях 1 см, 2 см, 10 см, 20 см и 30 см от точки крепления резинки на лапке штатива. Обратите внимание, что при большом растяжении резинки гиря становится на стол и не опускается ниже. Найдите с точностью не хуже \(1\%\):
массу груза №1;
коэффициент жёсткости \(K_1\) одного сантиметра резинки;
массу груза №2;
силу натяжения резинки \(T\), если к центру резинки подвесить груз №2.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 4 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРастяжение резинки пропорционально её силе натяжения; при подвешивании груза в равновесии сила натяжения равна весу груза.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M_1 = 1240 \pm 31\) г; 2) \(K_1 = 131{,}3 \pm 3{,}3\) Н/м; 3) \(M_2 = 11{,}36 \pm 0{,}2\) г; 4) \(T = 0{,}1328 \pm 0{,}0053\) Н.
Грузы на резинке
В системе имеется набор грузов, две линейки и невесомая резинка, закреплённая за лапки штативов — в таком состоянии она не растянута. Грузы можно подвешивать на резинку — для этого необходимо аккуратно поднести крючок груза к помеченной чёрным точке резинки, потянуть крючком резинку и отпустить. Помеченные чёрными точками места крепления грузов располагаются на резинке на расстояниях \(1\) см, \(2\) см, \(10\) см, \(20\) см и \(30\) см от точки крепления резинки на лапке штатива. Обратите внимание, что при большом растяжении резинки гиря становится на стол и не опускается ниже.
Найдите с точностью не хуже \(1\%\):
массу груза №1;
коэффициент жёсткости \(K_1\) одного сантиметра резинки;
массу груза №2;
силу натяжения резинки \(T\), если к центру резинки подвесить груз №2.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, после чего щелчок мышью в любом месте экрана возвращает первоначальный масштаб. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 4 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРастяжение резинки пропорционально силе натяжения, поэтому по двум подвешенным грузам можно найти коэффициент жёсткости одного сантиметра резинки. Условие равновесия груза даёт его массу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 1240 \pm 31\) г; 2) \(K_1 = 131{,}3 \pm 3{,}3\) Н/м; 3) \(m_2 = 11{,}36 \pm 0{,}2\) г; 4) \(T = 0{,}1328 \pm 0{,}0053\) Н.
Недостаточно упругий шарик
В момент начала отсчёта времени маленький шарик массой \(M = 0{,}21\) кг начинает движение с высоты \(H_1 = 3{,}7\) м со скоростью \(V_1 = 2{,}2\) м/с, направленной вниз, и после удара о горизонтальную поверхность поднимается на максимальную высоту \(H_2 = 1{,}8\) м в момент времени \(t = 1{,}2796\) с. Определите:
длительность \(T\) удара шарика о поверхность (в миллисекундах);
с какой скоростью \(V_2\) шарик отскочил от поверхности;
изменение импульса \(\Delta P\) шарика при ударе;
среднюю силу \(F\), действовавшую на шарик во время удара.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость шарика до и после удара найдите по высотам падения и подъёма; время удара — по времени полёта.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(T = 0{,}506 \pm 0{,}11\) мс; 2) \(V_2 = 5{,}94 \pm 0{,}011\) м/с; 3) \(\Delta P = 3{,}0943 \pm 0{,}011\) кг\(\cdot\)м/с; 4) \(F = 6{,}149 \pm 0{,}11\) кН.
Барсик на рыбалке
Непривязанный плот стоял у причала, Барсик сидел на дальнем от причала краю плота и ловил мальков. Потом он прыгнул со скоростью \(V = 5{,}5\) м/с под углом \(\alpha = 47{,}4\) градусов к горизонту в сторону причала, из-за чего плот начал двигаться, и приземлился опять на плот. Поскольку в озере много тины, плот двигался с постоянным по величине тормозящим ускорением \(a = 0{,}36\) м/с\(^2\), и после приземления кота в конце концов остановился. Масса Барсика \(m = 4{,}5\) кг, масса плота \(M = 45\) кг. Определите:
на какое расстояние \(S\) Барсик переместился относительно плота за время прыжка;
на какое расстояние \(L_1\) от причала в итоге сместился плот;
на какое расстояние \(L_2\) в итоге сместился бы плот, если бы Барсик прыгнул под углом \(\beta = 60\) градусов к горизонту.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость плота сразу после прыжка найдите из закона сохранения импульса по горизонтали; дальше плот движется с постоянным торможением.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S = 3{,}2605 \pm 0{,}005\) м; 2) \(L_1 = 0{,}0832 \pm 0{,}002\) м; 3) \(L_2 = 0{,}0183 \pm 0{,}0015\) м.
Параметры брусков
Длина рельса (от красной риски до другой красной риски) равна \(70\) см. Бруски, находящиеся на рельсе, можно двигать. Определите:
высоту, на которой в начальном положении центр второго бруска расположен относительно центра первого;
длину третьего бруска;
расстояние в начальном положении между центрами первого и второго брусков.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРельс с опорой работает как рычаг: условие равновесия моментов сил связывает положения брусков; наклон рельса даёт высоту.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(13{,}12 \pm 0{,}16\) см; 2) \(14{,}406 \pm 0{,}21\) см; 3) \(40{,}508 \pm 0{,}26\) см.
Плотность жидкости и кубика
Из крана течёт неизвестная жидкость. В отливном стакане находится вода. Определите:
объём кубика — с точностью до целых;
его плотность — с точностью до сотых;
плотность неизвестной жидкости, текущей из крана — с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила Архимеда равна весу вытеснённой жидкости: сравните два состояния системы, чтобы выделить вклад кубика и вклад жидкости.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 200 \pm 2\) см\(^3\); 2) \(\rho = 8{,}8 \pm 0{,}1\) г/см\(^3\); 3) \(\rho_{ж} = 1{,}24 \pm 0{,}025\) г/см\(^3\).
Неисправные рычажные весы
При сборке весов середину горизонтального коромысла случайно сдвинули относительно точки опоры (на рисунке эта точка показана красным). Если положить дыню на левую чашу весов, то для того, чтобы их уравновесить, на правую чашу придётся положить гири общей массой \(M_1 = 5\) кг. Если же положить дыню на правую чашу весов, то необходимая масса гирь окажется равной \(M_2 = 5{,}4\) кг. Массой коромысла можно пренебречь. Определите:
Какова масса дыни \(M\) на самом деле.
На какой поправочный коэффициент \(K\) нужно умножать массу гирь, чтобы избежать ошибки, если класть гири на правую чашку, а дыни — на левую.
Какова относительная погрешность \(\Delta M\) определения массы дыни при первом взвешивании.
На сколько процентов \(X\) от общей длины горизонтального коромысла надо передвинуть точку опоры, чтобы весы работали правильно.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля каждого взвешивания запишите равенство моментов сил относительно точки опоры; два уравнения дают неизвестные плечи и истинную массу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M = 5{,}1964 \pm 0{,}011\) кг; 2) \(K = 1{,}0395 \pm 0{,}021\); 3) \(\Delta M = 3{,}7758 \pm 0{,}021\) %; 4) \(X = 0{,}9618 \pm 0{,}021\) %.
Вертолёт в воздухе
Масса вертолёта без груза \(M_1 = 837\) кг, длина его лопастей \(L = 4{,}8\) м. Плотность воздуха \(1{,}228\) кг/м\(^3\). Вертолёт висит неподвижно на некоторой высоте от земли. Считая, что в пространстве под лопастями воздух движется с одинаковой скоростью вертикально вниз, и на ускорение воздуха используется \(30\) процентов мощности двигателя, определите:
с какой скоростью \(V_1\) движется воздух под лопастями вертолёта;
с какой мощностью \(N_1\) работает двигатель;
какую массу воздуха \(M\) разгоняет винт за \(1\) с;
с какой скоростью \(V_2\) будет двигаться воздух, если вертолёт примет на борт груз и масса его увеличится до \(M_2 = 1046\) кг, и он будет продолжать неподвижно висеть на том же месте.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила тяги винта равна весу вертолёта и равна скорости изменения импульса воздуха. Мощность — кинетическая энергия воздуха, отбрасываемого за секунду.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 9{,}6 \pm 0{,}15\) м/с; 2) \(N_1 = 131{,}34 \pm 0{,}6\) кВт; 3) \(M = 853{,}8 \pm 2\) кг; 4) \(V_2 = 10{,}74 \pm 0{,}15\) м/с.
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой, датчиком натяжения нити и датчиком времени, линейка и два бруска. Брусок можно ставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки: потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска. Электронный динамометр объединён с лебёдкой. Колесо лебёдки крутится с постоянной скоростью наматывания нити. Трения в системе нет. Секундомер, отсчитывающий время до пересечения центром бруска луча оптических ворот, срабатывает при пересечении луча.
Угол наклона рельса \(\alpha = 0{,}29\) рад. Ширина \(w\) брусков одинакова и равна \(w = 1\) см. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\) %:
скорость \(v\) движения бруска при его подъёме лебёдкой;
массу бруска №1;
массу бруска №2;
плотность бруска №2;
значение ускорения свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВдоль наклона на брусок действует \(mg\sin\alpha\); при равномерном подъёме натяжение нити равно этой силе. Скорость найдите по времени прохождения бруска через луч ворот и его ширине.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 2{,}1 \pm 0{,}021\) см/с; 2) \(m_1 = 34{,}1 \pm 0{,}341\) г; 3) \(m_2 = 45{,}3 \pm 0{,}453\) г; 4) \(\rho_2 = 2{,}649 \pm 0{,}026\) г/см\(^3\).
Хитрости взвешивания в каменном веке
Племя, живущее в лесу, решило обменять кувшин мёда на зерно у жителей саванны. Условились, что зерно, набитое в шкуры бабуинов, должно весить в четыре раза больше, чем мёд в кувшине. Хитрые лесные жители положили длинную жердь на камень так, чтобы расстояние от тонкого конца жерди до камня было в четыре раза меньше, чем от толстого, и подвесили кувшин с мёдом к толстому концу жерди. Оказалось, что жердь будет в равновесии, если подвесить к тонкому концу \(Z=12\) шкур бабуина, набитых зерном.
Жители саванны заподозрили обман, передвинули жердь, сделали длинным плечом первобытных весов тонкую часть жерди и подвесили к нему кувшин с мёдом. Теперь для того, чтобы добиться равновесия, пришлось к толстому концу подвесить \(Y=11\) шкур с зерном. На этих условиях и произошёл обмен. Однако сын вождя, вернувшись с охоты, показал соплеменникам, что они ошиблись, так как жердь находится в равновесии, если камень смещён относительно её середины на расстояние, составляющее \(F=0{,}15\) от её длины.
Определите:
Отношение \(K\) массы жерди к массе шкуры бабуина, набитой зерном.
Во сколько раз \(N\) кувшин мёда тяжелее шкуры с зерном.
На сколько шкур с зерном \(X_1\) хотели обмануть лесные жители жителей саванны.
На сколько шкур с зерном \(X_2\) жители саванны сами себя обманули.
Ответы вводите с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите условие равновесия жерди относительно камня в обоих случаях: массы жерди, кувшина и шкур. Жердь однородна, поэтому её масса приложена к середине; сместите камень на \(F\) от середины и сравните плечи.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(K = 0{,}6657 \pm 0{,}021\); 2) \(N = 2{,}625 \pm 0{,}021\); 3) \(X_1 = 1{,}4994 \pm 0{,}021\); 4) \(X_2 = 0{,}4998 \pm 0{,}021\).
Эксперименты с тремя машинками
Имеется прибор с датчиком-эхолотом, позволяющий строить график зависимости расстояния от него до поверхности ближайшего предмета. Также имеется три машинки, которые можно ставить на линию напротив датчика-эхолота и движением одной из которых при этом можно управлять с помощью прибора с кнопками «Старт», «Стоп» и «Сброс».
Ось координат расположена слева направо. Определите в этой системе координат с учётом знака с точностью до сотых:
Величину проекции на ось \(V_{1a}\) скорости машинки №1 при её движении вправо.
Величину проекции на ось \(V_{1b}\) скорости машинки №1 при её движении влево.
Величину проекции на ось \(V_2\) машинки №2 при её движении вправо.
Разность \(L_1-L_2\) длин машинок №1 и №2.
Расстояние \(X\) от эхолота до точки остановки машинок после отражения их от эхолота (машинки останавливаются при достижении левого края экрана).
Длину \(L_1\) машинки №1.
Экран прибора с датчиком координаты можно увеличивать с помощью лупы или значка максимизатора, находящегося в правом верхнем углу экрана прибора. Участок графика можно увеличивать движением мыши слева направо сверху вниз, в том числе несколько раз. Задание разрешено переделывать, но за каждый неправильный ответ начисляется до 6 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПо графику расстояния от времени найдите наклоны участков: скорость равна тангенсу угла наклона. Длину машинки получите по времени, за которое её передняя и задняя части проходят мимо датчика.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{1a} = 11{,}4 \pm 0{,}02\) см/с; 2) \(V_{1b} = -10{,}448 \pm 0{,}04\) см/с; 3) \(V_2 = 5{,}49 \pm 0{,}02\) см/с; 4) \(L_1-L_2 = 5{,}39 \pm 0{,}02\) см; 5) \(X = 72{,}7 \pm 0{,}025\) см; 6) \(L_1 = 11{,}35 \pm 0{,}02\) см.
Сухой и влажный песок
В одинаковых массивных стаканах №1 и №2 (массой \(m\) каждый) сначала находился сухой песок — во втором стакане его в 2 раза больше, чем в первом. Затем в стакан №2 налили некоторый объём \(V\) воды, из-за чего песок в нём стал влажным и более тяжёлым. В мерном стакане находится вода, её плотность \(1\) г/см\(^3\). Определите:
объём \(V_2\) влажного песка во втором стакане — с точностью до миллилитра;
объём воды \(V\), который долили в стакан №2 — с точностью до миллилитра;
плотность материала песчинок (считать, что материал всех песчинок одинаковый) — с точностью до сотых;
массу \(m\) одного стакана (№1 или №2) — с точностью до десятых грамма.
Числа на гирях указывают их массу в граммах. Считайте, что число \(\pi=3{,}1416\).
Восстановить первоначальное состояние системы можно, выйдя из модели и снова зайдя в неё. За это не назначается штрафных баллов. Задание разрешено переделывать, но за каждый неправильный ответ начисляется до 4 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВода долита в песок, но объём песка при этом не равен сумме объёмов: часть объёма занимает вода в порах. Сравните массы стаканов до и после долива и разность массы влажного и сухого песка.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_2 = 196 \pm 2\) мл; 2) \(V = 35{,}6 \pm 2\) мл; 3) \(\rho = 2{,}58 \pm 0{,}02\) г/см\(^3\); 4) \(m = 58{,}95 \pm 1{,}5\) г.
Синие киты
Холодное морское течение движется со скоростью \(U=0{,}6\) м/с и несёт стаю криля. Два синих кита встретились у подводного рифа и решили позавтракать и одновременно вернуться в то же место. Они плыли по прямой с открытой пастью, фильтруя воду. Первый — по течению, а затем — против, а второй и туда и обратно двигался относительно дна в направлении, перпендикулярном течению. Скорость обоих китов относительно воды постоянна и равна \(V=1{,}3\) м/с. Определите:
С какой скоростью \(V_2\) относительно дна двигался второй кит.
Во сколько раз \(X\) расстояние, которое проплыл относительно дна один из китов оказалось больше, чем у другого.
Во время обеда они двигались так же по отношению к течению и вернулись в точку старта, при этом каждый кит проплыл относительно дна расстояние \(L=6{,}6\) км.
Сколько времени \(t_1\) обедал первый кит?
Сколько времени \(t_2\) обедал второй кит?
Во сколько раз \(Y\) порция за обедом у одного из китов оказалась больше, чем у другого?
Ответы вводите с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОтносительно воды каждый кит плывёт с \(V\). Относительно дна скорость первого кита складывается с течением, а второго — с перпендикулярной компонентой. Для обеда запишите время по обоим участкам движения относительно дна.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_2 = 1{,}1528 \pm 0{,}011\) м/с; 2) \(X = 1{,}1275 \pm 0{,}011\); 3) \(t_1 = 1{,}7919 \pm 0{,}011\) ч; 4) \(t_2 = 1{,}5895 \pm 0{,}011\) ч; 5) \(Y = 1{,}1275 \pm 0{,}011\).
Параметры машинок
Имеется прибор с датчиком-эхолотом, позволяющий строить график зависимости расстояния от него до поверхности ближайшего предмета. Также имеется две машинки, которые можно ставить на линию напротив датчика-эхолота и движением одной из которых при этом можно управлять с помощью прибора с кнопками «Старт», «Стоп» и «Сброс».
Ось координат расположена слева направо. Определите в этой системе координат с учётом знака с точностью до сотых:
Величину проекции на ось \(V_{1a}\) скорости машинки №1 при её движении вправо.
Величину проекции на ось \(V_{1b}\) скорости машинки №1 при её движении влево.
Разность \(L_1-L_2\) длин машинок №1 и №2.
Длину \(L_2\) машинки №2.
Экран прибора с датчиком координаты можно увеличивать с помощью лупы или значка максимизатора, находящегося в правом верхнем углу экрана прибора. Участок графика можно увеличивать движением мыши слева направо сверху вниз, в том числе несколько раз. Задание разрешено переделывать, но за каждый неправильный ответ начисляется до 4 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПо графику расстояния от времени найдите наклоны участков: скорость равна тангенсу угла наклона. Длину машинки получите по времени, за которое её передняя и задняя части проходят мимо датчика.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{1a} = 10{,}8999 \pm 0{,}011\) см/с; 2) \(V_{1b} = -9{,}3764 \pm 0{,}011\) см/с; 3) \(L_1-L_2 = 5{,}88 \pm 0{,}025\) см; 4) \(L_2 = 5{,}88 \pm 0{,}02\) см.
Сухой и влажный песок
В одинаковых массивных стаканах №1 и №2 (массой \(m\) каждый) сначала находился сухой песок — во втором стакане его в 2 раза больше, чем в первом. Затем в стакан №2 налили некоторый объём \(V\) воды, из-за чего песок в нём стал влажным и более тяжёлым. В мерном стакане находится вода, её плотность \(1\) г/см\(^3\). Определите:
объём \(V_2\) влажного песка во втором стакане — с точностью до миллилитра;
объём воды \(V\), который долили в стакан №2 — с точностью до миллилитра;
плотность материала песчинок (считать, что материал всех песчинок одинаковый) — с точностью до сотых;
массу \(m\) одного стакана (№1 или №2) — с точностью до десятых грамма.
Числа на гирях указывают их массу в граммах. Считайте, что число \(\pi=3{,}1416\).
Восстановить первоначальное состояние системы можно, выйдя из модели и снова зайдя в неё. За это не назначается штрафных баллов. Задание разрешено переделывать, но за каждый неправильный ответ начисляется до 4 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВода долита в песок, но объём песка при этом не равен сумме объёмов: часть объёма занимает вода в порах. Сравните массы стаканов до и после долива и разность массы влажного и сухого песка.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_2 = 196 \pm 2\) мл; 2) \(V = 35{,}6 \pm 2\) мл; 3) \(\rho = 2{,}58 \pm 0{,}02\) г/см\(^3\); 4) \(m = 58{,}95 \pm 1{,}5\) г.
Сухой и влажный песок
В одинаковых массивных стаканах №1 и №2 (массой \(m\) каждый) сначала находился сухой песок — во втором стакане его в 2 раза больше, чем в первом. Затем в стакан №2 налили некоторый объём \(V\) воды, из-за чего песок в нём стал влажным и более тяжёлым. В мерном стакане находится вода, её плотность \(1\) г/см\(^3\). Определите:
объём \(V_2\) влажного песка во втором стакане — с точностью до миллилитра;
объём воды \(V\), который долили в стакан №2 — с точностью до миллилитра;
плотность материала песчинок (считать, что материал всех песчинок одинаковый) — с точностью до сотых;
массу \(m\) одного стакана (№1 или №2) — с точностью до десятых грамма.
Числа на гирях указывают их массу в граммах. Считайте, что число \(\pi=3{,}1416\).
Восстановить первоначальное состояние системы можно, выйдя из модели и снова зайдя в неё. За это не назначается штрафных баллов. Задание разрешено переделывать, но за каждый неправильный ответ начисляется до 4 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВода долита в песок, но объём песка при этом не равен сумме объёмов: часть объёма занимает вода в порах. Сравните массы стаканов до и после долива и разность массы влажного и сухого песка.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_2 = 196 \pm 2\) мл; 2) \(V = 35{,}6 \pm 2\) мл; 3) \(\rho = 2{,}58 \pm 0{,}02\) г/см\(^3\); 4) \(m = 58{,}95 \pm 1{,}5\) г.
Две тележки на наклонном рельсе
Тележки можно установить в нижней или верхней части наклонного рельса, при этом они автоматически закрепятся электромагнитами. Масса первой тележки равна \(100\) г. Определите:
массу второй тележки;
угол наклона рельса;
кинетическую энергию \(E_1\) первой тележки непосредственно перед столкновением тележек друг с другом, если первую тележку установить на левом конце рельса, вторую — на правом, и отключить электромагниты.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТележки в верхней и нижней точках рельса удерживаются одинаковыми пружинами: сравните положения, в которых тележки закреплены, и запишите закон сохранения энергии для движения по наклонному рельсу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_2 = 122 \pm 2\) г; 2) \(\alpha = 0{,}03096 \pm 0{,}0012\) рад; 3) \(E_1 = 8{,}4 \pm 0{,}5\) мДж.
Объём и плотность сухого и влажного песка
В одинаковых массивных стаканах №1 и №2 (массой \(m = 69\) г каждый) сначала находился сухой песок — во втором стакане его было столько же, сколько в первом. Затем в стакан №2 налили некоторый объём \(V\) воды, из-за чего песок в нём стал влажным и более тяжёлым. Определите:
объём \(V_0\) воды в мерном стакане — с точностью до миллилитров;
первоначальный суммарный объём \(V_{12}\) сухого песка в первом и втором стакане — с точностью до миллилитров;
объём \(V_2\) влажного песка во втором стакане — с точностью до миллилитров;
объём воды \(V\), который долили в стакан №2 — с точностью до десятых миллилитра;
объём \(V_3\) оставшегося воздуха между песчинками влажного песка в стакане №2 — с точностью до десятых миллилитра;
плотность материала песчинок — с точностью до тысячных.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните массы стаканов с сухим и влажным песком: разность масс даёт массу долитой воды, а разность объёмов — объём воздуха между песчинками.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_0 = 165{,}2 \pm 4\) мл; 2) \(V_{12} = 420 \pm 5\) мл; 3) \(V_2 = 210 \pm 2\) мл; 4) \(V = 31{,}98 \pm 0{,}6\) мл; 5) \(V_3 = 57{,}6 \pm 2\) мл; 6) \(\rho = 2{,}511 \pm 0{,}03\) г/см\(^3\).
Условия равновесия
Однородный стержень длиной \(X = 114\) см подвешен на двух невесомых нитях. Точка закрепления левой нити расположена на расстоянии \(L = 18{,}6\) см от левого конца стержня. Нити перекинуты через невесомые блоки, к свободным концам нитей привязаны грузы, чтобы обеспечить равновесие конструкции. Масса правого груза \(m_1 = 6{,}9\) кг. Блоки с помощью невесомых подвесов прикреплены к концам однородной планки массой \(m = 13{,}2\) кг, уравновешенной на неподвижной опоре (см. рис.). Радиусы блоков \(R = 15\) см. Нити считать невесомыми нерастяжимыми. Вычислите:
массу левого груза \(m_2\);
массу стержня \(M\);
силу натяжения левой нити, удерживающей блок (\(F_2\));
расстояние \(Y\) от правого конца планки до опоры.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУсловия равновесия нужно записать отдельно для планки с блоками и для стержня, учитывая натяжения нитей и моменты сил относительно опоры.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_2 = 10{,}24 \pm 0{,}13\) кг; 2) \(M = 17{,}14 \pm 0{,}22\) кг; 3) \(F_2 = 200{,}7 \pm 2{,}6\) Н; 4) \(Y = 37{,}29 \pm 0{,}48\) см.
Ареометр
Имеются два стакана с некоторыми жидкостями, а также ареометр (прибор, позволяющий измерять плотность жидкостей) и другие элементы лаборатории. Большие стаканы закреплены, и их передвигать нельзя. Можно наливать жидкость в стаканы с помощью пипетки или (в маленький мерный стакан) из крана. Определите:
плотность жидкости № 1 — с точностью до тысячных;
плотность жидкости № 2 — с точностью до тысячных;
объём жидкости № 1 — с точностью до десятков.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаАреометр плавает так, что вес вытесненной жидкости равен его весу; по глубине погружения можно сравнить плотности жидкостей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\rho_1 = 1{,}155 \pm 0{,}0013\) г/см\(^3\); 2) \(\rho_2 = 1{,}386 \pm 0{,}02\) г/см\(^3\); 3) \(V_1 = 1320 \pm 60\) мл.
Объём и плотность сухого и влажного песка
В одинаковых массивных стаканах №1 и №2 (массой \(m = 65\) г каждый) сначала находился сухой песок — во втором стакане его было столько же, сколько в первом. Затем в стакан №2 налили некоторый объём \(V\) воды, из-за чего песок в нём стал влажным и более тяжёлым. Определите:
объём \(V_0\) воды в мерном стакане — с точностью до миллилитров;
первоначальный суммарный объём \(V_{12}\) сухого песка в первом и втором стакане — с точностью до миллилитров;
объём \(V_2\) влажного песка во втором стакане — с точностью до миллилитров;
объём воды \(V\), который долили в стакан №2 — с точностью до десятых миллилитра;
объём \(V_3\) оставшегося воздуха между песчинками влажного песка в стакане №2 — с точностью до десятых миллилитра;
плотность материала песчинок — с точностью до тысячных.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните массы стаканов с сухим и влажным песком: разность масс даёт массу долитой воды, а разность объёмов — объём воздуха между песчинками.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_0 = 165{,}2 \pm 4\) мл; 2) \(V_{12} = 418 \pm 5\) мл; 3) \(V_2 = 209 \pm 2\) мл; 4) \(V = 34{,}5 \pm 0{,}6\) мл; 5) \(V_3 = 55{,}2 \pm 2\) мл; 6) \(\rho = 2{,}4 \pm 0{,}03\) г/см\(^3\).
Ареометр
Имеются два стакана с некоторыми жидкостями, а также ареометр (прибор, позволяющий измерять плотность жидкостей) и другие элементы лаборатории. Большие стаканы закреплены, и их передвигать нельзя. Можно наливать жидкость в стаканы с помощью пипетки или (в маленький мерный стакан) из крана. Определите:
плотность жидкости № 1 — с точностью до тысячных;
плотность жидкости № 2 — с точностью до тысячных;
объём жидкости № 1 — с точностью до десятков.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаАреометр плавает так, что вес вытесненной жидкости равен его весу; по глубине погружения можно сравнить плотности жидкостей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\rho_1 = 1{,}195 \pm 0{,}0013\) г/см\(^3\); 2) \(\rho_2 = 1{,}37 \pm 0{,}02\) г/см\(^3\); 3) \(V_1 = 1242 \pm 60\) мл.
Красноклювый волоклюй
Буйвол идёт по саванне со скоростью \(V_1=0{,}16\) м/с, красноклювый волоклюй идёт со скоростью \(V_2\) относительно буйвола вдоль его хребта. Если бы волоклюй шёл в том же направлении, но быстрее в \(2{,}6\) раза, то оказалось бы, что модуль его скорости относительно земли не изменился. Вычислите:
Модуль скорости волоклюя относительно буйвола (\(V_2\)).
Модуль скорости волоклюя относительно земли (\(V_3\)) в первом случае, когда он идёт со скоростью \(V_2\) относительно буйвола.
Модуль скорости волоклюя относительно земли (\(V_4\)) во втором случае, когда он идёт со скоростью \(2{,}6\,V_2\) относительно буйвола.
Модуль скорости волоклюя относительно земли (\(V_5\)), если он пойдёт в противоположном направлении со скоростью \(2{,}6\,V_2\) относительно буйвола.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость волоклюя относительно земли есть векторная сумма скорости буйвола и скорости волоклюя относительно буйвола. Равенство модулей двух таких сумм даёт уравнение для \(V_2\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_2 = 0{,}0889 \pm 0{,}0009\) м/с; 2) \(V_3 = 0{,}0711 \pm 0{,}0007\) м/с; 3) \(V_4 = 0{,}0711 \pm 0{,}0007\) м/с; 4) \(V_5 = 0{,}391 \pm 0{,}004\) м/с.
Упаковка крупы
Внутри полиэтиленовой упаковки находятся десять одинаковых пакетов крупы, массой по \(m=0{,}95\) кг каждый, они расположены по два в ряд (см. рис.). Размеры каждого пакета \(a=17{,}3\) см, \(b=8\) см, \(c=6{,}2\) см. Упаковка довольно плотная, поэтому она может держать форму, опираясь на любую из своих плоскостей. Вычислите:
Среднюю плотность упаковки \(\rho\).
На какой максимальной высоте \(H\) относительно точки опоры может оказаться центр тяжести упаковки.
Какое максимальное давление \(P\) может оказывать упаковка на поверхность опоры.
Какая максимальная сила упругости \(F\) может действовать со стороны одного пакета крупы на другой, если упаковка неподвижно стоит на горизонтальной плоскости.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя плотность — отношение общей массы к общему объёму упаковки. Высота центра тяжести максимальна при опоре на самую узкую грань, а давление — при наименьшей площади опоры.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\rho = 1107 \pm 14\) кг/м\(^3\); 2) \(H = 20{,}0 \pm 0{,}3\) см; 3) \(P = 4339 \pm 56\) Па; 4) \(F = 37{,}2 \pm 0{,}5\) Н.
Красноклювый волоклюй
Буйвол идёт по саванне со скоростью \(V_1=0{,}16\) м/с, красноклювый волоклюй идёт со скоростью \(V_2\) относительно буйвола вдоль его хребта. Если бы волоклюй шёл в том же направлении, но быстрее в \(2{,}6\) раза, то оказалось бы, что модуль его скорости относительно земли не изменился. Вычислите:
Модуль скорости волоклюя относительно буйвола (\(V_2\)).
Модуль скорости волоклюя относительно земли (\(V_3\)) в первом случае, когда он идёт со скоростью \(V_2\) относительно буйвола.
Модуль скорости волоклюя относительно земли (\(V_4\)) во втором случае, когда он идёт со скоростью \(2{,}6\,V_2\) относительно буйвола.
Модуль скорости волоклюя относительно земли (\(V_5\)), если он пойдёт в противоположном направлении со скоростью \(2{,}6\,V_2\) относительно буйвола.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость волоклюя относительно земли есть векторная сумма скорости буйвола и скорости волоклюя относительно буйвола. Равенство модулей двух таких сумм даёт уравнение для \(V_2\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_2 = 0{,}1389 \pm 0{,}0014\) м/с; 2) \(V_3 = 0{,}1111 \pm 0{,}0011\) м/с; 3) \(V_4 = 0{,}1111 \pm 0{,}0011\) м/с; 4) \(V_5 = 0{,}611 \pm 0{,}006\) м/с.
Модель трассы — радиус полуокружностей и другие параметры
Трасса, по которой движется радиоуправляемая модель автомобиля, состоит из двух линейных участков (\(AB\) и \(CD\)) и двух полуокружностей одинакового радиуса \(R\). В момент старта автомобиль находится в начале одного из линейных участков — в точке \(A\). Положение автомобиля на модельной трассе помечается светящимся кружком (его центром). При движении автомобиль сохраняет одно и то же значение скорости \(v\). Точкой \(E\) обозначим положение модели автомобиля через \(16{,}777\) с после старта. Определите:
с точностью до сотых радиус \(R\) полуокружностей;
с точностью до сотых длину \(L\) одного линейного участка трассы;
с точностью до тысячных величину \(v\) путевой скорости — отношение пройденного моделью пути ко времени движения;
с точностью до сотых расстояние \(AC\);
с точностью до сотых время \(t_{AC}\) движения модели от точки \(A\) до точки \(C\) на первом круге (движение идёт по траектории \(ABCD\));
с точностью до тысячных величину \(v_{AE}\) — отношение расстояния между точками \(E\) и \(A\) к времени движения модели автомобиля от точки \(A\) до точки \(E\) на первом круге.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПутевая скорость постоянна, поэтому путь пропорционален времени движения. Один круг состоит из двух линейных участков и двух полуокружностей; расстояние между точками считайте по прямой.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(R = 15{,}7 \pm 0{,}0125\) см; 2) \(L = 26{,}6 \pm 0{,}025\) см; 3) \(v = 5{,}54 \pm 0{,}008\) см/с; 4) \(AC = 41{,}152 \pm 0{,}08\) см; 5) \(t_{AC} = 13{,}704 \pm 0{,}06\) с; 6) \(v_{AE} = 1{,}9575 \pm 0{,}025\) см/с.
Модель трассы: радиус полуокружностей
Трасса, по которой движется радиоуправляемая модель автомобиля, состоит из двух линейных участков (\(AB\) и \(CD\)) и двух полуокружностей одинакового радиуса \(R\). В момент старта автомобиль находится в начале одного из линейных участков — в точке \(A\). Движение автомобиля можно начинать запуском таймера и останавливать остановкой таймера. При движении автомобиль сохраняет одно и то же значение скорости \(v\). Точкой \(E\) обозначим положение модели автомобиля через \(16{,}777\) с после старта. Определите:
радиус \(R\) полуокружностей (с точностью до сотых);
длину \(L\) одного линейного участка трассы (с точностью до сотых);
величину \(v\) путевой скорости — отношение пройденного моделью пути ко времени движения (с точностью до тысячных);
расстояние \(AC\) (с точностью до сотых);
время \(t_{AC}\) движения модели от точки \(A\) до точки \(C\) на первом круге (движение идёт по траектории \(ABCD\)) (с точностью до сотых);
величину \(v_{AE}\) — отношение расстояния между точками \(E\) и \(A\) к времени движения модели от точки \(A\) до точки \(E\) на первом круге (с точностью до тысячных).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПуть от \(A\) до \(E\) за \(16{,}777\) с известен через \(v\). Сравните длину полного круга с этим путём: по нему находятся \(L\) и \(R\), а далее \(AC\) и геометрия отрезка \(AE\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(R = 16{,}90 \pm 0{,}013\) см; 2) \(L = 28{,}10 \pm 0{,}025\) см; 3) \(v = 6{,}950 \pm 0{,}008\) см/с; 4) \(AC = 43{,}95 \pm 0{,}08\) см; 5) \(t_{AC} = 11{,}68 \pm 0{,}06\) с; 6) \(v_{AE} = 3{,}013 \pm 0{,}025\) см/с.
Машинка с грузами
Имеется машинка с пультом дистанционного управления, эхолот с экраном, бруски, неотградуированная линейка. Бруски можно ставить на машинку (устанавливаются симметрично точно по её центру) и прицеплять к машинке. Найдите:
Значение проекции \(V_x\) на ось \(X\) скорости движения запущенной машинки без брусков.
Цену \(L_3\) пронумерованных (красных) делений линейки (в см).
Цену \(L_0\) самых малых делений линейки (в мм).
Длину \(W_1\) первого бруска.
Разность длин \(W_1-W_2\) первого и второго бруска — с максимальной возможной точностью!
Длину \(W\) машинки — с максимальной возможной точностью!
Значения скорости и цены делений найдите с точностью не хуже \(0{,}1\%\), \(W_1\) — с точностью не хуже \(0{,}01\) мм, \(W_1-W_2\) и \(W\) — с точностью не хуже \(0{,}005\) мм.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость находится по участку движения, где эхолот фиксирует путь машинки за известное время; цену делений линейки — по отношению длины отрезка к числу делений.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_x = -1{,}054 \pm 0{,}0042\) см/с; 2) \(L_3 = 5{,}5 \pm 0{,}022\) см; 3) \(L_0 = 1{,}375 \pm 0{,}006\) мм; 4) \(W_1 = 10{,}5875 \pm 0{,}025\) см; 5) \(W_1-W_2 = 4{,}726 \pm 0{,}01\) см; 6) \(W = 11{,}723 \pm 0{,}01\) см.
Моделирование дождя на другой планете
В лаборатории моделируется дождь на другой планете. Он всё время льётся с одной и той же скоростью. В конический стакан налита вода с плотностью \(1\) г/см\(^3\). В цилиндрическом стакане находится жидкость, которая льётся в виде дождя. Найдите:
Ускорение \(g\) свободного падения на этой планете.
Время \(t\), в течение которого набирали под дождём жидкость в цилиндрический стакан.
Плотность \(\rho_0\) этой жидкости.
Скорость \(N\) выпадания осадков (мм/мин).
Высоту \(H\) цилиндрического стакана.
Значения \(g\) найдите с точностью до сотых, плотности — с точностью до тысячных, остальных величин — с точностью не хуже \(1\%\). Масса гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВремя набора и скорость выпадания осадков связаны с объёмом воды в цилиндрическом стакане через площадь сечения; ускорение свободного падения найдите по движению тела в опыте.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(g = 6{,}8 \pm 0{,}1\) м/с\(^2\); 2) \(t = 52 \pm 1{,}3\) с; 3) \(\rho_0 = 1{,}44 \pm 0{,}0144\) г/см\(^3\); 4) \(N = 41 \pm 0{,}41\) мм/мин; 5) \(H = 12{,}3 \pm 0{,}123\) см.
Машинка с грузами
Имеется машинка с пультом дистанционного управления, эхолот с экраном, бруски, неотградуированная линейка. Бруски можно ставить на машинку (устанавливаются симметрично точно по её центру) и прицеплять к машинке.
Найдите:
Значение проекции \(V_x\) на ось \(X\) скорости движения запущенной машинки без брусков.
Цену \(L_3\) пронумерованных (красных) делений линейки (в см).
Цену \(L_0\) самых малых делений линейки (в мм).
Длину \(W_1\) первого бруска.
Разность длин \(W_1-W_2\) первого и второго бруска — с максимальной возможной точностью!
Длину \(W\) машинки — с максимальной возможной точностью!
Значения скорости и цены делений найдите с точностью не хуже \(0{,}1\%\), \(W_1\) — с точностью не хуже \(0{,}01\) мм, \(W_1-W_2\) и \(W\) — с точностью не хуже \(0{,}005\) мм.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость находится по времени, за которое машинка проходит известный путь, а цену деления линейки удобно получить, сравнив несколько делений с известным отрезком. Длины брусков и машинки сравнивайте по одному и тому же краю, чтобы погрешность не накапливалась.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_x = -1{,}054 \pm 0{,}0042\) см/с; 2) \(L_3 = 5{,}5 \pm 0{,}022\) см; 3) \(L_0 = 1{,}375 \pm 0{,}0055\) мм; 4) \(W_1 = 10{,}587 \pm 0{,}025\) см; 5) \(W_1-W_2 = 4{,}726 \pm 0{,}01\) см; 6) \(W = 11{,}723 \pm 0{,}01\) см.
Тележки на рельсе
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Известно, что средняя скорость тележки (отношение пройденного пути к времени движения) прямо пропорционально зависит от времени движения от начальной точки. Определите:
длину \(W\) одной тележки (с точностью не хуже сотых);
расстояние \(X\) между оптическими воротами (с точностью до одной десятой);
расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами (с точностью до одной десятой);
расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса (с точностью до одной десятой). Положение тележки отсчитывается по концу стрелки, оптических ворот — по вертикальной красной риске, находящейся около их основания;
значение \(a\) ускорения, с которым тележка движется по рельсу (с точностью до тысячных);
длину \(L\) рельса (с точностью до одной десятой);
значение \(V_{max}\) максимальной скорости, которую тележка может приобрести при движении по рельсу (с точностью до тысячных).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя скорость, пропорциональная времени, означает постоянное ускорение: сравните с формулой для равноускоренного движения от начальной точки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(W = 10{,}3 \pm 0{,}05\) см; 2) \(X = 16{,}6 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_1 = 28{,}3 \pm 0{,}1\) см; 4) \(L_2 = 24{,}348 \pm 0{,}12\) см; 5) \(a = 0{,}2548 \pm 0{,}002\) м/с\(^2\); 6) \(L = 74{,}4 \pm 0{,}2\) см; 7) \(V_{max} = 0{,}5715 \pm 0{,}005\) м/с.
Машинка с грузами
Имеется машинка с пультом дистанционного управления, эхолот с экраном, бруски, неотградуированная линейка. Бруски можно ставить на машинку (устанавливаются симметрично точно по её центру) и прицеплять к машинке. Найдите:
значение проекции \(V_x\) на ось \(X\) скорости движения запущенной машинки без брусков (в см/с, с точностью не хуже \(0{,}1\%\));
цену \(L_3\) пронумерованных (красных) делений линейки (в см, с точностью не хуже \(0{,}1\%\));
цену \(L_0\) самых малых делений линейки (в мм, с точностью не хуже \(0{,}1\%\));
длину \(W_1\) первого бруска (с точностью не хуже \(0{,}01\) мм);
разность длин \(W_1 - W_2\) первого и второго бруска — с максимальной возможной точностью (не хуже \(0{,}005\) мм);
длину \(W\) машинки — с максимальной возможной точностью (не хуже \(0{,}005\) мм).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость — это путь к времени по показаниям эхолота; цену делений линейки найдите, сравнив пронумерованные деления с известным отрезком.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_x = -1{,}064 \pm 0{,}0043\) см/с; 2) \(L_3 = 7{,}2 \pm 0{,}029\) см; 3) \(L_0 = 1{,}8 \pm 0{,}0072\) мм; 4) \(W_1 = 12{,}42 \pm 0{,}025\) см; 5) \(W_1 - W_2 = 5{,}38 \pm 0{,}01\) см; 6) \(W = 14{,}08 \pm 0{,}01\) см.
Движение вдоль прямой
В момент начала отсчёта времени две материальные точки начинают двигаться вдоль прямой из начала координат в противоположных направлениях. Модули начальных скоростей точек \(V_1 = 7{,}4\) м/с и \(V_2 = 2\) м/с. Модули их ускорений \(a_1 = 2{,}2\) м/с\(^2\) и \(a_2 = 2{,}4\) м/с\(^2\) не меняются в процессе движения. В начальный момент времени ускорения направлены навстречу скоростям. Определите:
в какой момент времени \(t_2\) точки встретятся;
на какое максимальное расстояние \(S\) они удалятся друг от друга;
в какой момент времени \(t_1\) относительная скорость точек будет минимальной;
на какую минимальную величину \(\Delta a\) нужно изменить ускорение второй точки, чтобы в момент времени \(t_1\) скорости точек не были сонаправлены. Ответ приведите по модулю.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОтносительная скорость — разность скоростей точек; её минимум находится, когда производная по времени обращается в ноль.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t_2 = 4{,}086 \pm 0{,}053\) с; 2) \(S = 9{,}601 \pm 0{,}123\) м; 3) \(t_1 = 2{,}043 \pm 0{,}027\) с; 4) \(\Delta a = 1{,}805 \pm 0{,}023\) м/с\(^2\).
Неисправные весы
В рычажных весах оказалась немного сдвинута от центра точка крепления коромысла, но ими всё-таки можно пользоваться, если немного подумать. Определите с максимальной возможной точностью массу тел №1, №2 и №3. Числа на гирях указывают их массу в граммах. Учтите, что коромысла и чашки весов имеют небольшой ненулевой вес.
масса тела №1;
масса тела №2;
масса тела №3.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВзвесьте тело на обеих чашках; смещение точки крепления искажает результаты в разные стороны, и их сочетание даёт истинную массу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 661 \pm 1\) г; 2) \(m_2 = 392 \pm 0{,}8\) г; 3) \(m_3 = 59 \pm 0{,}2\) г.
Тележки на рельсе
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Известно, что средняя скорость тележки (отношение пройденного пути к времени движения) прямо пропорционально зависит от времени движения от начальной точки. Определите:
длину \(W\) одной тележки;
расстояние \(X\) между оптическими воротами;
расстояние \(L_1\) между левой стенкой рельса и левыми оптическими воротами;
расстояние \(L_2\) между правыми оптическими воротами и точкой, соответствующей начальному положению тележки, закреплённой у правой стенки рельса;
значение \(a\) ускорения, с которым тележка движется по рельсу;
длину \(L\) рельса;
значение \(V_{max}\) максимальной скорости, которую тележка может приобрести при движении по рельсу.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля равноускоренного движения из состояния покоя средняя скорость равна половине конечной. Какая зависимость координаты от времени даёт среднюю скорость, линейную по времени?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(W = 10{,}3 \pm 0{,}05\) см; 2) \(X = 16{,}6 \pm 0{,}1\) см; 3) \(L_1 = 28{,}3 \pm 0{,}1\) см; 4) \(L_2 = 24{,}348 \pm 0{,}12\) см; 5) \(a = 0{,}2548 \pm 0{,}002\) м/с\(^2\); 6) \(L = 74{,}4 \pm 0{,}2\) см; 7) \(V_{max} = 0{,}5715 \pm 0{,}005\) м/с.
Машинка с грузами
Имеется машинка с пультом дистанционного управления, эхолот с экраном, бруски, неотградуированная линейка. Бруски можно ставить на машинку (устанавливаются симметрично точно по её центру) и прицеплять к машинке. Найдите:
значение проекции \(V_x\) на ось \(X\) скорости движения запущенной машинки без брусков;
цену \(L_3\) пронумерованных (красных) делений линейки (в см);
цену \(L_0\) самых малых делений линейки (в мм);
длину \(W_1\) первого бруска;
разность длин \(W_1 - W_2\) первого и второго бруска — с максимальной возможной точностью;
длину \(W\) машинки — с максимальной возможной точностью.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСначала найдите скорость машинки по показаниям эхолота, затем через неё — остальные величины.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_x = -1{,}064 \pm 0{,}004256\) см/с; 2) \(L_3 = 7{,}2 \pm 0{,}0288\) см; 3) \(L_0 = 1{,}8 \pm 0{,}0072\) мм; 4) \(W_1 = 12{,}42 \pm 0{,}025\) см; 5) \(W_1 - W_2 = 5{,}38 \pm 0{,}01\) см; 6) \(W = 14{,}08 \pm 0{,}01\) см.
Вездеход на беговой дорожке
Длина движущейся дорожки тренажёра \(S = 2{,}2\) м. Включив двигатель игрушечного гусеничного вездехода, школьник поставил его на задний край беговой дорожки (положение 1 на рисунке). Оказалось, что через \(T_1 = 24{,}9\) с вездеход доехал до переднего края дорожки (положение 2 на рисунке). Если запустить вездеход в обратном направлении, то он переместится из положения 2 в положение 1 за \(T_2 = 14\) с. Длина игрушки \(L = 12{,}5\) см. Вычислите:
с какой скоростью \(U\) движется лента тренажёра относительно земли;
с какой скоростью \(V\) движется вездеход относительно ленты тренажёра;
для случая, когда вездеход движется из положения 1 в положение 2, скорость точки \(A\) на гусенице относительно земли (\(V_A\));
для случая, когда вездеход движется из положения 1 в положение 2, скорость точки \(B\) на гусенице относительно земли (\(V_B\));
Барсику понравилась игрушка, и он побежал рядом со скоростью \(4U\) относительно ленты. Определите скорость Барсика относительно вездехода (\(V_{отн}\)), если они движутся в одном направлении.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость вездехода относительно земли складывается из его скорости относительно ленты и скорости самой ленты; время проезда по ленте связано с длиной дорожки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(U = 3{,}244 \pm 0{,}016\) см/с; 2) \(V = 11{,}577 \pm 0{,}058\) см/с; 3) \(V_A = 19{,}9 \pm 0{,}2\) см/с; 4) \(V_B = 3{,}244 \pm 0{,}016\) см/с; 5) \(V_{отн} = 1{,}399 \pm 0{,}028\) см/с.
Лесовозы
Лесовозы вывозили древесину с вырубки на железнодорожную станцию по прямой дороге. В пути каждая машина двигалась равномерно. Первая машина выехала рано утром, но по пути сломалась и встала. Водитель вызвал аварийную службу и начал отсчёт времени. В этот момент вторая машина была в пути, а третья только отъезжала от вырубки. Оказалось, что в интервале времени от \(21\) мин до \(31\) мин сумма расстояний между первой и второй и первой и третьей машинами (\(L_{12} + L_{13}\)) была минимальной и равной \(L = 7260\) м, а в момент времени \(70\) мин вторая машина прибыла на станцию. Вычислите:
на каком расстоянии \(X_1\) находилась вторая машина от вырубки в момент старта третьей;
скорость \(V_2\) движения второй машины;
скорость \(V_{32}\) движения третьей машины относительно второй в момент времени \(50{,}5\) мин;
расстояние \(X_2\) от вырубки до места поломки.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСумма расстояний до сломавшейся машины минимальна, когда она лежит между двумя другими машинами. Используйте это условие и график координат.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X_1 = 7260 \pm 145\) м; 2) \(V_2 = 12{,}1 \pm 0{,}24\) м/с; 3) \(V_{32} = 0 \pm 0{,}001\) м/с; 4) \(X_2 = 22{,}51 \pm 0{,}45\) км.
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой, датчиком натяжения нити и датчиком времени, линейка и два бруска. Брусок можно ставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска. Электронный динамометр объединён с лебёдкой. Колесо лебёдки крутится с постоянной скоростью наматывания нити. Трения в системе нет. Масса первого бруска \(m_1 = 35{,}1\) г. Ширина \(w\) брусков одинакова и равна \(1\) см. Сила, действующая на брусок, который тащит лебёдка, пропорциональна его весу, и коэффициент пропорциональности зависит только от угла наклона рельса. Найдите:
длину \(L\) внутренней части рельса — от стенки до стенки;
скорость \(v\) движения бруска при его подъёме лебёдкой;
массу \(m_2\) бруска №2;
плотность бруска №2.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила натяжения пропорциональна весу бруска, поэтому отношение сил для двух брусков даёт отношение их масс. Плотность — масса, делённая на объём бруска.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 69{,}1 \pm 0{,}2\) см; 2) \(v = 3{,}6 \pm 0{,}036\) см/с; 3) \(m_2 = 47{,}3 \pm 0{,}473\) г; 4) \(\rho_2 = 2{,}672 \pm 0{,}027\) г/см\(^3\).
Удобрение для цветов
Гранулированное сухое удобрение имеет плотность \(\rho = 870\) кг/м\(^3\), \(55\) процентов от объёма сухих гранул занимает воздух. На \(1\) м\(^2\) грядки с рассадой цветов необходимо внести \(m = 29\) г сухого удобрения. Оказалось, что ёмкости с удобрением стояли во влажном помещении и гранулы впитали воду. Поэтому для приготовления рабочего раствора на \(10\) л воды агроному пришлось засыпать \(M = 0{,}23\) кг влажного удобрения (\(18\) процентов от массы влажного удобрения составляет вода). Определите:
концентрацию рабочего раствора \(n\) в пересчёте на граммы сухого удобрения на литр воды, которую хотел получить агроном;
общий объём полученного раствора \(V_x\);
плотность полученного раствора \(\rho_{раствора}\);
площадь \(S\) посадок в теплице, которую можно обработать полученным раствором.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСухая масса гранул связана с их плотностью и долей объёма, которую занимают сами гранулы, а не воздух.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(n = 18{,}78 \pm 0{,}21\) г/л; 2) \(V_x = 10{,}139 \pm 0{,}011\) л; 3) \(\rho_{раствора} = 1008{,}99 \pm 1{,}11\) кг/м\(^3\); 4) \(S = 6{,}503 \pm 0{,}072\) м\(^2\).
Незнайка-строитель
Незнайка решил построить дом из кубиков. Для фундамента он разложил одинаковые кубики массой \(m = 74\) г по сторонам квадрата в несколько слоёв. Но площадь дома оказалась маленькой. Тогда Незнайка разобрал свою постройку, сложил все кубики на землю и построил новый фундамент. Теперь сторона квадрата была на \(Z = 12\) кубиков больше, и кубики лежали в два слоя. Оказалось, что суммарная сила, с которой фундамент давил на опору, не изменилась, а давление со стороны нижних кубиков на опору уменьшилось в \(1{,}5\) раза и составило \(P = 184\) Па. Найдите:
вес \(F\) кубиков, которые использовал Незнайка во втором случае;
длину \(a\) ребра кубика;
среднюю плотность \(\rho\) кубика;
минимальную работу \(A_1\) против силы тяжести, которую должен был совершить Незнайка, когда складывал фундамент в первый раз;
во сколько раз \(K\) его работа, когда он складывал фундамент во втором случае, оказалась меньше.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВес всех кубиков в обоих случаях один и тот же; сравнив давления, найдите площадь основания нижнего слоя.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F = 208{,}8 \pm 2{,}3\) Н; 2) \(a = 8{,}878 \pm 0{,}098\) см; 3) \(\rho = 0{,}10573 \pm 0{,}0012\) г/см\(^3\); 4) \(A_1 = 18{,}54 \pm 0{,}204\) Дж; 5) \(K = 2 \pm 0{,}022\).
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой, датчиком натяжения нити и датчиком времени, линейка и два бруска. Брусок можно ставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска. Электронный динамометр объединён с лебёдкой. Колесо лебёдки крутится с постоянной скоростью наматывания нити. Трения в системе нет. Масса первого бруска \(m_1 = 35{,}1\) г. Ширина \(w\) брусков одинакова и равна \(1\) см. Сила, действующая на брусок, который тащит лебёдка, пропорциональна его весу, и коэффициент пропорциональности зависит только от угла наклона рельса. Найдите:
длину \(L\) внутренней части рельса — от стенки до стенки;
скорость \(v\) движения бруска при его подъёме лебёдкой;
массу \(m_2\) бруска №2;
плотность бруска №2.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила натяжения пропорциональна весу бруска, поэтому отношение сил для двух брусков даёт отношение их масс. Плотность — масса, делённая на объём бруска.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 69{,}1 \pm 0{,}2\) см; 2) \(v = 3{,}6 \pm 0{,}036\) см/с; 3) \(m_2 = 47{,}3 \pm 0{,}473\) г; 4) \(\rho_2 = 2{,}672 \pm 0{,}027\) г/см\(^3\).
Косяк скумбрии
Стремясь запутать быстрыми движениями нападающую акулу, скумбрии сбились в косяк в виде вертикального вращающегося цилиндра, заполненного рыбами. Вертикальная составляющая скорости рыб равна нулю, расстояние между рыбами не меняется. Радиус цилиндра \(R = 3\) м, угловая скорость вращения \(\omega = 0{,}38\) рад/с. Вычислите:
максимальную скорость скумбрии в косяке относительно воды \(V_1\);
на каком максимальном расстоянии \(L\) друг от друга движутся скумбрии, если их скорости относительно воды отличаются в 2 раза;
на каком минимальном расстоянии \(S\) друг от друга движутся две скумбрии, если их скорости относительно воды отличаются на \(\Delta V = 0{,}31\) м/с;
две рыбы \(A\) и \(B\) двигаются, оставаясь всё время на противоположных концах диаметра косяка. Вычислите скорость одной из этих рыб в системе, где телом отсчёта является другая рыба (\(V_A\));
какова максимальная скорость рыб относительно акулы, которая плывёт по прямой горизонтально со скоростью \(V = 0{,}4\) м/с (\(V_{max}\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТочка косяка на расстоянии \(r\) от оси движется относительно воды со скоростью \(\omega r\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 1{,}14 \pm 0{,}011\) м/с; 2) \(L = 4{,}5 \pm 0{,}045\) м; 3) \(S = 0{,}816 \pm 0{,}008\) м; 4) \(V_A = 0 \pm 0{,}05\) м/с; 5) \(V_{max} = 1{,}54 \pm 0{,}015\) м/с.
Незнайка-строитель
Незнайка решил построить дом из кубиков. Для фундамента он разложил одинаковые кубики массой \(m = 74\) г по сторонам квадрата в несколько слоёв. Но площадь дома оказалась маленькой. Тогда Незнайка разобрал свою постройку, сложил все кубики на землю и построил новый фундамент. Теперь сторона квадрата была на \(Z = 12\) кубиков больше, и кубики лежали в два слоя. Оказалось, что суммарная сила, с которой фундамент давил на опору не изменилась, а давление со стороны нижних кубиков на опору уменьшилось в \(1{,}5\) раза и составило \(P = 184\) Па. Найдите:
вес \(F\) кубиков, которые использовал Незнайка во втором случае;
длину \(a\) ребра кубика;
среднюю плотность \(\rho\) кубика;
какую минимальную работу \(A_1\) против силы тяжести должен был совершить Незнайка, когда он складывал фундамент в первый раз;
во сколько раз \(K\) его работа, когда он складывал фундамент во втором случае, оказалась меньше.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВес кубиков пропорционален их числу; давление равно силе, делённой на площадь опоры.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F = 208{,}8 \pm 2{,}3\) Н; 2) \(a = 8{,}878 \pm 0{,}098\) см; 3) \(\rho = 0{,}10573 \pm 0{,}0012\) г/см\(^3\); 4) \(A_1 = 18{,}54 \pm 0{,}204\) Дж; 5) \(K = 2 \pm 0{,}022\).
Движение вдоль прямой
В момент начала отсчёта времени две материальные точки начинают двигаться вдоль прямой из начала координат в противоположных направлениях. Модули начальных скоростей точек \(V_1 = 7{,}4\) м/с и \(V_2 = 2\) м/с. Модули их ускорений \(a_1 = 2{,}2\) м/с\(^2\) и \(a_2 = 2{,}4\) м/с\(^2\) не меняются в процессе движения. В начальный момент времени ускорения направлены навстречу скоростям. Определите:
в какой момент времени \(t_2\) точки встретятся;
на какое максимальное расстояние \(S\) они удалятся друг от друга;
в какой момент времени \(t_1\) относительная скорость точек будет минимальной;
на какую минимальную величину \(\Delta a\) нужно изменить ускорение второй точки, чтобы в момент времени \(t_1\) скорости точек не были сонаправлены. Ответ приведите по модулю.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОтносительная скорость точек меняется линейно со временем; найдите её минимум из условия постоянных ускорений.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t_2 = 4{,}086 \pm 0{,}053\) с; 2) \(S = 9{,}601 \pm 0{,}123\) м; 3) \(t_1 = 2{,}043 \pm 0{,}027\) с; 4) \(\Delta a = 1{,}805 \pm 0{,}023\) м/с\(^2\).
Неисправные весы
В рычажных весах оказалась немного сдвинута от центра точка крепления коромысла, но ими всё-таки можно пользоваться, если немного подумать. Определите с максимальной возможной точностью массу тел №1, №2 и №3. Числа на гирях указывают их массу в граммах. Учтите, что коромысла и чашки весов имеют небольшой ненулевой вес.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля неравноплечих весов запишите равенство моментов для двух положений тела и гирь.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 661 \pm 1\) г; 2) \(m_2 = 392 \pm 0{,}8\) г; 3) \(m_3 = 59 \pm 0{,}2\) г.
Длина трёх пружин в связке
Три пружины различной жёсткости и длины (\(k_1 = 492\) Н/м, \(L_1 = 34{,}7\) см, \(k_2 = 437\) Н/м, \(L_2 = 47{,}7\) см, \(k_3 = 525\) Н/м, \(L_3 = 56{,}8\) см) соединили и надели на жёсткий стержень, чтобы конструкция не изгибалась. Массой пружин можно пренебречь.
Определите длину \(L_0\) получившейся системы пружин.
Определите жёсткость \(K\) получившейся системы пружин.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПружины на общем стержне растягиваются одинаково, значит, их силы складываются. Запишите условие равновесия системы при общей длине \(L\) и выразите \(L_0\) через \(k_i\) и \(L_i\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L_0 = 46{,}57 \pm 0{,}56\) см; 2) \(K = 1453 \pm 17\) Н/м.
Три тележки и горизонтальный рельс
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на левый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и пружина выталкивает тележку. Определите:
скорость \(V_1\) движения первой тележки после её выталкивания пружиной;
длину \(W_1\) первой тележки;
длину \(W_3\) третьей тележки;
длину \(L\) рельса (расстояние между левой и правой стенками рельса);
расстояние \(X\) между оптическими воротами и правым краем рельса;
длину \(W\) распрямлённой пружины.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость тележки находится по времени, за которое она проходит через луч ворот известного положения. Длину тележки можно найти, умножив скорость на время, за которое тележка перекрывает луч.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 13{,}00 \pm 0{,}05\) см/с; 2) \(W_1 = 10{,}10 \pm 0{,}05\) см; 3) \(W_3 = 11{,}80 \pm 0{,}05\) см; 4) \(L = 72{,}00 \pm 0{,}25\) см; 5) \(X = 44{,}60 \pm 0{,}10\) см; 6) \(W = 6{,}80 \pm 0{,}10\) см.
Три тележки и горизонтальный рельс
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на левый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и пружина выталкивает тележку. Определите:
скорость \(V_1\) движения первой тележки после её выталкивания пружиной;
длину \(W_1\) первой тележки;
длину \(W_3\) третьей тележки;
длину \(L\) рельса (расстояние между левой и правой стенками рельса);
расстояние \(X\) между оптическими воротами и правым краем рельса;
длину \(W\) распрямлённой пружины.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость тележки находится по времени, за которое она проходит через луч ворот известного положения. Длину тележки можно найти, умножив скорость на время, за которое тележка перекрывает луч.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 13{,}00 \pm 0{,}05\) см/с; 2) \(W_1 = 10{,}10 \pm 0{,}05\) см; 3) \(W_3 = 11{,}80 \pm 0{,}05\) см; 4) \(L = 72{,}00 \pm 0{,}25\) см; 5) \(X = 44{,}60 \pm 0{,}10\) см; 6) \(W = 6{,}80 \pm 0{,}10\) см.
Опасная охота
У длинного забора растёт дерево, в корнях — мышиная нора. Мыши бегают вдоль забора, на котором сидит Барсик. Барсик бы поохотился, но на расстоянии \(a = 38{,}6\) м от дерева лежит собака. Скорость мыши равна \(V_m = 1{,}1\) м/с, скорость Барсика составляет \(V_B = 2{,}6\) м/с, собака бегает со скоростью \(V_s = 4{,}5\) м/с. На то, чтобы забраться на дерево, Барсику потребуется \(\Delta T = 1{,}4\) с. Определите:
на каком минимальном расстоянии \(b\) от собаки Барсик может спрыгнуть с забора, чтобы безопасно поохотиться;
на каком максимальном расстоянии \(L_1\) от Барсика может в этом случае находиться мышь, чтобы имело смысл начинать охоту;
чему равен модуль \(V_{ms}\) скорости мыши относительно собаки в этом случае;
при каком максимальном расстоянии от дерева (\(L_2\)) до мыши Барсик сможет продолжить охоту уже с дерева, когда собака вернётся на своё место.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните время, за которое собака добегает до точки прыжка Барсика и возвращается обратно, с временем, которое нужно Барсику на подъём на дерево.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(b = 19{,}9358 \pm 0{,}219\) м; 2) \(L_1 = 10{,}766 \pm 0{,}118\) м; 3) \(V_{ms} = 3{,}4 \pm 0{,}0374\) м/с; 4) \(L_2 = 5{,}3828 \pm 0{,}0592\) м.
Столкновения тележки со стенками рельса
При нажатии кнопки Пуск тележка начинает двигаться. Определите:
начальную координату \(X_0\) тележки (в см) — с точностью до сотых;
скорость \(v\) тележки (в см/с) — с точностью до сотых;
длину \(L\) шкалы рельса (в см) — с точностью до десятых;
количество \(N_1\) столкновений тележки с левой стенкой рельса через \(t = 3035\) с после начала её движения из начального состояния, если во время движения она будет упруго отражаться от стенок с сохранением модуля скорости;
количество \(N_2\) столкновений тележки с правой стенкой рельса до этого момента при тех же условиях.
Увеличительное стекло позволяет увеличивать изображение выбранной области окна. Нажатие мышью в любой части этого окна восстанавливает первоначальный масштаб. Выделение мышью области графика (нажать кнопку мыши и вести вправо вниз, а затем отпустить кнопку) позволяет неоднократно увеличивать изображение выбранной области графика. Движение в обратном направлении (справа налево снизу вверх) восстанавливает первоначальный масштаб графика.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМежду отражениями тележка движется равномерно. Найдите время, за которое она возвращается в исходную точку, и сколько таких полных циклов укладывается в \(t\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X_0 = 16{,}372 \pm 0{,}04\) см; 2) \(v = 11{,}7 \pm 0{,}05\) см/с; 3) \(L = 166{,}5 \pm 0{,}2\) см; 4) \(N_1 = 106 \pm 0{,}002\); 5) \(N_2 = 107 \pm 0{,}002\).
Магнитофонная лента
Внутренний диаметр мотка магнитофонной плёнки на бобине \(D_1 = 4{,}4\) см, а внешний диаметр \(D_2 = 10{,}8\) см. Толщина плёнки \(h = 55\) мкм. Плёнка подаётся во звукосниматель со скоростью \(V = 19{,}4\) см/с. Определите:
время воспроизведения всей записи (\(t\));
во сколько раз (\(K\)) изменяется угловая скорость вращения бобины во время воспроизведения записи с начала до конца ленты;
с какой угловой скоростью (\(W\)) вращается бобина через \(t_1 = 3{,}57\) мин после начала воспроизведения записи.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПлёнка наматывается слой за слоем, и радиус мотка меняется со временем. Длину всей плёнки найдите по площади кольца между внутренним и внешним диаметрами, делённой на толщину плёнки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t = 11{,}92 \pm 0{,}36\) мин; 2) \(K = 2{,}452 \pm 0{,}074\); 3) \(W = 4{,}14 \pm 0{,}12\) рад/с.
Плотность кубика и неизвестной жидкости
В отливном стакане находится вода плотностью \(1\) г/см\(^3\). Если щёлкнуть по крану, из него начинает течь неизвестная жидкость. Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса подписанных гирь указана в граммах. Считайте, что жидкость из крана, попадая в отливной стакан, практически мгновенно равномерно перемешивается с жидкостью в стакане. Определите:
Массу мерного стакана — с точностью до сотых.
Объём воды в отливном стакане — с точностью до целых.
Объём кубика — с точностью до целых.
Плотность кубика — с точностью до сотых.
Плотность неизвестной жидкости, текущей из крана — с точностью до сотых.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Кран включается и выключается по щелчку мыши. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 5 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКаплю из пипетки удобно считать по массе: сравните, сколько капель уравновешивает мерный стакан с гирями. Объём кубика равен объёму воды, вылившейся при его погружении в отливной стакан.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(43{,}5 \pm 0{,}01\) г; 2) \(4265 \pm 2\) см\(^3\); 3) \(195 \pm 1\) см\(^3\); 4) \(7 \pm 0{,}05\) г/см\(^3\); 5) \(1{,}3005 \pm 0{,}015\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. Массу мерного стакана находим уравновешиванием на весах: стакан с \(15\) каплями воды уравновешивается набором гирь, и то же с \(14\) каплями даёт второе уравнение. Их разность дает массу одной капли \(m\), затем из первого уравнения находится масса стакана \(M_{ст}\). Объём капли определяется отмериванием ровного числа капель в мерном стакане, \(m = \rho V_0\).
2. Объём воды в отливном стакане: вода из верхнего крана наливается в мерный стакан, к ней прибавляется остаток, видимый по шкале отливного стакана.
3. Объём кубика равен объёму воды, вылившейся из отливного стакана при погружении кубика.
4. Массу кубика находим на весах: кубик уравновешивается большой гирей, каплями и маленькими гирями; из условия равновесия получаем \(M_к\), затем \(\rho_к = M_к/V_к\).
5. Плотность жидкости из крана: сначала убираем воду из отливного стакана, затем наливаем жидкость из крана и отмериваем её объём \(V_ж\) в мерный стакан на весах. Масса жидкости \(M_ж\) равна массе стакана с жидкостью минус \(M_{ст}\), а плотность \(\rho_ж = M_ж/V_ж\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Плотность кубика и неизвестной жидкости
В отливном стакане находится вода плотностью \(1\) г/см\(^3\). Если щёлкнуть по крану, из него начинает течь неизвестная жидкость. Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса подписанных гирь указана в граммах. Считайте, что жидкость из крана, попадая в отливной стакан, практически мгновенно равномерно перемешивается с жидкостью в стакане. Определите:
Массу мерного стакана — с точностью до сотых.
Объём воды в отливном стакане — с точностью до целых.
Объём кубика — с точностью до целых.
Плотность кубика — с точностью до сотых.
Плотность неизвестной жидкости, текущей из крана — с точностью до сотых.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Кран включается и выключается по щелчку мыши. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 5 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКаплю из пипетки удобно считать по массе: сравните, сколько капель уравновешивает мерный стакан с гирями. Объём кубика равен объёму воды, вылившейся при его погружении в отливной стакан.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(43{,}5 \pm 0{,}01\) г; 2) \(4265 \pm 2\) см\(^3\); 3) \(195 \pm 1\) см\(^3\); 4) \(7 \pm 0{,}05\) г/см\(^3\); 5) \(1{,}3005 \pm 0{,}015\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. Массу мерного стакана находим уравновешиванием на весах: стакан с \(15\) каплями воды уравновешивается набором гирь, и то же с \(14\) каплями даёт второе уравнение. Их разность дает массу одной капли \(m\), затем из первого уравнения находится масса стакана \(M_{ст}\). Объём капли определяется отмериванием ровного числа капель в мерном стакане, \(m = \rho V_0\).
2. Объём воды в отливном стакане: вода из верхнего крана наливается в мерный стакан, к ней прибавляется остаток, видимый по шкале отливного стакана.
3. Объём кубика равен объёму воды, вылившейся из отливного стакана при погружении кубика.
4. Массу кубика находим на весах: кубик уравновешивается большой гирей, каплями и маленькими гирями; из условия равновесия получаем \(M_к\), затем \(\rho_к = M_к/V_к\).
5. Плотность жидкости из крана: сначала убираем воду из отливного стакана, затем наливаем жидкость из крана и отмериваем её объём \(V_ж\) в мерный стакан на весах. Масса жидкости \(M_ж\) равна массе стакана с жидкостью минус \(M_{ст}\), а плотность \(\rho_ж = M_ж/V_ж\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Разгрузка вагонетки
Вагонетку подогнали для разгрузки вплотную к платформе, поверхности их находятся на одном уровне. Два одинаковых ящика, у каждого из которых масса \(m = 242\) кг, а дно — квадрат со стороной \(a = 1{,}2\) м, медленно передвигают на платформу. При этом скорость одного всё время направлена перпендикулярно его боковой грани, а скорость второго — вдоль диагонали его основания (на рисунке чёрным пунктиром показано начальное положение ящиков, а красным — конечное). Приложенная сила в каждый момент времени имеет минимальное необходимое значение. Коэффициент трения о поверхность вагонетки \(\mu_1 = 0{,}26\), о платформу — \(\mu_2 = 0{,}38\). Определите:
какая сила \(F_1\) приводила в движение первый ящик в момент, когда он переместился на расстояние \(x_1 = 0{,}3\) м;
какая работа (\(A\)) по перестановке ящика была совершена к этому моменту;
какая сила \(F_2\) приводила в движение второй ящик в момент, когда он переместился на расстояние \(x_1 = 0{,}3\) м;
во сколько раз \(K\) увеличилась эта сила к моменту, когда ящик переместился на расстояние \(x_2 = 1{,}08\) м.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_1 = 687{,}695 \pm 7{,}56\) Н; 2) \(A = 195{,}637 \pm 2{,}15\) Дж; 3) \(F_2 = 634{,}34 \pm 6{,}98\) Н; 4) \(K = 1{,}3018 \pm 0{,}0143\).
Три бруска и рельс
На рельсе находятся два бруска. Их можно передвигать, снимать с рельса и ставить на рельс. Третий брусок закреплён на столе и немного выходит за край экрана. Линейки можно передвигать, но нельзя далеко выносить за край экрана. Линейку с коричневыми краями можно вращать за эти края. Найдите:
Высоту \(H_{21}\), на которой в начальном положении центр второго бруска расположен относительно центра первого.
Длину \(W_3\) третьего бруска.
Расстояние \(L_{12}\) в начальном положении между центрами первого и второго брусков.
Координаты брусков определяйте по концам красных стрелочек. Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Найти ответы необходимо с точностью не хуже чем до одной десятой.
Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, после чего щелчок мышью в любом месте экрана возвращает первоначальный масштаб.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРельс уравновешен на опоре: сравните моменты сил от брусков относительно опоры и используйте положение точки опоры и концов рельса.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(H_{21} = 12{,}56 \pm 0{,}16\) см; 2) \(W_3 = 14{,}301 \pm 0{,}21\) см; 3) \(L_{12} = 43{,}888 \pm 0{,}26\) см.
Лодки на озере
Команды гребцов тренируются на озере. Маршрут проложен по прямой. В момент начала отсчёта времени две байдарки (красная и синяя) стартуют от причала и движутся в одном направлении со скоростями \(V_1\) и \(V_2\) относительно воды, соответственно. На рисунке красной линией показан участок графика зависимости координаты красной байдарки от времени в системе отсчёта, связанной с синей. Ось \(0X\) направлена в сторону движения лодок. Спустя \(T=15{,}3\) мин после старта байдарка, идущая впереди, встречает каноэ, движущееся навстречу со скоростью \(2V_1\) относительно воды. На рисунке зелёной линией показан участок графика зависимости координаты каноэ от времени в системе отсчёта, связанной с синей байдаркой. \(\Delta X_1=280{,}8\) м, \(\Delta X_2=2199{,}6\) м, \(\Delta t=7{,}8\) мин.
Определите:
Скорость \(V_1\) красной байдарки относительно воды.
Скорость \(V_2\) синей байдарки относительно воды.
Сколько времени \(\Delta t_1\) потребовалось каноэ, чтобы преодолеть расстояние между байдарками.
После встречи с байдарками каноэ продолжает движение до места их старта, разворачивается и догоняет байдарки. Определите, сколько времени \(\Delta t_{22}\) прошло от первой до второй встречи каноэ с синей байдаркой.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ системе синей байдарки красная и каноэ движутся с постоянными скоростями: по наклону линий графика найдите относительные скорости, затем переходите к скоростям относительно воды.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 1{,}36612 \pm 0{,}0164\) м/с; 2) \(V_2 = 1{,}96588 \pm 0{,}0236\) м/с; 3) \(\Delta t_1 = 2{,}2381 \pm 0{,}0269\) мин; 4) \(\Delta t_{22} = 78{,}464 \pm 0{,}942\) мин.
Три бруска и рельс
На рельсе находятся два бруска. Их можно передвигать, снимать с рельса и ставить на рельс. Третий брусок закреплён на столе и немного выходит за край экрана. Линейки можно передвигать, но нельзя далеко выносить за край экрана. Линейку с коричневыми краями можно вращать за эти края. Найдите:
Высоту \(H_{21}\), на которой в начальном положении центр второго бруска расположен относительно центра первого.
Длину \(W_3\) третьего бруска.
Расстояние \(L_{12}\) в начальном положении между центрами первого и второго брусков.
Координаты брусков определяйте по концам красных стрелочек. Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Найти ответы необходимо с точностью не хуже чем до одной десятой.
Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, после чего щелчок мышью в любом месте экрана возвращает первоначальный масштаб.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРельс уравновешен на опоре: сравните моменты сил от брусков относительно опоры и используйте положение точки опоры и концов рельса.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(H_{21} = 13{,}904 \pm 0{,}16\) см; 2) \(W_3 = 12{,}096 \pm 0{,}21\) см; 3) \(L_{12} = 41{,}704 \pm 0{,}26\) см.
Байдарки и каноэ
Команды гребцов тренируются на озере. Маршрут проложен по прямой. В момент начала отсчёта времени две байдарки (красная и синяя) стартуют от причала и движутся в одном направлении со скоростями \(V_1\) и \(V_2\) относительно воды, соответственно. На рисунке красной линией показан участок графика зависимости координаты красной байдарки от времени в системе отсчёта, связанной с синей. Ось \(0X\) направлена в сторону движения лодок. Спустя \(T=17{,}1\) мин после старта байдарка, идущая впереди, встречает каноэ, движущееся навстречу со скоростью \(2V_1\) относительно воды. На рисунке зелёной линией показан участок графика зависимости координаты каноэ от времени в системе отсчёта, связанной с синей байдаркой. \(\Delta X_1=288\) м, \(\Delta X_2=2400\) м, \(\Delta t=8\) мин.
Определите:
Скорость \(V\) каноэ относительно воды.
На каком расстоянии \(S\) находилось каноэ от байдарок в момент их старта.
Сколько времени \(\Delta t_1\) потребовалось каноэ, чтобы преодолеть расстояние между байдарками.
После встречи с байдарками каноэ продолжает движение до места их старта, разворачивается и догоняет байдарки. Определите, сколько времени \(\Delta t_{11}\) прошло от первой до второй встречи каноэ с красной байдаркой.
Сколько времени потребовалось каноэ, чтобы преодолеть расстояние между байдарками во второй раз (\(\Delta t_2\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ системе синей байдарки красная и каноэ движутся с постоянными скоростями: по наклону линий графика найдите относительные скорости, затем переходите к скоростям относительно воды.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 2{,}932 \pm 0{,}035\) м/с; 2) \(S = 5127{,}9 \pm 61\) м; 3) \(\Delta t_1 = 2{,}331 \pm 0{,}028\) мин; 4) \(\Delta t_{11} = 38{,}85 \pm 0{,}47\) мин; 5) \(\Delta t_2 = 40{,}34 \pm 0{,}48\) мин.
Сцепленные динамометры
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. К грузу, подвешенному к динамометру, можно подцеплять снизу другие грузы. Определите с точностью до целых:
Массу \(m_1\) груза № 1.
Коэффициент жесткости \(k_2\) пружины нижнего динамометра.
Массу \(m_2\) груза № 2.
Массу \(m_3\) груза № 3.
Максимальную массу \(M\), которую можно взвесить в данной системе (не обязательно из имеющихся на столе тел).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), шкалы динамометров — точными.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила упругости пружины пропорциональна её растяжению: по показаниям верхнего динамометра и растяжению нижнего найдите жёсткость и массы грузов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 275{,}5 \pm 1\) г; 2) \(k_2 = 67{,}93 \pm 0{,}68\) Н/м; 3) \(m_2 = 229 \pm 1\) г; 4) \(m_3 = 1530{,}8 \pm 4\) г; 5) \(M = 1734{,}5 \pm 5\) г.
Разгрузка вагонетки
Вагонетку подогнали для разгрузки вплотную к платформе, поверхности их находятся на одном уровне. Два одинаковых ящика, у каждого из которых масса \(m=257\) кг, а дно — квадрат со стороной \(a=0{,}8\) м, медленно передвигают на платформу. При этом скорость одного всё время направлена перпендикулярно его боковой грани, а скорость второго — вдоль диагонали его основания (на рисунке чёрным пунктиром показано начальное положение ящиков, а красным — конечное). Приложенная сила в каждый момент времени имеет минимальное необходимое значение. Коэффициент трения о поверхность вагонетки \(\mu_1=0{,}26\), о платформу — \(\mu_2=0{,}35\). Определите:
Какая сила \(F_1\) приводила в движение первый ящик в момент, когда он переместился на расстояние \(x_1=0{,}32\) м.
Какая работа \(A\) по перестановке ящика была совершена к этому моменту.
Какая сила \(F_2\) приводила в движение второй ящик в момент, когда он переместился на расстояние \(x_1=0{,}32\) м.
Во сколько раз \(K\) увеличилась эта сила к моменту, когда ящик переместился на расстояние \(x_2=0{,}72\) м.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЯщик движется медленно, то есть почти равномерно: приложенная сила уравновешивает силу трения. Сила трения зависит от того, какая часть основания опирается на вагонетку, а какая — на платформу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_1 = 745{,}4 \pm 8{,}2\) Н; 2) \(A = 224{,}03 \pm 2{,}5\) Дж; 3) \(F_2 = 691{,}0 \pm 7{,}6\) Н; 4) \(K = 1{,}1887 \pm 0{,}013\).
Юные физики на рыбалке
Однажды два юных физика отправились на рыбалку. Часть пути они прошли по лугу со скоростью \(V_1 = 4{,}9\) км/ч, часть пути — по лесу со скоростью \(V_2\), но, как только они дошли до реки, начался сильный дождь и пришлось возвращаться. По лесу они шли с той же скоростью, по лугу — со скоростью \(V_3 = 2{,}8\) км/ч, так как дорога стала скользкой. Вернувшись домой, промокшие друзья сообразили, что при определённой скорости движения по лесу (\(V_2\)) им не нужно знать пройденных по лесу и по лугу расстояний, чтобы вычислить среднюю путевую скорость движения на маршруте (отношение всего пройденного пути ко всему затраченному времени).
Вычислите необходимую скорость \(V_2\).
Вычислите, какой была бы в этом случае средняя путевая скорость \(V_s\).
Определите расстояние \(S\) от дома до реки, если суммарная длительность неудачного похода составила бы в этом случае \(t = 1{,}7\) ч.
Ответы вводите с точностью не хуже \(1\%\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПодумайте, при какой скорости по лесу средняя скорость не зависит от того, какая доля пути пройдена по лугу. Общее время выразите через длины участков.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_2 = 3{,}562 \pm 0{,}043\) км/ч; 2) \(V_s = 3{,}562 \pm 0{,}043\) км/ч; 3) \(S = 3{,}028 \pm 0{,}036\) км.
Площадь отверстий в плоских телах
Имеются тела разной формы одинаковой небольшой толщины и плотности материала. Будем считать их плоскими. В этих телах имеются круговые отверстия. В теле №1 имеется три одинаковых отверстия, в других телах размеры отверстий могут отличаться. Определите:
диаметр \(D_1\) первого тела;
диаметр \(D_2\) второго тела;
площадь \(s\) одного отверстия в теле №1;
массу \(m\), которая была удалена из тела при создании этого отверстия;
площадь \(s_3\) большого отверстия в теле №3.
Число \(\pi = 3{,}1416\). Масса подписанных гирь указана в граммах. Увеличительное стекло (лупа) работает только в случае, если ни одна из линеек не перекрывает область ни одного из плоских тел. Задание разрешено переделывать.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса тела пропорциональна его площади при одинаковой толщине и плотности: взвешивание даёт отношение площадей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(D_1 = 4{,}3 \pm 0{,}01\) см; 2) \(D_2 = 11{,}5 \pm 0{,}01\) см; 3) \(s = 0{,}628 \pm 0{,}04\) см\(^2\); 4) \(m = 1{,}888 \pm 0{,}04\) г; 5) \(s_3 = 4{,}392 \pm 0{,}04\) см\(^2\).
Линейная и нелинейная пружина
Имеется: неподписанная синяя гиря неизвестной массы; чёрная невесомая обычная пружина, у которой возвращающая сила при отклонении \(x\) от недеформированного состояния пружины \(F_1 = -k_1 x\); синяя нелинейная пружина, у которой возвращающая сила при отклонении \(x\) от недеформированного состояния пружины \(F_2 = -k_1 x - k_2 x^2\); штатив, в лапку которого (зажим) можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири различной массы, масса гирь указана в граммах. Определите:
Коэффициент упругости пружины \(k_1\).
Коэффициент нелинейности пружины \(k_2\).
Величину \(X_1\) упругой деформации чёрной пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё синей гири.
Массу \(M\) синей гири.
Энергию \(E\) (в миллиджоулях) упругой деформации чёрной пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё синей гири.
Работу \(A\) (в миллиджоулях), которую совершит сила тяжести, если из этого состояния равновесия снять синюю гирю с крючка, поставить на стол, сменить чёрную пружину на синюю и повесить синюю гирю на синюю пружину в состояние равновесия получившейся системы.
\(k_1\) и \(X_1\) определите с точностью до сотых, остальные величины — с точностью до десятых. Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ равновесии сила упругости чёрной пружины уравновешивает вес гири. Для синей пружины сила зависит и от \(x\), и от \(x^2\): сравните отклонения при разных грузах, чтобы разделить \(k_1\) и \(k_2\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 18{,}5 \pm 0{,}05\) Н/м; 2) \(k_2 = 69 \pm 0{,}4\) Н/м\(^2\); 3) \(X_1 = 19{,}864 \pm 0{,}08\) см; 4) \(M = 375 \pm 1{,}5\) г; 5) \(E = 365 \pm 2{,}5\) мДж; 6) \(A = -241{,}75 \pm 2{,}5\) мДж.
Диаметры и площади плоских тел
Имеются тела разной формы одинаковой небольшой толщины и плотности материала. Будем считать их плоскими. В этих телах имеются круговые отверстия. В теле №1 имеется три одинаковых отверстия, в других телах размеры отверстий могут отличаться. Определите:
Диаметр \(D_1\) первого тела.
Диаметр \(D_2\) второго тела.
Площадь \(s\) одного отверстия в теле №1.
Массу \(m\), которая была удалена из тела при создании этого отверстия.
Диаметр \(d_3\) большого отверстия в теле №3.
Масса подписанных гирь указана в граммах. Число \(\pi = 3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТела одинаковой толщины и плотности имеют массы, пропорциональные площадям. Взвесив тело до и после выреза, найдите площадь отверстия по массе удалённого материала.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(D_1 = 4{,}1 \pm 0{,}01\) см; 2) \(D_2 = 11{,}2 \pm 0{,}01\) см; 3) \(s = 0{,}672 \pm 0{,}04\) см\(^2\); 4) \(m = 2{,}016 \pm 0{,}04\) г; 5) \(d_3 = 2{,}045 \pm 0{,}01\) см.
Диаметры и площади плоских тел
Имеются тела разной формы одинаковой небольшой толщины и плотности материала. Будем считать их плоскими. В этих телах имеются круговые отверстия. В теле №1 имеется три одинаковых отверстия, в других телах размеры отверстий могут отличаться. Определите:
Диаметр \(D_1\) первого тела.
Диаметр \(D_2\) второго тела.
Площадь \(s\) одного отверстия в теле №1.
Массу \(m\), которая была удалена из тела при создании этого отверстия.
Диаметр \(d_3\) большого отверстия в теле №3.
Масса подписанных гирь указана в граммах. Число \(\pi = 3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТела одинаковой толщины и плотности имеют массы, пропорциональные площадям. Взвесив тело до и после выреза, найдите площадь отверстия по массе удалённого материала.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(D_1 = 4{,}1 \pm 0{,}01\) см; 2) \(D_2 = 11{,}2 \pm 0{,}01\) см; 3) \(s = 0{,}672 \pm 0{,}04\) см\(^2\); 4) \(m = 2{,}016 \pm 0{,}04\) г; 5) \(d_3 = 2{,}045 \pm 0{,}01\) см.
Трактор с прицепом
Мощность двигателя трактора \(N = 403\) кВт. Максимальная скорость, с которой трактор может тянуть прицеп \(V = 8\) м/с, при этом сила натяжения сцепки \(F = 29\) кН. Сила сопротивления движению пропорциональна скорости. Коэффициенты сопротивления для трактора и для прицепа разные. Определите:
максимальную скорость \(V_1\), с которой трактор сможет тащить два таких прицепа;
силу \(F_1\) натяжения сцепки между прицепами в этом случае;
максимальную скорость \(V_{max}\), с которой может двигаться трактор без груза;
силу \(F_c\) сопротивления движению в этом случае.
График с неподписанной осью
В момент начала отсчёта времени материальная точка начинает движение вдоль оси \(Ox\) из начала координат \(x = 0\) с некоторой начальной скоростью, причём через каждые \(\Delta t = 3\) с считая от начала движения проекция её скорости на ось \(Ox\) изменяется на величину \(\Delta V\). На рисунке показан весь график зависимости координаты точки от проекции её скорости. Масштаб графика линейный, но подписи по оси скоростей отсутствуют. Значение \(X_0 = 2{,}2\) м. Определите:
максимальное значение \(V_{\max}\) скорости точки;
максимальное расстояние \(X_{\max}\), на которое точка удалялась от начала координат;
проекцию \(S_x\) на ось \(Ox\) суммарного перемещения точки за последние два интервала \(\Delta t\);
путь \(L\), который прошла точка за всё время движения;
среднюю путевую скорость \(V_{ср}\) (отношение пути к времени движения) точки за всё время движения.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыпишите координату точки после каждого интервала \(\Delta t\): она меняется на \(X_0\) при каждом изменении скорости на \(\Delta V\). Где на графике скорость равна нулю?
Светлячки на линейке
В момент начала отсчёта времени с противоположных концов линейки длиной \(L = 40\) см навстречу друг другу со скоростями \(V_1 = 9{,}7\) мм/с и \(V_2 = 6{,}9\) мм/с начинают ползти два светлячка — с левой стороны первый, а с правой — второй. Каждый раз, доползая до конца линейки, они разворачиваются и продолжают движение с прежней скоростью в противоположном направлении. Определите:
сколько раз \(N_1\) за время \(t = 1291\) с после начала движения достигнет правой стороны линейки первый светлячок;
на каком расстоянии \(X_1\) от левого края линейки он будет находиться в этот момент;
сколько раз \(N_2\) за время \(t\) достигнет правой стороны линейки второй светлячок.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите период движения каждого светлячка, то есть время, за которое он вернётся в исходную точку. Сколько полных периодов уложится в \(t\)?
График с неподписанной осью
В момент начала отсчёта времени материальная точка начинает движение вдоль оси \(Ox\) из начала координат \(x = 0\) с некоторой начальной скоростью, причём через каждые \(\Delta t = 6\) с считая от начала движения проекция её скорости на ось \(Ox\) изменяется на величину \(\Delta V\). На рисунке показан весь график зависимости координаты точки от проекции её скорости. Масштаб графика линейный, но подписи по оси скоростей отсутствуют. Значение \(X_0 = 2{,}1\) м. Определите:
максимальное значение \(V_{\max}\) скорости точки;
максимальное расстояние \(X_{\max}\), на которое точка удалялась от начала координат;
проекцию \(S_x\) на ось \(Ox\) суммарного перемещения точки за последние два интервала \(\Delta t\);
путь \(L\), который прошла точка за всё время движения;
среднюю путевую скорость \(V_{ср}\) (отношение пути к времени движения) точки за всё время движения.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыпишите координату точки после каждого интервала \(\Delta t\): она меняется на \(X_0\) при каждом изменении скорости на \(\Delta V\). Где на графике скорость равна нулю?
Трактор с прицепом
Мощность двигателя трактора \(N = 447\) кВт. Максимальная скорость, с которой трактор может тянуть прицеп \(V = 7{,}5\) м/с, при этом сила натяжения сцепки \(F = 29\) кН. Сила сопротивления движению пропорциональна скорости. Коэффициенты сопротивления для трактора и для прицепа разные. Определите:
максимальную скорость \(V_1\), с которой трактор сможет тащить два таких прицепа;
силу \(F_1\) натяжения сцепки между прицепами в этом случае;
максимальную скорость \(V_{\max}\), с которой может двигаться трактор без груза;
силу \(F_c\) сопротивления движению в этом случае.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМощность равна произведению силы тяги на скорость, а сила сопротивления пропорциональна скорости. Запишите два условия для трактора с одним прицепом и выразите коэффициент сопротивления каждого звена.
Весёлая карусель
На карусели в виде диска установлены фигурки животных, на которые садятся катающиеся дети. По внутреннему кругу радиусом \(R_1 = 2\) м стоят верблюды, по среднему, радиусом \(R_2 = 3{,}3\) м — олени, по внешнему, радиусом \(R_3 = 4{,}3\) м — лошадки. Карусель вращается со средней угловой скоростью \(\omega = 0{,}17\) рад/с. Время катания на карусели составляет \(T = 4{,}4\) мин. Определите:
какой путь (\(S\)) пробегает олень за один цикл вращения карусели;
во сколько раз (\(N\)) линейная скорость движения лошадки больше линейной скорости движения верблюда;
на сколько минут (\(\Delta T\)) необходимо увеличить цикл вращения карусели, чтобы пути, пройденные оленем и верблюдом, отличались на \(120\) м;
на какую величину (\(\Delta\omega\)) надо увеличить угловую скорость вращения внешнего диска, чтобы линейная скорость движения лошадок была в \(3{,}8\) раза больше, чем у оленей (внутренний и внешний диски могут вращаться с разными угловыми скоростями);
в течение какого минимального интервала времени (\(T_1\)) в этом случае должна вращаться карусель, чтобы лошадка и верблюд, стоявшие на одном радиусе при старте, опять оказались на одном радиусе друг с другом.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S = 148{,}09 \pm 1{,}63\) м; 2) \(N = 2{,}15 \pm 0{,}024\); 3) \(\Delta T = 4{,}649 \pm 0{,}051\) мин; 4) \(\Delta\omega = 0{,}3257 \pm 0{,}0036\) рад/с; 5) \(T_1 = 19{,}29 \pm 0{,}21\) с.
Движение брусков
Два бруска стоят на ровной горизонтальной поверхности стола, коэффициент трения между брусками и поверхностью \(\mu = 0{,}16\). Масса первого бруска \(m_1 = 5{,}4\) кг, а второго — \(m_2 = 2\) кг. Бруски соединяет невесомая, нерастяжимая нить, перекинутая через невесомые блоки. Нижний конец нити прикреплён к первому бруску невесомой пружиной жёсткостью \(k = 106\) Н/м. Верхний конец нити выбирают с силой \(F_1\), из-за этого второй брусок равномерно скользит по столу. Определите:
силу натяжения нити (\(F_1\));
каким будет ускорение точки B (\(a_B\)), если сила натяжения нити увеличится и точка A будет двигаться с ускорением \(a_A = 1{,}5\) м/с\(^2\);
величину деформации пружины (\(X\)) в этом случае.
минимальную массу пластины (\(m_0\)), которую надо положить сверху на второй брусок, чтобы он стоял неподвижно, а первый брусок двигался с ускорением \(a_B\), если сила натяжения нити будет иметь необходимое для этого значение.
Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_1 = 1{,}567 \pm 0{,}019\) Н; 2) \(a_B = 0{,}75 \pm 0{,}009\) м/с\(^2\); 3) \(X = 2{,}186 \pm 0{,}026\) см; 5) \(m_0 = 3{,}32 \pm 0{,}04\) кг.
Пиратские хитрости
Однажды пираты решили заказать себе на верфи новый фрегат, но решили схитрить. Они передали литейщику 10 слитков чистого золота в форме кубов со стороной \(a=4{,}8\) см, чтобы он изготовил такие же по размеру поддельные слитки, поместив внутрь кубики из свинца. Но и литейщик оказался нечестен и украл часть золота. Владелец верфи, получив 24 поддельных слитка, измерил их плотность, которая оказалась равна \(14{,}3\) г/см\(^3\), и выявил обман. Определите:
Объём \(V\) кубика из свинца внутри сделанного поддельного слитка.
Разницу \(\Delta m\) в массе настоящего и поддельного слитков.
Массу \(m\) золота, украденного литейщиком.
Какой была бы плотность \(\rho_2\) поддельного слитка, если бы литейщик честно выполнил заказ.
Есть сведения, что галера-фрегат «Приключение» знаменитого капитана Кидда была куплена за 6800 фунтов стерлингов. Тройская унция (\(31{,}1\) г) золота в конце 17 века стоила \(4{,}2\) фунта стерлингов. Какую массу \(M\) золота надо было отдать за корабль капитана Кидда?
Плотность золота \(\rho_{Au}=19{,}3\) г/см\(^3\), плотность свинца \(\rho_{Pb}=11{,}3\) г/см\(^3\). Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните среднюю плотность поддельного слитка с плотностями золота и свинца: по объёму, который занимает свинец, и известному объёму слитка находится и недостача золота, и масса, которую надо было бы отдать за корабль.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 69{,}09 \pm 0{,}83\) см\(^3\); 2) \(\Delta m = 552{,}7 \pm 6{,}6\) г; 3) \(m = 2134 \pm 26\) г; 4) \(\rho_2 = 14{,}63 \pm 0{,}18\) г/см\(^3\); 5) \(M = 50{,}33 \pm 0{,}60\) кг.
Маяк на мысе
Катер и теплоход движутся по прямым маршрутам с постоянными скоростями в открытом море. В \(t_1 = 6\) ч катер находился на расстоянии \(S = 149\) морских миль к северу от маяка и двигаясь на юго-восток, в \(t_3 = 12\) ч он оказался на расстоянии \(S\) к востоку от маяка. В пути в \(t_2 = 10\) ч он встретил в море теплоход, двигавшийся на юго-запад со скоростью в \(1{,}3\) раза большей. Определите:
Скорость катера \(V_K\).
На каком минимальном расстоянии \(L_K\) от маяка прошёл катер.
На каком минимальном расстоянии \(L_T\) от маяка прошёл теплоход.
Спустя какое время \(t\) после встречи с катером это произойдёт.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКакая линия на схеме перпендикулярна траектории катера и проходит через маяк? За какое время катер проходит участок от \(t_1\) до \(t_3\) и каков его путь на этом участке?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_K = 65{,}0\) км/ч; 2) \(L_K = 195\) км; 3) \(L_T = 65{,}0\) км; 4) \(t = 138\) мин.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. Изобразим схему движения судов. Маяк обозначен буквой \(M\). Траектория катера показана синей линией, траектория теплохода — сиреневой. За время \(t_3 - t_1\) катер прошёл расстояние \(1{,}4142\,S\), поэтому скорость катера \[V_K = \frac{1{,}4142\,S}{t_3 - t_1} = 65{,}0~\text{км/ч}.\]
2. Проведём перпендикуляр к траектории катера от маяка (\(AM\)). Длина этого отрезка и есть минимальное расстояние между катером и маяком \(L_K\). Этот отрезок является катетом в равнобедренном прямоугольном треугольнике с основанием \(S\): \[L_K = \frac{S}{1{,}4142} = 195~\text{км}.\]
3. Теплоход двигался на юго-запад, поэтому его траектория перпендикулярна траектории катера. Встреча судов произошла в точке \(T\). По построению видно, что минимальное расстояние между теплоходом и маяком \(L_T = |MX| = |AT|\). Участок пути \(AT\) катер прошёл за время \[\Delta t = t_2 - \frac{t_3 - t_1}{2} = 1~\text{ч}, \qquad L_T = V_K\,\Delta t = 65{,}0~\text{км}.\]
4. Длины отрезков \(TX\) и \(AM\) равны. Теплоход пройдёт это расстояние за время \[t = \frac{L_K}{1{,}3\,V_K} = 138~\text{мин}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Системы блоков
К каждой системе блоков приложена сила \(F = 19\) Н, подвешенные грузы неподвижны. Определите силы натяжения \(T_1\) и \(T_2\) участков нитей, выделенных зелёным цветом, и массы грузов \(m_1\), \(m_2\). Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСколько нитей тянут каждый подвижный блок вверх? Сила, действующая на ось подвижного блока, вдвое больше натяжения нити, которая его удерживает.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(T_1 = 19\) Н; 2) \(T_2 = 38\) Н; 3) \(m_1 = 7{,}76\) кг; 4) \(m_2 = 15{,}5\) кг.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. В равновесии сила, действующая на ось подвижного блока, равна удвоенной силе натяжения нити, удерживающий блок. Покажем на рисунке силы натяжения нитей.
Вычислим силы натяжения отмеченных участков нити: \[T_1 = F = 19~\text{Н}, \qquad T_2 = 2F = 38~\text{Н}.\] Массы грузов, прикреплённых к блокам: \[m_1 = \frac{4F}{g} = 7{,}76~\text{кг}, \qquad m_2 = \frac{8F}{g} = 15{,}5~\text{кг}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Скреплённые блоки
К системе блоков приложена сила \(F = 14\) Н, подвешенный груз неподвижен. Определите:
Силу натяжения \(F_1\) участка нити, выделенного зелёным цветом.
Массу груза \(m\).
Плотность груза \(\rho\), если при полном погружении его в воду для сохранения равновесия необходимо уменьшить силу натяжения нити в \(N = 1{,}1\) раза.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНить в этой системе одна, поэтому её натяжение везде одинаково. Сколько раз эта нить тянет систему, на которой висит груз? При погружении в воду к силе натяжения добавьте силу Архимеда.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_1 = 14\) Н; 2) \(m = 8{,}57\) кг; 3) \(\rho = 11\) г/см\(^3\).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. В данной системе используется только одна нить. Сила натяжения её по всей длине одинакова и равна \(F\): \(F_1 = F = 14\) Н.
2. На ось каждого блока действует сила \(2F\). Груз прикреплён к трём жёстко соединённым блокам, поэтому его удерживает сила \(6F\). Масса груза \[m = \frac{6F}{g} = 8{,}57~\text{кг}. \qquad (1)\]
3. Если полностью опустить груз в воду, на него будет действовать ещё и сила Архимеда, направленная вверх, поэтому сила натяжения нити уменьшится: \[mg = \frac{6F}{N} + \rho_{\text{в}}\, g\,\frac{m}{\rho}. \qquad (2)\] Плотность груза определяем из (1) и (2): \[\rho = \frac{\rho_{\text{в}}\, g\, m}{mg - \dfrac{6F}{N}} = \frac{\rho_{\text{в}}\, N}{N - 1} = 11~\text{г/см}^3.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Время движения, вес и кинетическая энергия тележки
Установите тележку около левого конца наклонного рельса, при этом она закрепляется электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит. В режиме работы увеличительного стекла кнопки включения/выключения электромагнитов видны в верхней части экрана с соответствующей стороны экрана. Индикатор показывает ускорение тележки при прохождении оптических ворот. Пружина имеет жёсткость \(k=14{,}2\) Н/м.
Определите время, за которое тележка проходит промежуток от точки, где она имеет скорость \(v_1=0{,}546\) м/с, до точки, где она имеет скорость \(v_2=0{,}395\) м/с, после выталкивания её пружиной при движении вверх по рельсу, вес тележки, а также максимальную кинетическую энергию \(E_{\max}\) тележки (в миллиджоулях) при её движении вверх по рельсу после выталкивания пружиной.
Время и вес определите с точностью до тысячных, энергию — с точностью до десятых, и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр.
Оптические датчики срабатывают при пересечении тележкой их светового луча — в момент прохождения координаты ворот маркером-стрелочкой. Положение ворот с оптическими датчиками можно изменять при помощи мыши, оно отмечается красным маркером. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе нужный участок экрана. Щелчок мышью в любом месте экрана (кроме линейки) возвращает первоначальный масштаб. Линейку можно перемещать, в том числе при использовании увеличительного стекла.
Задания можно переделывать, но за каждую повторную отсылку результатов на сервер назначается по одному штрафному баллу.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВдоль наклонного рельса ускорение тележки постоянно: по двум скоростям и ускорению найдите время между точками. Максимальная кинетическая энергия соответствует моменту, когда пружина перестаёт толкать тележку.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветВремя \(0{,}18375\pm0{,}0025\) с; вес \(0{,}4459\pm0{,}007\) Н; \(E_{\max}=10{,}395\pm0{,}35\) мДж.
При какой начальной скорости точка пройдёт минимальный путь за вторую секунду движения?
Материальная точка начинает движение вдоль оси \(OX\) равнозамедленно с некоторой начальной скоростью и ускорением, равным по модулю \(2{,}3\) м/с\(^2\). Во время движения ускорение не меняется. Определите:
при какой начальной скорости (с точностью до сотых) точка пройдет минимальный путь за вторую секунду движения;
чему равен (с точностью до сотых) этот путь;
чему равно (с точностью до сотых) в этом случае перемещение за первые две секунды движения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_0=3{,}45\pm0{,}05\) м/с; 2) \(s_\text{min}=0{,}5753\pm0{,}011\) м; 3) \(\Delta x=2{,}3001\pm0{,}011\) м.
Масса гири и тележки на наклонном рельсе
Тележку можно установить в верхней части наклонного рельса, при этом она автоматически закрепится электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит.
Определите массу большой гири (зелёной), а также массу тележки и её среднюю скорость на первой трети пути движения тележки от верхней до нижней точки рельса после отпускания электромагнита.
Массы определите с точностью до десятых грамма, а скорость — с точностью до тысячной м/с, и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Оптические датчики срабатывают при пересечении тележкой их светового луча — в момент прохождения координаты ворот маркером-стрелочкой. Положение ворот с оптическими датчиками можно изменять при помощи мыши, оно отмечается красным маркером. Массы гирь указаны в граммах. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите второй закон Ньютона для тележки на наклонном рельсе и связь пройденного пути со временем движения между датчиками.
Теплоход и катер
От пристани к туристической базе вниз по реке отправляется теплоход, собственная скорость которого \(V_1=10\) км/ч. Одновременно двое туристов на катере начинают движение от той же пристани вверх по реке, через \(T_1=1{,}1\) ч они приплывают в деревню и тратят \(T_2=0{,}8\) ч на стоянку. После чего плывут на катере вниз по реке и тратят \(T_3=7{,}4\) ч на дорогу до базы. Причём прибывают на базу раньше теплохода на \(T_4=0{,}7\) ч. Скорость течения реки \(U=1\) км/ч. Определите:
собственную скорость катера \(V_2\);
расстояние \(S\) между туристической базой и деревней;
среднюю путевую скорость катера \(V_3\) за время от начала движения от пристани до прибытия на базу.
Ответы вводите с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость относительно воды и скорость относительно берега отличаются на скорость течения. Составьте уравнения для времени движения теплохода и катера до базы.
Масса гири и тележки и путь тележки
Тележку можно установить в верхней части наклонного рельса, при этом она автоматически закрепится электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит.
Определите массу большой гири (зелёной), а также массу тележки и её путь при движении от верхней до нижней точки рельса после отпускания электромагнита.
Массы и путь определите с точностью до десятых и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Массы гирь указаны в граммах. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗапишите второй закон Ньютона для тележки на наклонном рельсе и связь пройденного пути со временем движения между датчиками.
Искусственный спутник Земли
Период обращения искусственного спутника вокруг Земли составляет \(90{,}6\) мин.
Чему равно его расчётное удаление от поверхности Земли \(h_1\), если пренебречь изменением силы тяжести и силой трения о воздух на этой высоте?
Чему равно удаление от поверхности Земли \(h_2\), если учесть уменьшение силы тяжести с высотой?
Радиус Земли считать равным \(6400\) км, ускорение свободного падения на поверхности Земли считать равным \(9{,}8\) м/с\(^2\), значение \(\pi\) считать равным \(3{,}1416\). Вычисления проводить с точностью не менее 4 значащих цифр. Ответы вводить с точностью до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля круговой орбиты сила тяготения даёт центростремительное ускорение. Во втором пункте учтите, что \(g\) на высоте \(h\) меньше, чем на поверхности.
Средняя скорость, вес и кинетическая энергия тележки
Установите тележку около левого конца наклонного рельса, при этом она закрепляется электромагнитом. Щелчок мыши по красной кнопке, расположенной около края рельса, включает или выключает электромагнит. Индикатор показывает время тележки от момента выталкивания пружиной до прохождения оптических ворот. Пружина имеет жёсткость \(k=29{,}8\) Н/м.
Определите среднюю скорость тележки от момента её выталкивания пружиной до верхней точки движения, вес тележки, а также максимальную кинетическую энергию \(E_{\max}\) тележки (в миллиджоулях) при её движении вверх по рельсу после выталкивания пружиной.
Скорость и вес определите с точностью до тысячных, энергию — с точностью до десятых. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Оптические датчики срабатывают при пересечении тележкой их светового луча — в момент прохождения координаты ворот маркером-стрелочкой. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЭнергия сжатой пружины переходит в кинетическую и потенциальную энергию тележки; среднюю скорость найдите как отношение пути к времени.
Искусственный спутник Земли
Период обращения искусственного спутника вокруг Земли составляет \(90{,}6\) минут.
Чему равно его расчётное удаление от поверхности Земли \(h_1\), если пренебречь изменением силы тяжести и силой трения о воздух на этой высоте?
Чему равно удаление от поверхности Земли \(h_2\), если учесть уменьшение силы тяжести с высотой?
Радиус Земли считать равным \(6400\) км, ускорение свободного падения на поверхности Земли считать равным \(9{,}8\) м/с\(^2\), значение \(\pi\) считать равным \(3{,}1416\). Вычисления проводить с точностью не менее 4 значащих цифр. Ответы вводить с точностью до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНа круговой орбите сила тяготения создаёт центростремительное ускорение; во втором пункте ускорение свободного падения на высоте \(h\) меньше, чем у поверхности.
Система блоков
Из \(N\) подвижных (нижние) и \(N\) неподвижных блоков (верхние) собран механизм, показанный на рисунке, \(N=17\). Блоки и скрепляющие их стержни можно считать невесомыми, а стержни — жёстко скреплёнными. Определите:
максимальную массу груза \(m\), который можно поднять, если тянуть за верёвку с силой \(F=580\) Н;
на какую высоту \(h\) поднимется груз, если выбрать верёвку на длину \(L=14\) м.
Ответы вводите с точностью до десятых. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля идеального блочного механизма работа силы тяги равна работе силы тяжести груза. Сосчитайте, сколько участков верёвки тянут груз.
Равнодействующая сил, действующих на подводную лодку
Подводное водоизмещение подводной лодки составляет \(850\) т. Первоначально лодка находится в равновесии на некотором расстоянии от дна и неподвижна. После продувки балластной цистерны объёмом \(40\) м\(^3\) лодка начинает всплывать. Силой трения можно пренебречь. Найдите:
равнодействующую сил, действующих в этот момент на лодку (в килоньютонах);
массу лодки в тоннах после продувки цистерны;
величину силы Архимеда, действующей на лодку (в килоньютонах).
\(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Плотность воды \(1\) г/см\(^3\). Ответы приведите с точностью до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПродувка цистерны выталкивает воду, которая была в ней, и уменьшает массу лодки на массу этой воды. Равнодействующая сил — разность силы Архимеда и силы тяжести в этот момент.
Теплоход и катер
От пристани к туристической базе вниз по реке отправляется теплоход, собственная скорость которого \(V_1=10\) км/ч. Одновременно двое туристов на катере начинают движение от той же пристани вверх по реке, через \(T_1=1{,}1\) ч они приплывают в деревню и тратят \(T_2=0{,}8\) ч на стоянку. После чего плывут на катере вниз по реке и тратят \(T_3=7{,}4\) ч на дорогу до базы. Причём прибывают на базу раньше теплохода на \(T_4=0{,}7\) ч. Скорость течения реки \(U=1\) км/ч. Определите:
собственную скорость катера \(V_2\);
расстояние \(S\) между туристической базой и деревней;
среднюю путевую скорость катера \(V_3\) за время от начала движения от пристани до прибытия на базу.
Ответы вводите с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость относительно берега вверх по течению равна собственной скорости минус скорость течения, вниз — плюс. Теплоход и катер до базы проходят один и тот же путь, известно время теплохода.
Пловцы и течение
Два пловца находятся напротив друг друга на разных берегах реки. Они начинают плыть друг навстречу другу, всё время сохраняя направление друг на друга. Первый пловец делает гребки быстро, а второй — медленно, но за один гребок каждый из пловцов проплывает одинаковое расстояние.
Скорость первого пловца относительно воды \(1{,}1\) м/с, скорость второго \(0{,}5\) м/с. Ширина реки \(180\) м, скорость течения реки \(1{,}1\) м/с.
На какое расстояние относительно берега течение снесёт пловцов к моменту их встречи?
Во сколько раз \(K\) первый пловец сделает больше гребков, чем второй, до момента их встречи?
Ответы вводить с точностью до десятых. Вычисления проводить с точностью не менее 4 значащих цифр.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВремя до встречи одно и то же для обоих пловцов и определяется их поперечными скоростями. Число гребков пропорционально скорости относительно воды, потому что длина гребка одинакова.
Скорость системы из двух катеров
Имеется два одинаковых катера с разными двигателями. Сила тяги каждого двигателя в процессе движения постоянна и не зависит от сопротивления среды и наличия или отсутствия у катера прицепа. Максимальная скорость первого катера равна \(7{,}2\) м/с, второго — \(4{,}2\) м/с. Когда первый катер буксирует второй и двигатель второго выключен, сила натяжения буксировочного троса составляет \(8{,}2\) кН.
Считая, что сила сопротивления воды прямо пропорциональна скорости, найдите:
скорость системы, когда первый катер буксирует второй и двигатель второго выключен;
скорость системы, когда первый катер буксирует второй и работают оба двигателя;
силу натяжения троса, когда первый катер буксирует второй и работают оба двигателя.
Ответы привести с точностью до сотых. Трос считать невесомым и достаточно длинным (так что движение воды за первым катером не затрагивает второй катер).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри установившемся движении сила тяги уравновешена силой сопротивления \(kv\); найдите \(k\) и тягу каждого двигателя по максимальным скоростям.
Минимальный путь за вторую секунду
Материальная точка начинает движение вдоль оси \(OX\) равнозамедленно с некоторой начальной скоростью и ускорением, равным по модулю \(6{,}6\) м/с\(^2\). Во время движения ускорение не меняется. При какой начальной скорости (с точностью до сотых) точка пройдёт минимальный путь за вторую секунду движения? Чему равен (с точностью до сотых) этот путь? Чему равно (с точностью до сотых) в этом случае перемещение за первые две секунды движения?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРассмотрите случай, когда точка останавливается внутри второй секунды и затем возвращается; сравните путь за вторую секунду с перемещением за неё.
Отношение масс шаров
Два шарика массами \(m_1\) и \(m_2\), соединённые верёвкой и сжатой пружиной, поступательно скользят по гладкому горизонтальному столу со скоростью \(v=9{,}6\) м/с относительно стола. Верёвку пережигают, пружина разжимается, и в тот момент, когда пружина не деформирована, шар массой \(m_1\) останавливается, а шар массой \(m_2\) движется со скоростью \(u=13{,}9\) м/с. Найдите:
отношение \(m_2/m_1\);
абсолютное значение (модуль) отношения величины изменения скорости второго шара к величине изменения скорости первого: \(|\Delta V_2/\Delta V_1|\).
Первый ответ вводите с точностью до сотых, второй — с точностью до тысячных.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИмпульс системы в момент разрыва равен \((m_1+m_2)v\) и сохраняется; запишите его в проекции на направление движения.
Две тележки на наклонном рельсе
Тележки можно установить в нижней или верхней части наклонного рельса, при этом они автоматически закрепятся электромагнитами.
Масса первой тележки равна \(100\) г. Определите:
массу второй тележки;
угол наклона рельса;
кинетическую энергию \(E_1\) первой тележки непосредственно перед столкновением тележек друг с другом, если первую тележку установить на левом конце рельса, вторую — на правом, и отключить электромагниты.
Максимальное расстояние между камнями
Два камня одновременно брошены из одной и той же точки с одинаковыми по величине начальными скоростями, равными \(54\) м/с. Один камень брошен вертикально вверх, другой — под углом к горизонту. Найдите:
максимальное расстояние \(r\) между камнями в ходе полёта;
в какой момент времени \(t\) после броска это расстояние будет достигнуто;
на какой высоте \(h\) в этот момент будет находиться камень, брошенный вертикально.
Расстояние и высоту приведите с точностью не хуже, чем до десятых, время — не хуже, чем до сотых.
Скорость мотоциклиста
Колонна машин движется по ровной дороге со скоростью \(9\) м/с, растянувшись на расстояние \(2{,}6\) км. Из головы колонны выехал мотоциклист со скоростью \(14\) м/с и поехал к хвосту колонны, доехал до него, а затем возвратился обратно к голове колонны. Найдите:
какое время \(t\) потратил мотоциклист на эту поездку;
во сколько раз \(K\) больше израсходовалось бензина в мотоцикле при движении к голове колонны по сравнению с движением к концу колонны;
чему равна средняя путевая скорость \(V\) мотоциклиста относительно колонны.
Движение брусков
Брусок №1 длиной \(L_1=79\) см расположен на лабораторном столе вдоль направления слева направо. Брусок №2 длиной \(L_2=34\) см поставлен на брусок №1 сверху вдоль него так, что левая часть бруска №2 в \(16\) % от его длины свисает в воздух. Бруску №2 сообщают скорость \(V_2=3{,}4\) см/с относительно стола либо налево, либо направо.
Какое время \(t_1\) потребуется бруску №2 при движении налево, чтобы начать падать вниз?
Какое время \(t_2\) потребуется бруску №2 при движении направо, чтобы начать падать вниз?
Какое время \(t_3\) потребуется бруску №2 при движении направо, чтобы начать падать вниз, если одновременно с ним брусок №1 начнёт движение направо со скоростью \(V_1=5{,}7\) см/с относительно стола?
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и брусок. Брусок можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки. Колесо лебёдки крутится с постоянной угловой скоростью. У бруска имеется трение о рельс. Масса гирь указана в граммах.
Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\) %:
величину ускорения \(a_0\), с каким бы двигался брусок, если бы его, не присоединяя к лебёдке, поставить в середине рельса и отпустить, если бы не было трения;
величину ускорения \(a_1\), с каким будет двигаться брусок, если его поставить в середине рельса и отпустить в реальной ситуации — когда присутствует трение;
КПД системы при подъёме бруска по рельсу (потери энергии в лебёдке не учитывать).
Как опрокинуть кубик
Однородный куб массой \(m=12\) кг поставили на горизонтальную плоскость. Коэффициент трения между их поверхностями \(\mu_1=0{,}55\). Определите:
какую минимальную силу \(F_1\) нужно приложить в точке \(A\) к середине горизонтального ребра (см. рис.), чтобы куб начал поворачиваться вокруг ребра \(O\) без проскальзывания;
какой угол \(\alpha_1\) будет составлять эта сила с горизонтом;
куб переставили на другую горизонтальную плоскость. Теперь коэффициент трения между соприкасающимися поверхностями \(\mu_2=0{,}29\). Какую минимальную силу \(F_2\) нужно теперь приложить к точке \(A\), чтобы куб начал поворачиваться вокруг ребра \(O\) без проскальзывания;
какой угол \(\alpha_2\) будет составлять эта сила с горизонтом.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_1 = 58{,}8 \pm 0{,}1\) Н; 2) \(\alpha_1 = 0 \pm 0{,}011\) рад; 3) \(F_2 = 103{,}486 \pm 0{,}02\) Н; 4) \(\alpha_2 = -0{,}9669 \pm 0{,}011\) рад.
Мячик
Мячик брошен со скоростью \(V_0=16{,}7\) м/с под углом \(\alpha=55^\circ\) к горизонту. Определите:
минимальную скорость мячика во время движения \(V_1\);
перемещение мячика за первые \(t=1{,}11\) с полёта \(S\);
угол \(\beta\) между вектором скорости мячика и его ускорением через \(t=1{,}11\) с полёта;
с какой минимальной скоростью \(V_4\) нужно бросить с поверхности земли мячик, чтобы он перелетел через тонкую вертикальную стенку высотой \(H=2{,}6\) м, находящуюся на расстоянии \(L=3{,}4\) м от точки старта (см. рис.).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 9{,}581 \pm 0{,}11\) м/с; 2) \(S = 14{,}025 \pm 0{,}11\) м; 3) \(\beta = 106{,}304 \pm 0{,}11\) градусов; 4) \(V_4 = 8{,}206 \pm 0{,}11\) м/с.
Бруски и пружинки
На рисунке показаны два бруска, которые могут скользить по горизонтальным направляющим. Левый имеет массу \(M_1=6\) кг, а правый — массу \(M_2=8\) кг. Коэффициент трения равен \(\mu=0{,}22\). Бруски соединены пружинами жёсткостью \(K_1=300\) Н/м и \(K_2=140\) Н/м. Длина пружин в недеформированном состоянии одинакова. К левому бруску приложили горизонтальную силу \(F_1=28\) Н, направленную налево, а к правому — силу \(F_2=138\) Н, направленную направо (см. рис.). Определите:
величину деформации пружин \(X\);
силу натяжения более жёсткой пружины \(F\);
ускорение брусков \(A\);
силу трения левого бруска о направляющие \(F_{\text{тр}}\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 17{,}083 \pm 0{,}11\) см; 2) \(F = 51{,}238 \pm 0{,}11\) Н; 3) \(A = 5{,}698 \pm 0{,}11\) м/с\(^2\); 4) \(F_{\text{тр}} = 12{,}936 \pm 0{,}11\) Н.
Два упругих шарика
На нитях длиной \(L=1{,}5\) м подвешены два абсолютно упругих шарика; масса первого \(m_1=1{,}4\) кг, масса второго \(m_2=0{,}5\) кг. В положении равновесия шарики соприкасаются. В начальный момент времени первый шарик отводят на угол \(\alpha=0{,}4\) рад, а второй — на угол \(\beta=0{,}82\) рад и отпускают (см. рисунок). Определите:
скорость первого шарика после первого удара \(V_1\);
скорость второго шарика после второго удара \(V_2\);
угол, на который первый шарик отклонится после первого удара, \(\alpha_1\);
через какой минимальный интервал времени \(T\) после начала движения первый шарик вновь окажется в точке старта.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 90{,}12 \pm 0{,}2\) см/с; 2) \(V_2 = 305{,}7 \pm 1\) см/с; 3) \(\alpha_1 = 0{,}23562 \pm 0{,}0011\) рад; 4) \(T = 2{,}4585 \pm 0{,}011\) с.
Шарик на нитке
Шарик массой \(M=1{,}7\) кг прикреплён к нити длиной \(L=1{,}17\) м. Нить может выдержать натяжение не больше \(F=30\) Н. Определите:
максимальное ускорение, с которым можно поднимать шарик за нить, \(A\);
максимальную угловую скорость, с которой шарик может описывать окружность в горизонтальной плоскости, \(W\);
радиус этой окружности \(R\);
период малых колебаний шарика в вертикальной плоскости \(T\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри подъёме за нить натяжение больше силы тяжести на \(Ma\); при круговом движении натяжение создаёт центростремительное ускорение, а малые колебания маятника зависят только от длины нити.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(7{,}8474 \pm 0{,}011\) м/с\(^2\); 2) \(3{,}8841 \pm 0{,}011\) рад/с; 3) \(0{,}9735 \pm 0{,}011\) м; 4) \(2{,}1714 \pm 0{,}011\) с.
Глубина ущелья на Марсе
Действие романа А.Н. Толстого «Аэлита» происходит на Марсе. Представьте, что герои — инженер Лось и Аэлита, стоя в скалах марсианской горной системы Лизиазиры на краю священной для марсиан пропасти и слушая эхо от падающих вниз камней, определили, что время от момента, когда камень оборвался вниз у них из-под ног, до момента, когда они услышали звук удара, \(T=32\) с. Теперь известно, что скорость звука на Марсе \(V=244\) м/с, а ускорение свободного падения у поверхности планеты \(g=4{,}05\) м/с\(^2\). Определите:
Глубину пропасти \(H\) (с точностью до целых).
На какую глубину \(Y\) (с точностью до десятых) погрузится камень массой \(M=0{,}3\) кг в грунт, находящийся на дне пропасти, если средняя сила сопротивления на пути его погружения \(F=10\) кН.
Изменение температуры камня \(\Delta T\) (с точностью до сотых), если на его нагревание идёт \(34\) % выделившейся при погружении в грунт энергии, удельная теплоёмкость камня \(C=1{,}8\) кДж/(кг\(\cdot\)К).
Считайте, что трением камня о воздух можно пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВремя \(T\) складывается из времени падения камня и времени распространения звука вверх с постоянной скоростью. Работа силы сопротивления грунта равна потере механической энергии камня при погружении.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(H = 1397{,}66 \pm 1{,}1\) м; 2) \(Y = 16{,}984 \pm 0{,}1\) см; 3) \(\Delta T = 1{,}0692 \pm 0{,}011\) К.
Два динамометра с неподписанной шкалой
Имеются два динамометра, подвешенные на штативе. Определите:
Цену деления нижнего динамометра (с точностью до тысячных).
Массу груза № 1 (с точностью до десятых).
Жёсткость пружины нижнего динамометра (с точностью до десятых).
Массу нижнего динамометра (с точностью до десятых).
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). К грузу, подвешенному к динамометру, можно подцеплять снизу другие грузы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(c = 0{,}58 \pm 0{,}01\) Н; 2) \(m_1 = 56 \pm 0{,}8\) г; 3) \(k = 79{,}2 \pm 0{,}8\) Н/м; 4) \(m = 99 \pm 3\) г.
Качающаяся соломинка
Упавшая соломинка длиной \(L=42\) см опирается серединой на острый камень. На одном её конце сидит жук массой \(M_1=9{,}9\) г, на другом — кузнечик массой \(M_2=5{,}7\) г, а в середине — божья коровка массой \(M_3=1{,}7\) г. Они одновременно начинают ползти вдоль соломинки: жук со скоростью \(V_1=1{,}5\) см/с и кузнечик со скоростью \(V_2=0{,}4\) см/с движутся навстречу друг другу, а божья коровка со скоростью \(V_3=0{,}3\) см/с — навстречу кузнечику. Все скорости заданы относительно соломинки. Из-за перемещения насекомых спустя интервал времени \(t_1\) от начала движения соломинка стала поворачиваться. Божья коровка испугалась и улетела, а жук и кузнечик продолжали ползти, как раньше.
Определите:
Модуль скорости, с которой божья коровка двигалась относительно кузнечика, \(V\).
Время \(t_1\).
Минимальное расстояние \(X\) между жуком и божьей коровкой.
Расстояние \(Y\) между жуком и кузнечиком, когда он в одиночку «перевесит» жука.
Время \(t_2\), которое прошло с начала движения до этого момента.
Ответы вводите с точностью до сотых. Насекомых считайте материальными точками.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСоломинка начнёт поворачиваться, когда момент сил тяжести насекомых относительно камня перестанет быть равным нулю. Сравните моменты жука и кузнечика в каждый момент времени и вспомните, как движется коровка относительно кузнечика.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 0{,}6996 \pm 0{,}011\) см/с; 2) \(t_1 = 6{,}743 \pm 0{,}05\) с; 3) \(X = 12{,}9085 \pm 0{,}05\) см; 4) \(Y = 28{,}6682 \pm 0{,}1\) см; 5) \(t_2 = 7{,}0169 \pm 0{,}05\) с.
Пираты и сундук с сокровищами
Два пирата нашли большой сундук с сокровищами, но не хотели делить их. Ни один из них не мог в одиночку сдвинуть сундук. Первый пират позвал на помощь своего товарища, третьего пирата, который был в \(1{,}6\) раз сильнее его. Они стали тянуть сундук в одну сторону, а второй пират — в другую. Приложенных усилий едва хватило, чтобы сундук сдвинулся с места. Но тут на помощь второму пирату пришел его друг, четвертый пират, который был в \(2{,}3\) раза сильнее его. Удача им улыбнулась — сундук начал равномерно перемещаться в их сторону. Коэффициент трения сундука о грунт \(\mu = 0{,}45\). Определите:
Во сколько раз \(X\) второй пират сильнее первого.
Какую часть груза \(Y\) мог бы в одиночку двигать второй пират.
Во сколько раз \(K\) груз, который при том же коэффициенте трения могли, объединив усилия, двигать пираты вчетвером, тяжелее сундука с сокровищами.
Минимально возможную длину длинного плеча рычага \(L_1\), если бы первый пират стал в одиночку приподнимать сундук и использовал в качестве рычага лом длиной \(L = 2{,}1\) м. Массу лома учитывать не нужно.
Ответы вводите с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните, при каком наибольшем весе груза сила трения покоя ещё не даёт его сдвинуть, и сравните силы двух групп пиратов. Для рычага используйте условие равновесия моментов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 1{,}2089 \pm 0{,}011\); 2) \(Y = 0{,}8701 \pm 0{,}011\); 3) \(K = 4{,}74 \pm 0{,}04\); 4) \(L_1 = 1{,}5862 \pm 0{,}011\) м.
Горка с желобом
Имеется горка с прозрачным желобом, состоящим из линейного участка и дуги окружности, касательная к которой в правой точке дуги вертикальна. В желоб можно положить маленький железный шарик (лежит на столе справа от горки). При соскальзывании шарика с горки силой трения можно пренебречь. Также имеются установленные на желобе электромагниты, которые можно включать и выключать, и оптические датчики движения, которые позволяют определить либо время от момента начала движения шарика до момента пересечения его центром желтой линии (соответствует координате центра датчика), либо скорость, с которой центр шарика проходит координату центра датчика. Левый электромагнит и левый датчик закреплены, правые — можно двигать вдоль желоба. Определите:
угол наклона рельса (в радианах) — с точностью до десятитысячных;
длину \(L\) линейного участка горки — с точностью до сотых;
первоначальное расстояние \(D\) между центрами электромагнитов — с точностью до сотых;
радиус \(R\) дуги дна правой части желоба — с точностью до сотых.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\alpha = 0{,}22605 \pm 0{,}0015\) рад; 2) \(L = 28{,}83 \pm 0{,}15\) см; 3) \(D = 19{,}965 \pm 0{,}15\) см; 4) \(R = 10{,}185 \pm 0{,}35\) см.
Две тележки на наклонном рельсе
Тележки можно установить в нижней или верхней части наклонного рельса, при этом они автоматически закрепятся электромагнитами. Масса первой тележки равна \(100\) г. Определите:
массу второй тележки;
угол наклона рельса;
кинетическую энергию \(E_1\) первой тележки непосредственно перед столкновением тележек друг с другом, если первую тележку установить на левом конце рельса, вторую — на правом, и отключить электромагниты.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЭнергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию тележки; на наклонном рельсе учитывайте проекцию силы тяжести на направление движения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_2 = 155 \pm 2\) г; 2) \(\alpha = 0{,}021 \pm 0{,}0012\) рад; 3) \(E_1 = 6{,}58 \pm 0{,}7\) мДж.
Наклонный рельс с лебёдкой: ускорение бруска, сила трения и КПД системы
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и брусок. Колесо лебёдки крутится с постоянной угловой скоростью. У бруска имеется трение о рельс. Масса гирь указана в граммах.
Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
Величину ускорения \(a_0\), с каким бы двигался брусок, если бы его, не присоединяя к лебёдке, поставить в середине рельса и отпустить, если бы не было трения.
Силу трения \(F\), действующую на брусок при подъёме бруска по рельсу.
Величину ускорения \(a_1\), с каким будет двигаться брусок, если его поставить в середине рельса и отпустить в реальной ситуации — когда присутствует трение.
КПД системы при подъёме бруска по рельсу (потери энергии в лебёдке не учитывать).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБез трения ускорение бруска на наклонном рельсе — проекция \(g\) на направление рельса. Сила трения находится из показаний динамометра при равномерном подъёме; КПД — отношение полезной работы к работе силы натяжения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a_0 = 2{,}70828535593 \pm 0{,}0270828535593\) м/с\(^2\); 2) \(F = 0{,}311747163079 \pm 0{,}00311747163079\) Н; 3) \(a_1 = 1{,}76733425189 \pm 0{,}0264967653957\) м/с\(^2\); 4) \(\eta = 74{,}2342644102 \pm 1{,}11295748741\) %.
Игрушка для Барсика
Из девяти одинаковых пружин, жёсткостью \(K=8\) Н/м и маленького мячика массой \(M=46\) г хозяин сделал для Барсика игрушку. Массой соединительных планок можно пренебречь.
Определите:
Деформацию \(X\) красных пружинок в состоянии, когда шарик висит неподвижно.
Смещение \(B\) от положения равновесия планки 2 в тот момент, когда смещение мячика равно \(A=9{,}5\) см.
Среднюю путевую скорость \(V\) (отношение пройденного пути к времени движения) планки 3, если мячик прошёл \(S=19\) см за время \(T=0{,}87\) с.
С какой точностью \(Y\) можно определить с помощью такой системы пружин массу грузика, если в распоряжении есть линейка с ценой деления 1 мм.
В ответ \(Y\) вводите с точностью до сотых или выше, остальные значения с точностью до десятых или выше. Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Значения \(\pm\) означают интервал, в пределах которого компьютерная система засчитывала ответ как правильный.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите жёсткость каждого участка системы: последовательно соединённые пружины складываются обратными величинами, параллельные — жёсткостями. Общее растяжение делите между пружинами по их жёсткостям.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 1{,}881 \pm 0{,}11\) см; 2) \(B = 4{,}279 \pm 0{,}11\) см; 3) \(V = 12{,}012 \pm 0{,}11\) см/с; 4) \(Y = 0{,}1221 \pm 0{,}011\) г.
Прямоугольный лист металла
Имеется однородный плоский прямоугольный лист металла, который можно подвешивать на штатив и после этого цеплять динамометром за отмеченную на листе красным цветом точку (назовём её \(A\)). Определите с максимально возможной точностью:
Показания динамометра \(P_1\) в случае, если лист подвесить на штатив за левый верхний угол, зацепить лист динамометром и поднять так, чтобы точка \(A\) находилась на той же высоте, что и этот угол (пружина динамометра при этом вертикальна).
Массу \(m\) листа.
Показания динамометра \(P_2\) в случае, если бы точка \(A\) находилась в центре масс листа, и были проведены измерения как в первой части задания.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), шкалу динамометра — точной. Карандаш позволяет проводить линию на теле, к которому приложена линейка. Ластик при отпускании стирает проведённую линию, над которой его отпустили.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЛист находится в равновесии, когда момент силы тяжести относительно точки подвеса равен нулю, то есть центр масс лежит на одной вертикали с точкой подвеса. Положение центра масс можно найти по двум подвесам листа.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(P_1 = 1{,}5224 \pm 0{,}008\) Н; 2) \(m = 246{,}9 \pm 1{,}5\) г; 3) \(P_2 = 2{,}4195 \pm 0{,}015\) Н.
Прямоугольный лист металла
Имеется однородный плоский прямоугольный лист металла, который можно подвешивать на штатив и после этого цеплять динамометром за отмеченную на листе красным цветом точку (назовём её \(A\)). Определите с максимально возможной точностью:
Показания динамометра \(P_1\) в случае, если лист подвесить на штатив за левый верхний угол, зацепить лист динамометром и поднять так, чтобы точка \(A\) находилась на той же высоте, что и этот угол (пружина динамометра при этом вертикальна).
Массу \(m\) листа.
Показания динамометра \(P_2\) в случае, если бы точка \(A\) находилась в центре масс листа, и были проведены измерения как в первой части задания.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), шкалу динамометра — точной. Карандаш позволяет проводить линию на теле, к которому приложена линейка. Ластик при отпускании стирает проведённую линию, над которой его отпустили.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЛист находится в равновесии, когда момент силы тяжести относительно точки подвеса равен нулю, то есть центр масс лежит на одной вертикали с точкой подвеса. Положение центра масс можно найти по двум подвесам листа.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(P_1 = 1{,}724 \pm 0{,}008\) Н; 2) \(m = 279{,}6 \pm 1{,}5\) г; 3) \(P_2 = 2{,}7405 \pm 0{,}015\) Н.
Модель трассы — длина дуги малой окружности и другие параметры
Трасса, по которой движется автомобиль, состоит из двух линейных участков и двух дуг окружностей, большой и малой. В момент старта автомобиль находится в начале одного из линейных участков. Имеется модель трассы, которая показывает с уменьшением в \(530\) раз движение радиоуправляемого автомобиля по трассе. Положение автомобиля на модельной трассе помечается светящимся кружком (его центром). Движение автомобиля можно начинать запуском таймера и останавливать остановкой таймера. При движении автомобиль сохраняет одно и то же значение скорости. Определите:
Скорость \(V\) движения автомобиля в метрах в секунду — с точностью до десятых.
Длину \(S\) всей трассы — с точностью до целых.
Радиус \(R_2\) большой окружности (измерять по середине дороги) — с точностью до десятых.
Длину \(L_1\) дуги малой окружности — с точностью до десятых.
Радиус \(R_1\) малой окружности (измерять по середине дороги) — с точностью до десятых.
Линейку с окрашенными концами можно вращать, взявшись за окрашенный конец. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, а также перемещать в этом состоянии линейки. Щелчок мышью в любом другом месте экрана возвращает первоначальный масштаб. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 2 штрафных баллов. Комбинация клавиш Ctrl-C — копирование выделенной строки в буфер обмена; Ctrl-V — вставка данных из буфера обмена.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость постоянна, поэтому путь за известное время даёт длину всего круга. Радиусы дуг и длины дуг связаны через центральный угол дуги.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 29{,}675 \pm 0{,}25\) м/с; 2) \(S = 721{,}2 \pm 6\) м; 3) \(R_2 = 94{,}35 \pm 0{,}3\) м; 4) \(L_1 = 126{,}8 \pm 1\) м; 5) \(R_1 = 51{,}95 \pm 0{,}5\) м.
Эксперименты с прямоугольным листом металла
Имеется однородный плоский прямоугольный лист металла, который можно подвешивать на штатив и после этого цеплять динамометром за отмеченную на листе красным цветом точку (назовём её \(A\)). Определите с максимально возможной точностью:
Массу \(m\) листа.
Показания динамометра \(P_1\) в случае, если бы точка \(A\) находилась в правом нижнем углу листа, и если лист подвесить на штатив за левый верхний угол, зацепить лист динамометром за точку \(A\) и поднять так, чтобы точка \(A\) находилась на той же высоте, что и левый верхний угол (пружина динамометра при этом вертикальна).
Показания динамометра \(P_2\) в случае, если бы точка \(A\) находилась в центре масс листа, и были проведены измерения как в предыдущей части задания.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), шкалу динамометра — точной. Карандаш позволяет проводить линию на теле, к которому приложена линейка. Ластик при отпускании стирает проведённую линию, над которой его отпустили.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЛист подвешен за точку, поэтому его центр масс лежит на вертикали через точку подвеса. Пружина динамометра при этом создаёт вращающий момент, уравновешивающий момент силы тяжести относительно точки подвеса.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 212{,}25 \pm 1{,}5\) г; 2) \(P_1 = 1{,}04 \pm 0{,}008\) Н; 3) \(P_2 = 2{,}08 \pm 0{,}008\) Н.
Упругий шарик
Упругий шарик падает с высоты \(h=66\) см на наклонную плоскость, составляющую угол \(\alpha=0{,}52\) рад с горизонтом. Удары шарика о плоскость — абсолютно упругие. Найдите:
расстояние \(L\) вдоль этой плоскости между точкой, где произошёл первый удар, и ударом с номером \(N=8\);
время \(T\) между этими ударами;
максимальное расстояние \(Y\) между шариком и плоскостью после первого удара;
расстояние \(X\) вдоль плоскости между точкой первого и второго ударов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри упругом ударе о наклонную плоскость нормальная составляющая скорости меняет знак, а тангенциальная сохраняется. Дальше шарик движется как брошенное под углом тело.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 73{,}458 \pm 0{,}11\) м; 2) \(T = 5{,}1381 \pm 0{,}011\) с; 3) \(Y = 0{,}5731 \pm 0{,}011\) м; 4) \(X = 2{,}6235 \pm 0{,}011\) м.
Наклонный рельс с лебёдкой: ускорение бруска, сила трения и КПД системы
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и брусок. Колесо лебёдки крутится с постоянной угловой скоростью. У бруска имеется трение о рельс. Масса гирь указана в граммах. Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\).
Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
Величину ускорения \(a_0\), с каким бы двигался брусок, если бы его, не присоединяя к лебёдке, поставить в середине рельса и отпустить, если бы не было трения.
Силу трения \(F\), действующую на брусок при подъёме бруска по рельсу.
Величину ускорения \(a_1\), с каким будет двигаться брусок, если его поставить в середине рельса и отпустить в реальной ситуации — когда присутствует трение.
КПД системы при подъёме бруска по рельсу (потери энергии в лебёдке не учитывать).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБез трения брусок на наклонном рельсе движется с ускорением \(g\sin\alpha\); для угла наклона найдите синус через размеры рельса. КПД — отношение полезной работы по подъёму бруска к работе лебёдки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a_0 = 2{,}708 \pm 0{,}027\) м/с\(^2\); 2) \(F = 0{,}3846 \pm 0{,}0058\) Н; 3) \(a_1 = 1{,}672 \pm 0{,}042\) м/с\(^2\); 4) КПД \(= 72{,}3 \pm 1{,}8\) %.
Стеклянный лабиринт
Однажды тёмной ночью Попугай, Мартышка и Удав нашли в джунглях стеклянный лабиринт из узких параллельных одинаковых коридоров. Длина стены лабиринта \(A\) оказалась больше длины Удава. Друзья измерили скорость Удава, она оказалась равна \(V=0{,}33\) Попугаев в секунду. На Удава на расстоянии одного Попугая от головы и кончика хвоста надели велосипедные фонарики Яркий Луч V002R, и Удав отправился исследовать лабиринт. Мартышка и Попугай наблюдали снаружи, они включили секундомер и начали отсчёт времени, когда Удав начал вползать в лабиринт (смотрите рисунок). В первый раз огоньки фонариков оказались друг напротив друга в момент времени \(t_1=69{,}7\) с, а расстояние между точками, где фонарики «встретились» в первый и во второй раз, оказалось равно \(Z=10\) Попугаям.
Вычислите:
В какой момент времени \(t_2\) огоньки фонариков окажутся рядом во второй раз.
Длину Удава в Попугаях \(L\).
Длину стены лабиринта в Попугаях \(A\).
Интервал времени между первым и вторым совпадением огоньков \(\Delta t\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОгоньки разнесены по телу Удава на фиксированное расстояние. Сравните, какой путь проходит голова Удава за время между совпадениями, и как это связано с расстоянием между огоньками.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t_2 = 124{,}25 \pm 0{,}31\) с; 2) \(L = 10 \pm 0{,}1\) Попугаев; 3) \(A = 18 \pm 0{,}18\) Попугаев; 4) \(\Delta t = 54{,}547 \pm 0{,}14\) с.
Удав в лабиринте
Однажды тёмной ночью Попугай, Мартышка и Удав нашли в джунглях стеклянный лабиринт из узких параллельных одинаковых коридоров. Длина стены лабиринта \(A\) оказалась больше длины Удава. Ширина коридора оказалась равна росту Попугая. Друзья измерили скорость Удава, она оказалась равна \(V=0{,}2\) Попугаев в секунду. На Удава на расстоянии одного Попугая от головы и кончика хвоста надели велосипедные фонарики Яркий Луч V002R, и Удав отправился исследовать лабиринт. Он полз ровно по середине коридоров. Мартышка и Попугай наблюдали снаружи, они включили секундомер и начали отсчёт времени, когда Удав начал вползать в лабиринт (смотрите рисунок). В первый раз огоньки фонариков оказались друг напротив друга в момент времени \(t_1=160\) с, а расстояние между точками, где фонарики «встретились» в первый и во второй раз, оказалось равно \(Z=10\) Попугаям.
Вычислите:
В какой момент времени \(t_3\) огоньки фонариков окажутся рядом в третий раз.
Длину Удава в Попугаях \(L\).
Длину стены лабиринта в Попугаях \(A\).
Интервал времени между первым и вторым совпадением огоньков \(\Delta t\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоложения фонариков относительно входа в лабиринт меняются со временем одинаково. Подумайте, какой путь проходит голова Удава между совпадениями огоньков и как этот путь связан с расстоянием между фонариками.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t_3 = 400 \pm 0{,}8\) с; 2) \(L = 16 \pm 0{,}16\) Попугаев; 3) \(A = 24 \pm 0{,}24\) Попугаев; 4) \(\Delta t = 120 \pm 0{,}24\) с.
Барсик на рыбалке
Непривязанный плот стоял у причала, Барсик сидел на дальнем от причала краю плота и ловил мальков. Потом он прыгнул со скоростью \(V=3{,}5\) м/с под углом \(\alpha=27{,}9\) градусов к горизонту в сторону причала, из-за чего плот начал двигаться, и приземлился опять на плот. Поскольку в озере много тины, плот двигался с постоянным по величине тормозящим ускорением \(a=0{,}4\) м/с\(^2\), и после приземления кота в конце концов остановился. Масса Барсика \(m=3{,}4\) кг, масса плота \(M=50\) кг. Определите:
на какое расстояние \(S\) Барсик переместился относительно плота за время прыжка;
на какое расстояние \(L_1\) от причала в итоге сместился плот;
на какое расстояние \(L_2\) в итоге сместится плот, если Барсик прыгнет под углом \(\beta=45{,}4\) градуса к горизонту.
Ответы вводите с точностью до тысячных. Размерами кота пренебречь. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi\) считайте равным \(3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВо время прыжка импульс системы «Барсик + плот» сохраняется по горизонтали. Дальше плот тормозит с известным ускорением, и пройденный им путь находится из кинематики.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S = 1{,}082 \pm 0{,}005\) м; 2) \(L_1 = 0{,}0284 \pm 0{,}002\) м; 3) \(L_2 = 0{,}00435 \pm 0{,}0015\) м.
Грузы на резинке
В системе имеется набор грузов, две линейки и невесомая резинка, закреплённая за лапки штативов — в таком состоянии она не растянута. Грузы можно подвешивать на резинку: для этого аккуратно поднесите крючок груза к помеченной чёрной точке резинки, потяните крючком резинку и отпустите. Помеченные чёрными точками места крепления грузов располагаются на резинке на расстояниях 1 см, 2 см, 10 см, 20 см и 30 см от точки крепления резинки на лапке штатива. Обратите внимание, что при большом растяжении резинки гиря становится на стол и не опускается ниже. Найдите с точностью не хуже \(1\%\):
массу груза №1;
коэффициент жёсткости \(K_1\) одного сантиметра резинки;
массу груза №2;
силу натяжения резинки \(T\), если к центру резинки подвесить груз №2.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 4 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРастяжение резинки пропорционально её силе натяжения; при подвешивании груза в равновесии сила натяжения равна весу груза.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M_1 = 1310 \pm 32{,}75\) г; 2) \(K_1 = 139{,}7 \pm 3{,}5\) Н/м; 3) \(M_2 = 13{,}16 \pm 0{,}2\) г; 4) \(T = 0{,}15 \pm 0{,}006\) Н.
Тележки на рельсе
Если установить тележку на левый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, пружина выталкивает тележку, и после полного распрямления пружины тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Длина первой тележки \(W_1=11{,}5\) см. Определите с точностью до \(0{,}1\%\):
какая при этом будет скорость \(V_1\) движения первой тележки;
какая при этом будет скорость \(V_2\) движения второй тележки;
длину \(W_2\) второй тележки;
начальное расстояние \(X\) между оптическими воротами;
длина \(L\) рельса (между левой и правой стенками рельса, отмечены красными рисками).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Если вы сдвинули оптические ворота, можно выйти из модели и снова в неё войти, но перед этим запишите отосланные правильные ответы: при повторном входе окно отчёта очищается. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 5 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИмпульс системы до распрямления пружины равен нулю. Энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию двух тележек.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 13{,}031 \pm 0{,}052\) см/с; 2) \(V_2 = 11{,}259 \pm 0{,}045\) см/с; 3) \(W_2 = 7{,}902 \pm 0{,}047\) см; 4) \(X = 16{,}6 \pm 0{,}066\) см; 5) \(L = 74{,}5 \pm 0{,}3\) см.
Эксперимент в жидкости — параметры грузов и линейки
В системе имеются два цилиндрических груза одинакового размера, но разной массы. Масса первого груза \(M_1=54\) г. Эксперимент проводится в жидкости, поэтому на грузы действует сила трения \(F_{\text{тр}}=-kv\), пропорциональная скорости движения \(v\). Из-за чего почти сразу после начала движения каждый груз начинает двигаться с постоянной скоростью. Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), коэффициент \(k\) зависит только от площади поперечного сечения груза и вязкости жидкости, архимедовой силой можно пренебречь. Найдите с точностью \(0{,}1\%\):
величину (абсолютное значение) установившейся скорости \(v_1\) падения груза №1;
величину (абсолютное значение) установившейся скорости \(v_2\) падения груза №2;
массу \(M_2\) груза №2;
цену \(L_1\) самых больших делений линейки (в см);
цену \(L_3\) самых малых делений линейки (в мм).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Грузы можно закреплять электромагнитом в лапке штатива: поднесите груз к лапке и отпустите. Нажатие на зелёную кнопку на штативе выключает электромагнит и отпускает груз. Горизонтальную направляющую штатива можно перемещать мышью за лапку. Под лапкой штатива расположен эхолот, подсоединённый к прибору, который показывает зависимость координаты тела над эхолотом от времени. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 5 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУстановившаяся скорость — это наклон участка графика координаты от времени. При установившемся движении сила тяжести уравновешена силой трения \(kv\); для грузов одинакового размера коэффициент \(k\) один и тот же.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_1 = 12{,}838 \pm 0{,}0385\) см/с; 2) \(v_2 = 15{,}691 \pm 0{,}047\) см/с; 3) \(M_2 = 65{,}99 \pm 0{,}20\) г; 4) \(L_1 = 5{,}7 \pm 0{,}057\) см; 5) \(L_3 = 2{,}85 \pm 0{,}0285\) мм.
Три пружины на стержне
Три пружины соединены последовательно, к нижнему концу конструкции подвешен груз массой \(m=10{,}3\) кг. Верхняя и нижняя пружины имеют жёсткость \(K_1=267\) Н/м, средняя — \(K_2=267\) Н/м. Места соединения пружин скреплены жёсткими невесомыми скобками (см. рисунок). Для того, чтобы конструкция не изгибалась, пружины надеты на жёсткий стержень, он не мешает движению груза. Определите:
суммарное удлинение системы пружин \(X\);
деформацию средней пружины \(X_2\);
общую жёсткость \(K\) данной системы пружин;
силу натяжения скобки \(F\).
Ответы вводите с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля пружин, соединённых параллельно, жёсткости складываются; для соединённых последовательно — складываются обратные жёсткости. Растяжение всей системы равно сумме растяжений её частей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 10{,}219 \pm 0{,}11\) см; 2) \(X_2 = 10{,}219 \pm 0{,}11\) см; 3) \(K = 987{,}998 \pm 0{,}11\) Н/м; 4) \(F = 73{,}667 \pm 0{,}11\) Н.
Тележки на рельсе
Если установить тележку на левый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, пружина выталкивает тележку, и после полного распрямления пружины тележка начинает двигаться по рельсу без трения. Длина первой тележки \(W_1=11{,}5\) см. Определите с точностью до \(0{,}1\%\):
какая при этом будет скорость \(V_1\) движения первой тележки;
какая при этом будет скорость \(V_2\) движения второй тележки;
длину \(W_2\) второй тележки;
начальное расстояние \(X\) между оптическими воротами;
длина \(L\) рельса (между левой и правой стенками рельса, отмечены красными рисками).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Если вы сдвинули оптические ворота, можно выйти из модели и снова в неё войти, но перед этим запишите отосланные правильные ответы: при повторном входе окно отчёта очищается. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 5 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИмпульс системы до распрямления пружины равен нулю. Энергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию двух тележек.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 13{,}031 \pm 0{,}052\) см/с; 2) \(V_2 = 11{,}677 \pm 0{,}047\) см/с; 3) \(W_2 = 7{,}101 \pm 0{,}043\) см; 4) \(X = 15{,}1 \pm 0{,}06\) см; 5) \(L = 71{,}1 \pm 0{,}28\) см.
Эксперимент в жидкости: параметры грузов и линейки
В системе имеются два цилиндрических груза одинакового размера, но разной массы. Масса первого груза \(M_1=53\) г. Эксперимент проводится в жидкости, поэтому на грузы действует сила трения \(F_{\text{тр}}=-kv\), пропорциональная скорости движения \(v\). Из-за чего почти сразу после начала движения каждый груз начинает двигаться с постоянной скоростью. Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), коэффициент \(k\) зависит только от площади поперечного сечения груза и вязкости жидкости, архимедовой силой можно пренебречь.
Найдите с точностью \(0{,}1\%\):
величину (абсолютное значение) установившейся скорости \(v_1\) падения груза №1;
величину (абсолютное значение) установившейся скорости \(v_2\) падения груза №2;
массу \(M_2\) груза №2;
цену \(L_1\) самых больших делений линейки (в см);
цену \(L_3\) самых малых делений линейки (в мм).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Грузы можно закреплять электромагнитом в лапке штатива: для этого необходимо поднести груз к лапке штатива и отпустить. Если груз закреплён в лапке штатива, нажатие на зелёную кнопку, расположенную на штативе, выключает электромагнит и отпускает груз из захвата. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 5 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри установившемся движении сила тяжести уравновешивается силой трения \(kv\). Отношение масс грузов равно отношению их установившихся скоростей. Цена деления линейки находится по расстоянию между её отметками на экране эхолота.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_1 = 11{,}48 \pm 0{,}034\) см/с; 2) \(v_2 = 13{,}516 \pm 0{,}041\) см/с; 3) \(M_2 = 62{,}39 \pm 0{,}19\) г; 4) \(L_1 = 7{,}7 \pm 0{,}077\) см; 5) \(L_3 = 3{,}85 \pm 0{,}0385\) мм.
Две гантели
Две гантели, каждая из которых состоит из двух одинаковых шариков массой \(M = 67\) г, соединённых невесомыми стержнями длиной \(L = 26\) см, скользят навстречу друг другу по идеально гладкой горизонтальной поверхности со скоростью \(V = 0{,}05\) м/с (см. рисунок). В момент начала отсчёта времени шарики 1 и 3 находятся на расстоянии \(S = 3{,}3\) м друг от друга. Определите:
на каком расстоянии \(X\) будут находиться шарики 1 и 3 в момент времени \(t_1 = 47{,}8\) с;
скорость \(V_4\) четвёртого шарика относительно второго в момент времени \(t_1\);
импульс \(P\) второй (синей) гантели в момент времени \(t_2 = 37{,}1\) с;
ускорение \(A\) четвёртого шарика в момент времени \(t_2\);
суммарную кинетическую энергию гантелей \(E\) в момент времени \(t_2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУдары абсолютно упругие, поэтому шарики обмениваются скоростями; смотрите на движение центров масс гантелей и на их вращение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 0{,}8402 \pm 0{,}0084\) м; 2) \(V_4 = 0{,}10 \pm 0{,}001\) м/с; 3) \(P = 0 \pm 0{,}001\) кг\(\cdot\)м/с; 4) \(A = 1{,}923 \pm 0{,}019\) см/с\(^2\); 5) \(E = 0{,}335 \pm 0{,}00335\) мДж.
Астероид с полостью
Внутри астероида радиусом \(R = 7120\) м есть большая сферическая полость радиусом \(r = 4170\) м, как показано на рисунке. Плотность астероида \(\rho = 5290\) кг/м\(^3\) и постоянна во всех точках. Вычислите:
ускорение свободного падения \(g_A\) в точке \(A\) (в мм/с\(^2\));
ускорение свободного падения \(g_B\) в точке \(B\) (в мм/с\(^2\));
угол \(\alpha\), который оно составляет с радиусом астероида, проходящим через точку \(B\);
ускорение свободного падения \(g_C\) в точке \(C\) (в мм/с\(^2\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоле однородно заполненного шара внутри сферической полости можно получить как сумму полей полного шара и шара полости с обратным знаком.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(g_A = 9{,}471 \pm 0{,}11\) мм/с\(^2\); 2) \(g_B = 8{,}888 \pm 0{,}11\) мм/с\(^2\); 3) \(\alpha = 4{,}455 \pm 0{,}11\) градусов; 4) \(g_C = 4{,}356 \pm 0{,}11\) мм/с\(^2\).
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и брусок. Брусок можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки и присоединить её к крючку бруска. Электронный динамометр объединён с лебёдкой. Колесо лебёдки крутится с постоянной угловой скоростью. У бруска имеется трение о рельс. Масса гирь указана в граммах. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
величину ускорения \(a_0\), с каким бы двигался брусок, если бы его, не присоединяя к лебёдке, поставить в середине рельса и отпустить, если бы не было трения;
силу трения \(F\), действующую на брусок при подъёме бруска по рельсу;
величину ускорения \(a_1\), с каким будет двигаться брусок, если его поставить в середине рельса и отпустить в реальной ситуации — когда присутствует трение;
КПД системы при подъёме бруска по рельсу (потери энергии в лебёдке не учитывать).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУскорение без трения находится из проекции силы тяжести на рельс; сила трения и КПД найдите по показаниям динамометра лебёдки и пути бруска.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a_0 = 2{,}896 \pm 0{,}029\) м/с\(^2\); 2) \(F = 0{,}4871 \pm 0{,}0073\) Н; 3) \(a_1 = 1{,}7258 \pm 0{,}0431\) м/с\(^2\); 4) \(\eta = 71{,}22 \pm 1{,}78\) %.
Грузы на резинке
В системе имеется набор грузов, две линейки и невесомая резинка, закреплённая за лапки штативов — в таком состоянии она не растянута. Грузы можно подвешивать на резинку. Помеченные чёрными точками места крепления грузов располагаются на резинке на расстояниях \(1\) см, \(2\) см, \(10\) см, \(20\) см и \(30\) см от точки крепления резинки на лапке штатива. Обратите внимание, что при большом растяжении резинки гиря становится на стол и не опускается ниже. Найдите с точностью не хуже \(1\%\):
массу груза №1;
коэффициент жёсткости \(K_1\) (в Н/м) одного сантиметра резинки;
массу груза №2;
силу натяжения резинки \(T\), если к центру резинки подвесить груз №2.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРастяжение резинки под грузом даёт жёсткость на сантиметр; натяжение при подвешивании груза в центре найдите из условия равновесия.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 1350 \pm 33{,}75\) г; 2) \(K_1 = 102{,}654 \pm 2{,}566\) Н/м; 3) \(m_2 = 12{,}66 \pm 0{,}2\) г; 4) \(T = 0{,}1332 \pm 0{,}0053\) Н.
Труба и пластина
Полая труба с тонкими стенками, сечение которой представляет из себя квадрат со стороной \(a = 8{,}8\) см, погружена в воду. Снизу труба закрыта пластиной, горизонтальные стороны которой равны \(a = 8{,}8\) см и \(b = 22{,}9\) см, а высота \(x = 1{,}2\) см (рис. 1). При этом вода не подтекает в трубу. Нижняя плоскость пластины находится на глубине \(H = 4{,}8\) см. Плотность материала пластины \(\rho = 800\) кг/м\(^3\). Определите:
максимально возможное значение длины пластины \(b_{max}\), при котором пластина ещё удержится на трубе;
абсолютную величину вращающего момента \(M\) относительно оси \(AB\) (рис. 1), который создают силы реакции опоры, действующие на пластину со стороны трубы;
до какого максимального уровня \(Y\) можно налить воду в трубу, чтобы контакт между трубой и пластиной не нарушился (рис. 2).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПластина держится силой Архимеда, направленной вверх; на пределе реакция опоры со стороны трубы обращается в ноль у одного края, и условие равновесия моментов даёт ответ.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(b_{max} = 43{,}995 \pm 0{,}15\) см; 2) \(M = 107{,}65 \pm 0{,}25\) мН\(\cdot\)м; 3) \(Y = 3{,}223 \pm 0{,}11\) см.
Две пружины
Пружину жёсткостью \(K_1 = 518\) Н/м и пружину жёсткостью \(K_2 = 998\) Н/м вставили в жёсткую подставку с перемычкой, которая может скользить без трения. Масса перемычки \(M = 1{,}4\) кг. Изначально обе пружины были не деформированы, затем перемычку сместили влево на \(X_1 = 30\) см и закрепили винтом. Определите:
силу \(F_a\), действующую на опору со стороны пружины в точке \(A\);
силу \(F_c\) бокового давления на винт в точке \(C\);
на какое максимальное расстояние \(X_2\) переместится перемычка вправо сразу после того, как винт перестанет её удерживать;
до какой максимальной скорости \(V\) разгонится перемычка после того, как винт перестанет её удерживать.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВинт уравновешивает силы пружин. После его освобождения энергия сжатых пружин переходит в кинетическую энергию перемычки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_a = 155{,}397 \pm 0{,}11\) Н; 2) \(F_c = 454{,}795 \pm 0{,}11\) Н; 3) \(X_2 = 60{,}005 \pm 0{,}11\) см; 4) \(V = 9{,}867 \pm 0{,}11\) м/с.
Грузы на стержнях
Четыре маленьких груза закреплены на невесомых стержнях, конструкция может вращаться вокруг горизонтальной оси. Трение пренебрежимо мало, но из-за его наличия колебания в конце концов затухают. Расстояние от центра каждого груза до оси вращения \(L = 37\) см. Массы грузов \(M_1 = 0{,}31\) кг, \(M_2 = 0{,}62\) кг, \(M_3 = 0{,}93\) кг, \(M_4 = 1{,}24\) кг. Конструкцию удерживают в положении, показанном на рисунке, затем отпускают. Определите:
максимальную кинетическую энергию системы на начальном этапе колебаний \(E_к\), когда их затуханием можно пренебречь;
амплитуду \(S\) колебаний шарика 3 (половину длины дуги, проходимой им от самой правой точки колебаний до самой левой) на начальном этапе колебаний;
максимальную угловую скорость \(\omega\) вращения грузов на начальном этапе колебаний;
на какое расстояние \(H\) опустится центр масс конструкции после затухания колебаний.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗакон сохранения энергии связывает максимальную кинетическую энергию с понижением центра масс; угловая скорость — из кинетической энергии вращения с моментом инерции системы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(E_к = 0{,}9312 \pm 0{,}002\) Дж; 2) \(S = 29{,}055 \pm 0{,}15\) см; 3) \(\omega = 2{,}095 \pm 0{,}005\) рад/с; 4) \(H = 3{,}065 \pm 0{,}01\) см.
Сухой и влажный песок
В одинаковых массивных стаканах №1 и №2 (массой \(m\) каждый) сначала находился сухой песок — во втором стакане его в \(2\) раза больше, чем в первом. Затем в стакан №2 налили некоторый объём \(V\) воды, из-за чего песок в нём стал влажным и более тяжёлым. В мерном стакане находится вода, её плотность \(1\) г/см\(^3\). Определите:
объём \(V_2\) влажного песка во втором стакане — с точностью до миллилитра;
объём воды \(V\), который долили в стакан №2 — с точностью до миллилитра;
плотность материала песчинок (считать, что материал всех песчинок одинаковый) — с точностью до сотых;
массу \(m\) одного стакана (№1 или №2) — с точностью до десятых грамма.
Числа на гирях указывают их массу в граммах. Считайте, что число \(\pi = 3{,}1416\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_2 \approx 196 \pm 2\) мл; 2) \(V \approx 35{,}6 \pm 2\) мл; 3) \(\rho \approx 2{,}58 \pm 0{,}02\) г/см\(^3\); 4) \(m \approx 58{,}95 \pm 1{,}5\) г.
Неисправные весы — определите массу тел
В рычажных весах оказалась немного сдвинута от центра точка крепления коромысла, но ими всё-таки можно пользоваться, если немного подумать. Определите с максимальной возможной точностью массу тел.
Числа на гирях указывают их массу в граммах. Учтите, что коромысла и чашки весов имеют небольшой ненулевой вес.
Задание разрешено переделывать, но за каждый неправильный ответ начисляется до 3 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВзвесьте каждое тело дважды, меняя чашки местами, и сравните результаты: смещение точки крепления даёт одинаковую систематическую ошибку с разными знаками.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТело №1: \(m = 595 \pm 1\) г; Тело №2: \(m = 480 \pm 0{,}8\) г; Тело №3: \(m = 60 \pm 0{,}2\) г.
Неисправные весы — определите массу тел
В рычажных весах оказалась немного сдвинута от центра точка крепления коромысла, но ими всё-таки можно пользоваться, если немного подумать. Определите с максимальной возможной точностью массу тел.
Числа на гирях указывают их массу в граммах. Учтите, что коромысла и чашки весов имеют небольшой ненулевой вес.
Задание разрешено переделывать, но за каждый неправильный ответ начисляется до 3 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВзвесьте каждое тело дважды, меняя чашки местами, и сравните результаты: смещение точки крепления даёт систематическую ошибку с разными знаками.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТело №1: \(m = 595 \pm 1\) г; Тело №2: \(m = 480 \pm 0{,}8\) г; Тело №3: \(m = 60 \pm 0{,}2\) г.
Неисправные весы — определите массу тел
В рычажных весах оказалась немного сдвинута от центра точка крепления коромысла, но ими всё-таки можно пользоваться, если немного подумать. Определите с максимальной возможной точностью массу тел №1, №2 и №3.
Числа на гирях указывают их массу в граммах. Учтите, что коромысла и чашки весов имеют небольшой ненулевой вес.
Задание разрешено переделывать, но за каждую повторную попытку начисляется до 3 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВзвесьте каждое тело дважды, меняя чашки местами, и сравните результаты: смещение точки крепления даёт систематическую ошибку с разными знаками.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТело №1: \(m = 595 \pm 1\) г; Тело №2: \(m = 480 \pm 0{,}8\) г; Тело №3: \(m = 60 \pm 0{,}2\) г.
Условия равновесия
Однородный стержень длиной \(X = 114\) см подвешен на двух невесомых нитях. Точка закрепления левой нити расположена на расстоянии \(L = 18{,}6\) см от левого конца стержня. Нити перекинуты через невесомые блоки, к свободным концам нитей привязаны грузы, чтобы обеспечить равновесие конструкции. Масса правого груза \(m_1 = 6{,}9\) кг. Блоки с помощью невесомых подвесов прикреплены к концам однородной планки массой \(m = 13{,}2\) кг, уравновешенной на неподвижной опоре (см. рис.). Радиусы блоков \(R = 15\) см. Нити считать невесомыми нерастяжимыми. Вычислите:
массу левого груза \(m_2\);
массу стержня \(M\);
силу натяжения левой нити, удерживающей блок (\(F_2\));
расстояние \(Y\) от правого конца планки до опоры.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУсловия равновесия нужно записать отдельно для планки с блоками и для стержня, учитывая натяжения нитей и моменты сил относительно опоры.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_2 = 10{,}24 \pm 0{,}13\) кг; 2) \(M = 17{,}14 \pm 0{,}22\) кг; 3) \(F_2 = 200{,}7 \pm 2{,}6\) Н; 4) \(Y = 37{,}29 \pm 0{,}48\) см.
Ворона и Лисица
Ворона сидит на дереве на высоте \(h = 1{,}09\) м и держит в клюве сыр. Карусель радиусом \(R = 2{,}8\) м вращается с угловой скоростью \(\omega = 0{,}22\) рад/с. Лисица сидит на краю вращающейся карусели и уговаривает Ворону спеть. Ворона роняет сыр, он падает на землю. Для промежутка времени, пока падал сыр, определите:
максимальную скорость сыра относительно земли (\(V_1\));
минимальную скорость сыра относительно Лисицы (\(V_{\min}\));
максимальную скорость сыра относительно Лисицы (\(V_{\max}\));
когда Лисица находилась ближе всего к упавшему сыру, она прыгнула со скоростью \(V = 0{,}5\) м/с прямо к сыру относительно земли. Вычислите скорость Лисицы относительно «точки старта» в момент прыжка (\(V_{\text{отн}}\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСыр в момент падения имеет горизонтальную скорость, равную скорости точки карусели, на которой он оказался; вертикальную скорость находите из свободного падения с высоты \(h\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 4{,}622 \pm 0{,}011\) м/с; 2) \(V_{\min} = 0{,}616 \pm 0{,}011\) м/с; 3) \(V_{\max} = 4{,}663 \pm 0{,}011\) м/с; 4) \(V_{\text{отн}} = 0{,}793 \pm 0{,}011\) м/с.
Неисправный лесовоз
Лесовозы вывозили древесину с вырубки на железнодорожную станцию по прямой дороге. В пути каждая машина двигалась равномерно. Первая машина выехала рано утром, но по пути сломалась и встала. Водитель вызвал аварийную службу и начал отсчёт времени. В этот момент вторая машина была в пути, а третья только отъезжала от вырубки. Оказалось, что в промежутке времени от 26 мин до 38 мин сумма расстояний между всеми тремя машинами (\(L_{12}+L_{13}+L_{23}\)) была минимальной и равной \(L=7992\) м, а в момент времени 74 мин вторая машина прибыла на станцию. Вычислите:
Скорость движения третьей машины (\(V_3\)).
Спустя какой интервал времени \(t\) после старта второй машины выехала третья.
Расстояние \(X_3\) от места поломки до станции.
Расстояние \(X_4\) от вырубки до станции.
Ответы вводите с точностью не хуже 1 %. Для решения удобно построить график зависимости координат машин от времени.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПостройте графики координат машин от времени. Сумма расстояний между тремя точками на прямой минимальна, когда средняя точка совпадает с одной из крайних; это даёт точки графика, по которым находятся скорости и моменты старта.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_3 = 5{,}55 \pm 0{,}11\) м/с; 2) \(t = 12 \pm 0{,}24\) мин; 3) \(X_3 = 15{,}98 \pm 0{,}32\) км; 4) \(X_4 = 28{,}64 \pm 0{,}57\) км.
Наклонный рельс с лебёдкой и брусками
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и бруски. Электромагнит в левой части рельса автоматически включается при установке бруска на рельс и притягивает брусок с силой \(F\). При этом кнопка включения/выключения электромагнита начинает светиться. Любой из трёх имеющихся брусков можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска. Угол наклона рельса можно менять. Трения нет. Электронный динамометр присоединён к лебёдке. Лебёдка включается кнопкой «Старт» и выключается кнопкой «Стоп». Колесо лебёдки тянет груз с постоянной скоростью. Если сила, приложенная к кольцу нити, превышает некоторое значение \(F_{\max}\), кольцо отцепляется от бруска. Найдите:
Скорость \(v\) движения бруска, поднимаемого лебёдкой.
Массу \(m_2\) второго бруска.
Значение силы \(F_{\max}\).
Значение \(F\) силы притяжения бруска левым электромагнитом.
Массу \(m_3\) третьего бруска.
Значение \(m_2\) найдите с точностью не хуже \(0{,}5\) г, остальные величины — с точностью не менее \(1\%\). Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБруски движутся равномерно, поэтому сила натяжения нити равна сумме проекций сил на направление рельса; при равномерном движении силы уравновешены.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 2{,}83 \pm 0{,}028\) см/с; 2) \(m_2 = 481{,}01 \pm 0{,}5\) г; 3) \(F_{\max} = 0{,}596 \pm 0{,}012\) Н; 4) \(F = 0{,}36356 \pm 0{,}0073\) Н; 5) \(m_3 = 1990{,}8 \pm 20\) г.
Связанные грузы
Два цилиндра связаны невесомой нерастяжимой нитью длиной \(Y=11\) см и лежат один на другом. Масса верхнего цилиндра \(m_1=0{,}16\) кг, а нижнего \(m_2=0{,}27\) кг. Школьник прикрепил к верхнему цилиндру пружину жёсткостью \(k=62\) Н/м и стал медленно поднимать её за свободный конец (см. рис.).
Определите:
Какую работу \(A_1\) он совершил до того, как верхний груз начал движение.
Какую работу \(A_2\) он совершил до того, как нижний груз начал движение.
Какую работу \(A_3\) он совершил к моменту, когда нижний груз поднялся на высоту \(L=100\) см.
Для этого же момента времени определите отношение \(X\) увеличения потенциальной энергии грузов к увеличению потенциальной энергии пружины.
Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Ответы вводите с точностью не хуже \(1\%\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПока верхний груз не сдвинулся, пружина растягивается, а работа внешней силы равна запасённой в пружине энергии. Дальше сравните подъём верхнего груза и нижнего: нить и пружина связывают их в одну систему.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(A_1 = (19{,}82 \pm 0{,}26)\) мДж; 2) \(A_2 = (315{,}6 \pm 4{,}1)\) мДж; 3) \(A_3 = (4{,}528 \pm 0{,}059)\) Дж; 4) \(X = 30{,}62 \pm 0{,}4\).
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и бруски. Любой из трёх имеющихся брусков можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска.
Электронный динамометр присоединён к лебёдке. Лебёдка включается кнопкой «Старт» и выключается кнопкой «Стоп». Колесо лебёдки тянет груз с постоянной скоростью. У брусков имеется трение о рельс. Если сила, приложенная к кольцу нити, превышает некоторое значение \(F_{max}\), кольцо отцепляется от бруска. Нижние части второго и третьего бруска изготовлены из одного и того же материала по одной и той же технологии и могут считаться идентичными.
Найдите с точностью не хуже \(1\%\):
Коэффициент трения скольжения \(k_1\) первого бруска.
Максимальное возможное значение \(F_1\) силы реакции опоры при движении первого бруска по рельсу (угол наклона рельса можно менять).
Коэффициент трения скольжения \(k_2\) второго бруска.
Массу \(m_3\) третьего бруска.
Значение силы \(F_{max}\).
Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТяните брусок с постоянной скоростью: показание динамометра равно сумме силы трения и составляющей веса вдоль рельса. Угол подберите так, чтобы брусок начал соскальзывать или отцепиться, и сравните силы для разных брусков.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 0{,}0335 \pm 0{,}00084\); 2) \(F_1 = 2{,}362 \pm 0{,}059\) Н; 3) \(k_2 = 0{,}028 \pm 0{,}0007\); 4) \(m_3 = 1272{,}7 \pm 38\) г; 5) \(F_{max} = 0{,}591 \pm 0{,}012\) Н.
Связанные грузы
Два цилиндра связаны невесомой нерастяжимой нитью длиной \(Y=11\) см и лежат один на другом. Масса верхнего цилиндра \(m_1=0{,}16\) кг, а нижнего \(m_2=0{,}27\) кг. Школьник прикрепил к верхнему цилиндру пружину жёсткостью \(k=62\) Н/м и стал медленно поднимать её за свободный конец (см. рис.).
Определите:
Какую работу \(A_1\) он совершил до того, как верхний груз начал движение.
Какую работу \(A_2\) он совершил до того, как нижний груз начал движение.
Какую работу \(A_3\) он совершил к моменту, когда нижний груз поднялся на высоту \(L=100\) см.
Для этого же момента времени определите отношение \(X\) увеличения потенциальной энергии грузов к увеличению потенциальной энергии пружины.
Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Ответы вводите с точностью не хуже \(1\%\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПока верхний груз не сдвинулся, пружина растягивается, а работа внешней силы равна запасённой в пружине энергии. Дальше сравните подъём верхнего груза и нижнего: нить и пружина связывают их в одну систему.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(A_1 = (19{,}82 \pm 0{,}26)\) мДж; 2) \(A_2 = (315{,}59 \pm 4{,}1)\) мДж; 3) \(A_3 = (4{,}528 \pm 0{,}059)\) Дж; 4) \(X = 30{,}62 \pm 0{,}4\).
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и бруски. Любой из трёх имеющихся брусков можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска.
Электронный динамометр присоединён к лебёдке. Лебёдка включается кнопкой «Старт» и выключается кнопкой «Стоп». Колесо лебёдки тянет груз с постоянной скоростью. У брусков имеется трение о рельс. Если сила, приложенная к кольцу нити, превышает некоторое значение \(F_{max}\), кольцо отцепляется от бруска. Нижние части второго и третьего бруска изготовлены из одного и того же материала по одной и той же технологии и могут считаться идентичными.
Найдите с точностью не хуже \(1\%\):
Коэффициент трения скольжения \(k_1\) первого бруска.
Максимальное возможное значение \(F_1\) силы реакции опоры при движении первого бруска по рельсу (угол наклона рельса можно менять).
Коэффициент трения скольжения \(k_2\) второго бруска.
Массу \(m_3\) третьего бруска.
Значение силы \(F_{max}\).
Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТяните брусок с постоянной скоростью: показание динамометра равно сумме силы трения и составляющей веса вдоль рельса. Угол подберите так, чтобы брусок начал соскальзывать или отцепиться, и сравните силы для разных брусков.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 0{,}0335 \pm 0{,}00084\); 2) \(F_1 = 2{,}362 \pm 0{,}059\) Н; 3) \(k_2 = 0{,}028 \pm 0{,}0007\); 4) \(m_3 = 1272{,}7 \pm 38\) г; 5) \(F_{max} = 0{,}591 \pm 0{,}012\) Н.
Равнобедренный треугольник из металла
Из листа металла вырезан равнобедренный треугольник (\(|AB| = |AC|\)). Если установить его горизонтально на трёх тонких вертикальных опорах, поддерживающих его углы в точках \(A\), \(B\) и \(C\) (на рисунке показан вид сверху), то окажется, что на опору в точке \(A\) действует сила \(F_A = 29\) Н. Определите:
силу, которая действует на опору в точке \(B\) (\(F_B\));
массу треугольника (\(M\));
силу давления на опору в точке \(N\) (\(F_N\)), если треугольник уравновесили на двух опорах в точках \(D\) (на середине стороны \(BC\)) и \(N\) (на середине высоты \(AD\));
силу давления на опору в точке \(D\) (\(F_D\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСимметрия треугольника связывает силы на опорах \(B\) и \(C\); для остальных опор запишите условие равновесия моментов относительно подходящих осей.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_B = 28{,}997 \pm 0{,}319\) Н; 2) \(M = 8{,}877 \pm 0{,}098\) кг; 3) \(F_N = 57{,}994 \pm 0{,}638\) Н; 4) \(F_D = 28{,}997 \pm 0{,}319\) Н.
Неисправные весы
В рычажных весах оказалась немного сдвинута от центра точка крепления коромысла, но ими всё-таки можно пользоваться, если немного подумать. Определите с максимальной возможной точностью массу тел №1, №2 и №3. Числа на гирях указывают их массу в граммах. Учтите, что коромысла и чашки весов имеют небольшой ненулевой вес.
масса тела №1;
масса тела №2;
масса тела №3.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЕсли точка крепления сдвинута, плечи неравны. Взвесьте тело дважды, меняя его и гири местами на чашках, и подумайте, как исключить разницу плеч.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 661 \pm 1\) г; 2) \(m_2 = 392 \pm 0{,}8\) г; 3) \(m_3 = 59 \pm 0{,}2\) г.
Равнобедренный треугольник из металла
Из листа металла вырезан равнобедренный треугольник (\(|AB| = |AC|\)). Если установить его горизонтально на трёх тонких вертикальных опорах, поддерживающих его углы в точках \(A\), \(B\) и \(C\) (на рисунке показан вид сверху), то окажется, что на опору в точке \(A\) действует сила \(F_A = 29\) Н. Определите:
силу, которая действует на опору в точке \(B\) (\(F_B\));
массу треугольника (\(M\));
треугольник уравновесили на двух опорах в точках \(D\) (на середине стороны \(BC\)) и в точке \(N\) (на середине высоты \(AD\)). Определите силу давления на опору в точке \(N\) (\(F_N\));
определите силу давления на опору в точке \(D\) (\(F_D\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСумма сил опор равна весу, а моменты сил относительно точек опор связывают силы между собой.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_B = 28{,}997 \pm 0{,}319\) Н; 2) \(M = 8{,}877 \pm 0{,}098\) кг; 3) \(F_N = 57{,}994 \pm 0{,}638\) Н; 4) \(F_D = 28{,}997 \pm 0{,}319\) Н.
Три тележки и горизонтальный рельс
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на левый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и пружина выталкивает тележку. Определите:
Скорость \(V_1\) движения первой тележки после её выталкивания пружиной.
Длину \(W_1\) первой тележки.
Длину \(W_3\) третьей тележки.
Длину \(L\) рельса (расстояние между левой и правой стенками рельса).
Расстояние \(X\) между оптическими воротами и правым краем рельса.
Длину \(W\) распрямлённой пружины.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ответы необходимо найти с точностью до сотых. Датчик времени начинает отсчёт в момент полного распрямления пружины. Пересечение луча оптических ворот регистрируется для центра тележки (отмечен красной стрелкой). Оптические ворота можно двигать. Их положение отсчитывается по вертикальной красной риске, находящейся около их основания. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 6 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость тележки найдите из пути и времени её движения между известными точками. Длину тележки можно получить по времени, за которое она перекрывает луч оптических ворот при известной скорости.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 13 \pm 0{,}05\) см/с; 2) \(W_1 = 10{,}1 \pm 0{,}05\) см; 3) \(W_3 = 11{,}8 \pm 0{,}05\) см; 4) \(L = 72 \pm 0{,}25\) см; 5) \(X = 44{,}6 \pm 0{,}1\) см; 6) \(W = 6{,}8 \pm 0{,}1\) см.
Движение тележек по наклонному рельсу
Одна или две тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на левый или правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и пружина выталкивает тележку с левого края рельса и отпускает с правого. Определите:
Ускорение \(a\) движения тележек по рельсу (м/с\(^2\)).
Длину \(W_1\) первой тележки (см).
Длину \(L\) рельса — расстояние между левой и правой стенками рельса (см).
Расстояние \(X\) между оптическими воротами и правым краем рельса (см).
Скорость \(V_1\) движения первой тележки сразу после её выталкивания пружиной (см/с).
Длину \(W\) распрямлённой пружины (см).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение \(a\) необходимо найти с точностью до тысячных, остальные ответы — с точностью до десятых. Датчик времени начинает отсчёт в момент полного распрямления пружины. Пересечение луча оптических ворот регистрируется для центра тележки (отмечен красной стрелкой). Оптические ворота можно двигать. Их положение (координата пересечения луча) отсчитывается по вертикальной красной риске, находящейся около их основания. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 6 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНа наклонном рельсе тележка движется с постоянным ускорением. Измерьте, как меняется её положение или скорость со временем, и найдите ускорение по этим данным.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a = 0{,}2234 \pm 0{,}001\) м/с\(^2\); 2) \(W_1 = 11{,}2 \pm 0{,}2\) см; 3) \(L = 69{,}525 \pm 0{,}75\) см; 4) \(X = 43{,}64 \pm 0{,}4\) см; 5) \(V_1 = 44{,}8 \pm 1\) см/с; 6) \(W = 6{,}2 \pm 0{,}1\) см.
Магнитофонная лента
Внутренний диаметр мотка магнитофонной плёнки на бобине \(D_1=4{,}3\) см, а внешний диаметр \(D_2=6{,}6\) см. Толщина плёнки \(h=55\) мкм. Плёнка подаётся во звукосниматель со скоростью \(V=19\) см/с. Определите:
время воспроизведения всей записи (\(t\));
во сколько раз (\(K\)) изменяется угловая скорость вращения бобины во время воспроизведения записи с начала до конца ленты;
с какой угловой скоростью (\(W\)) вращается бобина через \(t_1=1{,}24\) мин после начала воспроизведения записи.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДлина ленты равна площади кольца намотки, делённой на толщину плёнки. Скорость ленты связана с угловой скоростью бобины через текущий радиус намотки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t = 3{,}137 \pm 0{,}094\) мин; 2) \(K = 1{,}533 \pm 0{,}046\); 3) \(W = 6{,}5438 \pm 0{,}196\) рад/с.
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и бруски. Электромагнит в левой части рельса автоматически включается при установке бруска на рельс и притягивает брусок с силой \(F\). При этом кнопка включения/выключения электромагнита начинает светиться. Любой из трёх имеющихся брусков можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска.
Электронный динамометр присоединён к лебёдке. Лебёдка включается кнопкой «Старт» и выключается кнопкой «Стоп». Колесо лебёдки тянет груз с постоянной скоростью. У брусков имеется трение о рельс. Если сила, приложенная к кольцу нити, превышает некоторое значение \(F_{max}\), кольцо отцепляется от бруска. Нижние части второго и третьего бруска изготовлены из одного и того же материала по одной и той же технологии и могут считаться идентичными. Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\) %:
коэффициент трения скольжения \(k_1\) первого бруска;
максимальное возможное значение \(F_1\) силы реакции опоры при движении первого бруска по рельсу (угол наклона рельса можно менять);
коэффициент трения скольжения \(k_2\) второго бруска;
массу \(m_3\) третьего бруска;
значение силы \(F_{max}\);
значение силы реакции опоры \(F_n\) для первого бруска при натяжении нити на \(0{,}01\) % меньше значения \(F_{max}\);
значение \(F\) силы притяжения бруска левым электромагнитом.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТянущая сила лебёдки при равномерном движении бруска уравновешивает силу трения и составляющую силы тяжести вдоль рельса; сравните силы при разных углах наклона.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 0{,}0357 \pm 0{,}0008925\); 2) \(F_1 = 2{,}1266 \pm 0{,}053165\) Н; 3) \(k_2 = 0{,}0252 \pm 0{,}00063\); 4) \(m_3 = 1271{,}727 \pm 38{,}19\) г; 5) \(F_{max} = 0{,}647 \pm 0{,}00647\) Н; 6) \(F_n = 2{,}0476986919713 \pm 0{,}020476986919713\) Н; 7) \(F = 0{,}43349 \pm 0{,}0086698\) Н.
Магнитофонная лента
Внутренний диаметр мотка магнитофонной плёнки на бобине \(D_1=4{,}3\) см, а внешний диаметр \(D_2=7{,}3\) см. Толщина плёнки \(h=52\) мкм. Плёнка подаётся во звукосниматель со скоростью \(V=18{,}6\) см/с. Определите:
время воспроизведения всей записи (\(t\));
во сколько раз (\(K\)) изменяется угловая скорость вращения бобины во время воспроизведения записи с начала до конца ленты;
с какой угловой скоростью (\(W\)) вращается бобина через \(t_1=2{,}35\) мин после начала воспроизведения записи.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДлина ленты равна площади кольца намотки, делённой на толщину плёнки. Скорость ленты связана с угловой скоростью бобины через текущий радиус намотки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t = 4{,}705 \pm 0{,}14\) мин; 2) \(K = 1{,}696 \pm 0{,}051\); 3) \(W = 6{,}2 \pm 0{,}186\) рад/с.
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и бруски. Электромагнит в левой части рельса автоматически включается при установке бруска на рельс и притягивает брусок с силой \(F\). При этом кнопка включения/выключения электромагнита начинает светиться. Любой из трёх имеющихся брусков можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска.
Электронный динамометр присоединён к лебёдке. Лебёдка включается кнопкой «Старт» и выключается кнопкой «Стоп». Колесо лебёдки тянет груз с постоянной скоростью. У брусков имеется трение о рельс. Если сила, приложенная к кольцу нити, превышает некоторое значение \(F_{max}\), кольцо отцепляется от бруска. Нижние части второго и третьего бруска изготовлены из одного и того же материала по одной и той же технологии и могут считаться идентичными. Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\) %:
коэффициент трения скольжения \(k_1\) первого бруска;
максимальное возможное значение \(F_1\) силы реакции опоры при движении первого бруска по рельсу (угол наклона рельса можно менять);
коэффициент трения скольжения \(k_2\) второго бруска;
массу \(m_3\) третьего бруска;
значение силы \(F_{max}\);
значение силы реакции опоры \(F_n\) для первого бруска при натяжении нити на \(0{,}01\) % меньше значения \(F_{max}\);
значение \(F\) силы притяжения бруска левым электромагнитом.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТянущая сила лебёдки при равномерном движении бруска уравновешивает силу трения и составляющую силы тяжести вдоль рельса; сравните силы при разных углах наклона.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 0{,}0342 \pm 0{,}00086\); 2) \(F_1 = 2{,}1462 \pm 0{,}054\) Н; 3) \(k_2 = 0{,}0271 \pm 0{,}00068\); 4) \(m_3 = 1268{,}73 \pm 38{,}1\) г; 5) \(F_{max} = 0{,}638 \pm 0{,}00638\) Н; 6) \(F_n = 2{,}07 \pm 0{,}021\) Н; 7) \(F = 0{,}351 \pm 0{,}007\) Н.
Два шарика
Упругий шарик начинает свободно падать на горизонтальную поверхность с высоты. Спустя некоторое время вертикально вверх с уровня поверхности бросают второй шарик и включают часы. Удары шариков о поверхность — абсолютно упругие. На рисунке показан график зависимости проекции скорости первого шарика относительно второго, ось \(X\) направлена вертикально вверх, \(t_0 = 2{,}15\) с. Определите:
на какую максимальную высоту \(H_1\) поднимается над поверхностью первый шарик;
на какую максимальную высоту \(H_2\) поднимается над поверхностью второй шарик;
значение максимальной скорости \(V_{\max}\) на графике;
с какой начальной скоростью \(V_2\) был брошен вверх второй шарик;
какое минимальное время \(T\) должно было пройти с момента старта первого шарика до момента старта второго.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаОба шарика движутся с одинаковым ускорением \(g\), поэтому относительная скорость между ударами постоянна. Это и делает график кусочно-постоянным.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(H_1 = 90{,}592 \pm 0{,}997\) м; 2) \(H_2 = 22{,}648 \pm 0{,}249\) м; 3) \(V_{\max} = 42{,}136 \pm 0{,}46\) м/с; 4) \(V_2 = 21{,}068 \pm 0{,}23\) м/с; 5) \(T = 6{,}449 \pm 0{,}071\) с.
Пружины на ступеньках
Из 9 одинаковых кубиков со стороной \(a=9\) см сложили пирамидку на твёрдой подставке. Плотность материала кубиков \(\rho=2\) г/см\(^3\). Сверху на кубики и на подставку опираются невесомые пружины, скреплённые невесомыми стержнями со свободно вращающимися шарнирами в точках крепления. Плечи у рычагов, к которым крепятся пружины, одинаковы. Жёсткость самой верхней (красной) пружины \(k=357\) Н/м. Сверху к конструкции приложили силу \(F_0=157\) Н. Величина деформации у каждой из пружин оказалась одинаковой.
Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Определите:
Силу \(F\), действующую на подставку со стороны нижней (голубой) пружины.
Эквивалентную жёсткость \(K_0\) конструкции.
Давление \(P_1\), которое зелёный кубик оказывает на стол.
Жёсткость \(K_2\) жёлтой пружины.
Давление \(P_2\), которое жёлтый кубик оказывает на стол.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила, приходящаяся на шарнир, делится поровну между двумя одинаковыми плечами рычага, и на каждом уровне она уменьшается вдвое. Деформация всех пружин одинакова, поэтому жёсткость системы выражается через жёсткость верхней пружины.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(19{,}625 \pm 0{,}02\) Н; 2) \(178{,}5 \pm 0{,}18\) Н/м; 3) \(4186{,}84 \pm 4{,}19\) Па; 4) \(89{,}25 \pm 0{,}09\) Н/м; 5) \(8373{,}68 \pm 8{,}37\) Па.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. Рычаги горизонтальны и их плечи одинаковы, поэтому сила, приложенная к шарниру, делится между двумя плечами поровну. На каждом из трёх уровней рычагов сила, действующая на плечо, уменьшается вдвое, и для нижней (голубой) пружины получаем \[F = \frac{F_0}{8} \approx 19{,}625~\text{Н}.\]
2. Деформация \(x\) у всех пружин одинакова. Для верхней (красной) пружины \(F_0 = kx\). Суммарная жёсткость конструкции при общей деформации \(2x\) по отношению к приложенной силе даёт \[K_0 = \frac{F_0}{2x} = \frac{k}{2} \approx 178{,}5~\text{Н/м}.\]
3. На зелёный кубик сверху действует сила \(F_0/8\), а масса кубика \(m = \rho a^3 = 1{,}458\) кг. Давление на стол \[P_1 = \frac{F_0/8 + mg}{a^2} = \frac{19{,}625 + 14{,}29}{0{,}0081\ \text{м}^2} \approx 4186{,}8~\text{Па}.\]
4. На жёлтую пружину действует сила \(F_0/4\), а её деформация \(x\) такая же, как у верхней пружины. Поэтому \[K_2 = \frac{F_0/4}{x} = \frac{k}{4} \approx 89{,}25~\text{Н/м}.\]
5. Жёлтый кубик несёт силу \(F_0/4\) и вес кубиков, опирающихся на него; по официальному решению это \(2mg\). Давление \[P_2 = \frac{F_0/4 + 2mg}{a^2} \approx 8373{,}7~\text{Па}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Пружины на ступеньках
Из 9 одинаковых кубиков со стороной \(a=9\) см сложили пирамидку на твёрдой подставке. Плотность материала кубиков \(\rho=2\) г/см\(^3\). Сверху на кубики и на подставку опираются невесомые пружины, скреплённые невесомыми стержнями со свободно вращающимися шарнирами в точках крепления. Плечи у рычагов, к которым крепятся пружины, одинаковы. Жёсткость самой верхней (красной) пружины \(k=357\) Н/м. Сверху к конструкции приложили силу \(F_0=157\) Н. Величина деформации у каждой из пружин оказалась одинаковой.
Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Определите:
Силу \(F\), действующую на подставку со стороны нижней (голубой) пружины.
Эквивалентную жёсткость \(K_0\) конструкции.
Давление \(P_1\), которое зелёный кубик оказывает на стол.
Жёсткость \(K_2\) жёлтой пружины.
Давление \(P_2\), которое жёлтый кубик оказывает на стол.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила, приходящаяся на шарнир, делится поровну между двумя одинаковыми плечами рычага, и на каждом уровне она уменьшается вдвое. Деформация всех пружин одинакова, поэтому жёсткость системы выражается через жёсткость верхней пружины.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(19{,}625 \pm 0{,}0196\) Н; 2) \(178{,}5 \pm 0{,}1785\) Н/м; 3) \(4186{,}8 \pm 4{,}2\) Па; 4) \(89{,}25 \pm 0{,}09\) Н/м; 5) \(8373{,}68 \pm 8{,}37\) Па.
Грузы на вращающемся стержне
Два груза, массой \(m_1 = 0{,}24\) кг и \(m_2 = 0{,}5\) кг, могут скользить без трения по горизонтальному стержню. Грузы соединены пружиной, имеющей жёсткость \(k = 59\) Н/м и длину в недеформированном состоянии \(L_0 = 0{,}42\) м. (Размеры грузов малы по сравнению с \(L_0\)). Стержень вращается с угловой скоростью \(\omega = 7{,}3\) рад/с вокруг вертикальной оси. Положение грузов таково, что они не скользят по стержню. Определите:
величину деформации пружины (\(x\));
расстояние от центра первого груза до оси вращения (\(R_1\));
линейную скорость движения второго груза (\(V_2\));
кинетическую энергию движения грузов (\(E_к\)).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(x = 7{,}204 \pm 0{,}086\) см; 2) \(R_1 = 33{,}23 \pm 0{,}40\) см; 3) \(V_2 = 1{,}1646 \pm 0{,}014\) м/с; 4) \(E_к = 1{,}0458 \pm 0{,}0126\) Дж.
Брусок на доске у упора
Брусок массой \(m_1 = 0{,}8\) кг и длиной \(L_1 = 13{,}1\) см кладут на край доски массой \(m_2 = 5{,}9\) кг и длиной \(L_2 = 1{,}37\) м, лежащей на горизонтальной, идеально гладкой плите. Коэффициент трения между поверхностями бруска и доски \(\mu = 0{,}27\). На противоположном конце доски закреплён вертикальный упор. Определите:
какую минимальную скорость \(V_1\) необходимо сообщить бруску вдоль доски, чтобы после абсолютно упругого удара об упор он вернулся в начальное положение относительно доски и затем свалился с неё;
какую скорость \(V_2\) будет иметь доска относительно плиты в момент начала падения бруска;
сколько процентов \(X\) начальной кинетической энергии бруска перейдёт в тепловую из-за трения о доску.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 3{,}9085 \pm 0{,}051\) м/с; 2) \(V_2 = 0{,}46668 \pm 0{,}0061\) м/с; 3) \(X = 88{,}03 \pm 1{,}14\) %.
Грузы на стержне
Два груза, массой \(m_1=0{,}25\) кг и \(m_2=0{,}58\) кг, могут скользить без трения по горизонтальному стержню. Грузы соединены пружиной, имеющей жёсткость \(k=60\) Н/м и длину в недеформированном состоянии \(L_0=0{,}37\) м. (Размеры грузов малы по сравнению с \(L_0\)). Стержень вращается с угловой скоростью \(\omega=6{,}9\) рад/c вокруг вертикальной оси. Положение грузов таково, что они не скользят по стержню. Определите:
величину деформации пружины \(x\);
расстояние от центра первого груза до оси вращения \(R_1\);
линейную скорость движения второго груза \(V_2\);
кинетическую энергию движения грузов \(E_к\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКакая сила сообщает каждому грузу центростремительное ускорение? Подумайте, где относительно оси вращения должен лежать центр масс грузов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(x = 5{,}952 \pm 0{,}071\) см; 2) \(R_1 = 30{,}00 \pm 0{,}36\) см; 3) \(V_2 = 0{,}892 \pm 0{,}011\) м/с; 4) \(E_к = 0{,}7670 \pm 0{,}0092\) Дж.
Две пружины
Имеется: неподписанная синяя гиря неизвестной массы; чёрная невесомая обычная пружина, у которой возвращающая сила при отклонении \(x\) от недеформированного состояния пружины \(F_1 = -k_1 x\); синяя нелинейная пружина, у которой возвращающая сила при отклонении \(x\) от недеформированного состояния пружины \(F_2 = -k_1 x - k_2 x^2\); штатив, в лапку которого (зажим) можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири различной массы, масса этих гирь указана в граммах. Определите:
коэффициент упругости пружины \(k_1\);
коэффициент нелинейности пружины \(k_2\);
величину \(X_1\) упругой деформации чёрной пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё синей гири;
величину \(X_2\) упругой деформации синей пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё синей гири;
массу \(M\) синей гири.
\(k_1\), \(X_1\) и \(X_2\) определите с точностью до сотых, остальные величины — с точностью до десятых. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля синей пружины условие равновесия гири: \(Mg = k_1 X + k_2 X^2\). Сравнивая положения равновесия при разных гирях, найдите коэффициенты, а затем массу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 19{,}9 \pm 0{,}05\) Н/м; 2) \(k_2 = 65 \pm 0{,}4\) Н/м\(^2\); 3) \(X_1 = 16{,}008 \pm 0{,}08\) см; 4) \(X_2 = 11{,}608 \pm 0{,}08\) см; 5) \(M = 325{,}05 \pm 1{,}5\) г.
Автомобиль и велосипедисты
Две дороги пересекаются под прямым углом. Автомобиль, находящийся на расстоянии \(S = 874\) м от перекрёстка, начинает двигаться к нему со скоростью \(U = 25\) м/с. Одновременно из точки, находящейся на расстоянии \(a\) от перекрёстка на другой дороге, выезжают два велосипедиста. Первый движется со скоростью \(V = 15\) м/с к перекрёстку, второй — с такой же по величине скоростью в противоположном направлении. На минимальном расстоянии от второго велосипедиста автомобиль оказался на \(\Delta t = 14{,}8\) с раньше, чем от первого. При этом автомобиль проезжает перекрёсток раньше велосипедиста. Определите:
на каком расстоянии \(X\) находились велосипедисты и автомобиль в момент старта;
минимальное расстояние между автомобилем и первым велосипедистом \(S_1\);
путь \(L_2\), который успел проехать второй велосипедист к моменту, когда расстояние между ним и автомобилем стало минимальным;
минимальное расстояние между автомобилем и вторым велосипедистом \(S_2\).
Удар шаров
На идеально гладкой поверхности неподвижно лежат два одинаковых по размеру шара: синий массой \(m_1 = 3{,}1\) кг и красный массой \(m_2 = 10{,}8\) кг, шары соединены пружиной жёсткостью \(k = 102\) Н/м. Третий шар, такого же размера, массой \(m_0 = 3{,}1\) кг движется со скоростью \(V_0 = 5{,}2\) м/с вдоль прямой, соединяющей первые два шара, и абсолютно неупруго сталкивается с синим шаром. При этом длина пружины такая, что синий и красный шары при максимальном сжатии пружины не сталкиваются. Определите:
максимальную величину \(X\) деформации пружины (в сантиметрах);
максимальную скорость \(V_{2max}\) красного шара относительно земли;
через какой минимальный интервал времени \(T_1\) после удара векторы скорости синего и красного шаров относительно земли будут равны.
Движение брусков
Два бруска стоят на ровной горизонтальной поверхности стола, коэффициент трения между брусками и поверхностью \(\mu = 0{,}22\). Масса первого бруска \(m_1 = 6{,}2\) кг, а второго — \(m_2 = 2{,}8\) кг. Бруски соединяет невесомая, нерастяжимая нить, перекинутая через невесомые блоки. Нижний конец нити прикреплён к первому бруску невесомой пружиной жёсткостью \(k = 111\) Н/м. Верхний конец нити выбирают с силой \(F_1\), из-за этого второй брусок равномерно скользит по столу. Определите:
силу натяжения нити \(F_1\);
каким будет ускорение точки B (\(a_B\)), если сила натяжения нити увеличится и точка A будет двигаться с ускорением \(a_A = 0{,}8\) м/с\(^2\);
величину деформации пружины \(X\) в этом случае;
минимальную массу пластины \(m_0\), которую надо положить сверху на второй брусок, чтобы он стоял неподвижно, а первый брусок двигался с ускорением \(a_B\), если сила натяжения нити будет иметь необходимое для этого значение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_1 = 3{,}017 \pm 0{,}036\) Н; 2) \(a_B = 0{,}4 \pm 0{,}005\) м/с\(^2\); 3) \(X = 3{,}22 \pm 0{,}04\) см; 4) \(m_0 = 2{,}099 \pm 0{,}025\) кг.
Две капли
Две капли радиусами \(R_1 = 1{,}7\) мм и \(R_2 = 0{,}38\) мм оторвались от сосульки, висящей на крыше небоскрёба, с интервалом времени в \(T = 0{,}4\) с. Будем считать, что под действием силы тяжести и силы сопротивления воздуха капли движутся равноускоренно, пока не достигнут скорости \(V_{\max} = 11{,}4\) м/с, а затем — равномерно. Сила сопротивления пропорциональна площади сечения капли с коэффициентом \(C = 3{,}1\) кг/(м\(\cdot\)с\(^2\)). Определите:
ускорение \(a_1\) первой капли на равноускоренном участке;
путь \(S_2\), пройденный второй каплей за время разгона;
максимальное расстояние \(S\) между каплями во время полёта.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНа равноускоренном участке сила тяжести и сила сопротивления дают постоянное ускорение. Сопротивление растёт вместе с площадью сечения капли, а скорость выходит на постоянную величину, когда сила сопротивления уравновешивает силу тяжести.
Периметр, центр тяжести и масса плоского тела сложной формы
Имеется тело сложной формы с двумерной плотностью \(0{,}9\) г/см\(^2\), стоящее на столе. В рассматриваемом случае тело можно считать плоским. Найдите:
периметр \(L\) — с точностью до 2 мм;
минимальное расстояние \(R_{\min}\) от центра тяжести тела до его вершин (мест излома линии, ограничивающей тело) — с точностью до \(0{,}5\) мм;
максимальное расстояние \(R_{\max}\) от центра тяжести тела до его вершин — с точностью до \(0{,}5\) мм;
массу \(m\) тела — с точностью до 1 г;
силу \(F\), позволяющую медленно полностью поднять тело над столом — с точностью до сотых.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Тело можно подвешивать на штатив в любых точках тела, при этом ось, на которую закрепляется тело, видна в виде красной точки. Груз можно подвешивать к той же оси. Линейки можно перемещать, ухватившись «мышью» за центральную область, и вращать, ухватившись за окрашенный коричневым край линейки; возможны обычный режим и режим увеличительного стекла. Карандашом можно проводить линию вдоль линейки, приложенной к телу; стирательная резинка, отпущенная в области проведённой линии, после отпускания кнопки мыши удаляет эту линию.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЦентр тяжести лежит на вертикали, проходящей через точку подвеса; две разные точки подвеса дают его положение. Масса находится через двумерную плотность и площадь, а сила должна уравновесить вес тела.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 103{,}12 \pm 0{,}4\) см; 2) \(R_{\min} = 3{,}465 \pm 0{,}15\) см; 3) \(R_{\max} = 23{,}425 \pm 0{,}25\) см; 4) \(m = 187{,}2 \pm 6\) г; 5) \(F = 1{,}836 \pm 0{,}06\) Н.
Горка
Имеется горка с прямым углом в вершине. По ней при отключенном стопоре могут двигаться без трения два одинаковых ящика, массой которых можно пренебречь. В эти ящики можно складывать тела (в виде пластин). Масса пластин известной массы указана в граммах. Найдите:
максимальное расстояние \(L\), которое при движении может пройти ящик — с точностью до \(0{,}1\) мм;
массу \(m_1\) тела №1 — с точностью до 1 г;
массу \(m_2\) тела №2 — с точностью до 1 г;
массу \(m_3\) тела №3 — с точностью до 1 г;
отношение \(F_1/F_2\) сил натяжения нити — с точностью до сотых. В ящик на левой части горки положили тело №3, в ящик на правой — некие грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_1\) натяжения нити. Затем в ящик на правой части горки положили тело №3, в ящик на левой — грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_2\) натяжения нити.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Эхолот подключен к прибору, который может показывать график движения правого ящика. Наведение увеличительного стекла на область графика либо щелчок мышью по символу в правом верхнем углу прибора показывает график в увеличенном масштабе. Выделение мышью области графика позволяет увеличивать изображение выбранной области. Восстановить первоначальный масштаб графика можно движением справа налево снизу вверх либо пунктом «Восстановить масштаб» в контекстном меню.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЯщики без массы, поэтому сила натяжения нити определяется тем, что положено в ящик. Найдите, какой ящик опускается и где движение останавливается, и сравните условия равновесия в двух опытах.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 12{,}54 \pm 0{,}012\) см; 2) \(m_1 = 129{,}3 \pm 1\) г; 3) \(m_2 = 242{,}4 \pm 2\) г; 4) \(m_3 = 713 \pm 10\) г; 5) \(F_1/F_2 = 1{,}8756 \pm 0{,}018\).
Периметр, центр тяжести и масса плоского тела сложной формы
Имеется тело сложной формы с двумерной плотностью \(0{,}9\) г/см\(^2\), стоящее на столе. В рассматриваемом случае тело можно считать плоским. Найдите:
периметр \(L\) — с точностью до 2 мм;
минимальное расстояние \(R_{\min}\) от центра тяжести тела до его вершин (мест излома линии, ограничивающей тело) — с точностью до \(0{,}5\) мм;
максимальное расстояние \(R_{\max}\) от центра тяжести тела до его вершин — с точностью до \(0{,}5\) мм;
массу \(m\) тела — с точностью до 1 г;
силу \(F\), позволяющую медленно полностью поднять тело над столом — с точностью до сотых.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Тело можно подвешивать на штатив в любых точках тела, при этом ось, на которую закрепляется тело, видна в виде красной точки. Груз можно подвешивать к той же оси. Линейки можно перемещать, ухватившись «мышью» за центральную область, и вращать, ухватившись за окрашенный коричневым край линейки; возможны обычный режим и режим увеличительного стекла. Карандашом можно проводить линию вдоль линейки, приложенной к телу; стирательная резинка, отпущенная в области проведённой линии, после отпускания кнопки мыши удаляет эту линию.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЦентр тяжести лежит на вертикали, проходящей через точку подвеса; две разные точки подвеса дают его положение. Масса находится через двумерную плотность и площадь, а сила должна уравновесить вес тела.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 105{,}8 \pm 0{,}4\) см; 2) \(R_{\min} = 3{,}72 \pm 0{,}15\) см; 3) \(R_{\max} = 24{,}025 \pm 0{,}25\) см; 4) \(m = 192{,}6 \pm 6\) г; 5) \(F = 1{,}884 \pm 0{,}06\) Н.
Горка
Имеется горка с прямым углом в вершине. По ней при отключенном стопоре могут двигаться без трения два одинаковых ящика, массой которых можно пренебречь. В эти ящики можно складывать тела (в виде пластин). Масса пластин известной массы указана в граммах. Найдите:
максимальное расстояние \(L\), которое при движении может пройти ящик — с точностью до \(0{,}1\) мм;
массу \(m_1\) тела №1 — с точностью до 1 г;
массу \(m_2\) тела №2 — с точностью до 1 г;
массу \(m_3\) тела №3 — с точностью до 1 г;
отношение \(F_1/F_2\) сил натяжения нити — с точностью до сотых. В ящик на левой части горки положили тело №3, в ящик на правой — некие грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_1\) натяжения нити. Затем в ящик на правой части горки положили тело №3, в ящик на левой — грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_2\) натяжения нити.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Эхолот подключен к прибору, который может показывать график движения правого ящика. Наведение увеличительного стекла на область графика либо щелчок мышью по символу в правом верхнем углу прибора показывает график в увеличенном масштабе. Выделение мышью области графика позволяет увеличивать изображение выбранной области. Восстановить первоначальный масштаб графика можно движением справа налево снизу вверх либо пунктом «Восстановить масштаб» в контекстном меню.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЯщики без массы, поэтому сила натяжения нити определяется тем, что положено в ящик. Найдите, какой ящик опускается и где движение останавливается, и сравните условия равновесия в двух опытах.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 13{,}7868 \pm 0{,}012\) см; 2) \(m_1 = 113{,}3 \pm 1\) г; 3) \(m_2 = 212{,}4 \pm 2\) г; 4) \(m_3 = 622 \pm 10\) г; 5) \(F_1/F_2 = 1{,}8756 \pm 0{,}018\).
Плоское тело сложной формы
Имеется тело сложной формы с двумерной плотностью \(1{,}1\) г/см\(^2\), стоящее на столе. В рассматриваемом случае тело можно считать плоским. Найдите:
минимальное расстояние \(R_{min}\) от центра тяжести тела до его вершин (мест излома линии, ограничивающей тело), с точностью до \(0{,}5\) мм;
максимальное расстояние \(R_{max}\) от центра тяжести тела до его вершин, с точностью до \(0{,}5\) мм;
силу \(F\), позволяющую медленно полностью поднять тело над столом, с точностью до сотых;
минимальную силу \(F_1\), действующую на тело в какой-либо точке вертикально вверх, позволяющую приподнять левый нижний угол тела над столом, с точностью до сотых;
минимальную силу \(F_2\), действующую на тело в какой-либо точке, позволяющую приподнять левый нижний угол тела над столом, с точностью до сотых.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Проскальзывания тела о стол нет. Тело можно подвешивать на штатив в любых точках тела, при этом ось, на которую закрепляется тело, видна в виде красной точки. Груз можно подвешивать к той же оси. Линейки можно перемещать, ухватившись «мышью» за центральную область. Линейки можно вращать, ухватившись за окрашенный коричневым край линейки. Вращение и перемещение линеек возможны как в обычном режиме, так и в режиме действия увеличительного стекла. Карандашом можно проводить линию вдоль линейки, приложенной к телу (линия становится видна, если убрать линейку). Стирательная резинка, отпущенная в области проведённой линии, после отпускания кнопки мыши удаляет эту линию.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЦентр тяжести плоского тела лежит на вертикали через точку подвеса в положении равновесия: подвесьте тело в разных точках и проведите вертикали.
Машинка на катере
Катер плывёт вдоль берега по прямому участку реки. Скорость течения реки \(U = 0{,}16\) м/с. На палубе в направлении вдоль берега запускают игрушечную машинку. На рисунке показана зависимость проекции скорости машинки относительно катера и относительно берега от времени. \(V_1 = 0{,}61\) м/с, \(V_2 = 0{,}31\) м/с, \(t_0 = 8{,}8\) с. Определите проекцию на ось \(Ox\), направленную вдоль течения реки:
ускорения машинки относительно катера (\(a_{1X}\));
ускорения катера относительно воды (\(a_{2X}\));
начальной скорости машинки относительно катера (\(V_{KX}\));
начальной скорости катера относительно воды (\(V_{BX}\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПрочитайте по графику начальные значения и наклоны обеих зависимостей. Скорость катера относительно берега получается сложением двух относительных скоростей; от неё переходят к скорости относительно воды, вычитая скорость течения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a_{1X} = -6{,}93\) см/с\(^2\); 2) \(a_{2X} = 10{,}45\) см/с\(^2\); 3) \(V_{KX} = 0{,}61\) м/с; 4) \(V_{BX} = -1{,}08\) м/с.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. По графику определяем зависимость от времени проекции скорости машинки относительно катера: \[V_{MKX} = V_1 - \frac{V_1}{t_0}\,t \qquad (1)\] и проекции скорости машинки относительно берега: \[V_{M\text{Б}X} = -V_2 + \frac{V_2}{t_0}\,t \qquad (2).\] Изменив знаки в уравнении (1), получим зависимость от времени проекции скорости катера относительно машинки: \[V_{KMX} = -V_1 + \frac{V_1}{t_0}\,t \qquad (3).\] Сложив (2) и (3), получим зависимость проекции скорости катера относительно берега от времени: \[V_{K\text{Б}X} = -V_1 - V_2 + \left(\frac{V_1}{t_0} + \frac{V_2}{t_0}\right) t \qquad (4).\]
2. Согласно (1), проекция ускорения машинки относительно катера \[a_{1X} = -\frac{V_1}{t_0} = -6{,}93~\text{см/с}^2,\] а проекция начальной скорости машинки относительно катера \[V_{KX} = V_1 = 0{,}61~\text{м/с}.\]
3. Согласно (4), проекция ускорения катера относительно берега \[a_{2X} = \frac{V_1}{t_0} + \frac{V_2}{t_0} = 10{,}45~\text{см/с}^2.\]
4. Ось \(OX\) направлена по течению реки, поэтому для того, чтобы определить начальную скорость катера относительно воды, необходимо из проекции скорости катера относительно берега вычесть скорость течения реки. Используя (4), определяем \[V_{BX} = -V_1 - V_2 - U = -1{,}08~\text{м/с}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Зелёная волна
На проспекте длиной \(L=12{,}2\) км от первого светофора до последнего настроена «зелёная волна». Автомобиль, проезжающий по разрешающему сигналу первого светофора, сможет проехать все светофоры без остановки, если он движется со скоростью \(V_a=54{,}6\) км/ч. Разрешающий сигнал светофора горит \(t_1=82\) с, а запрещающий \(t_2=60\) с. Весь транспорт движется с соблюдением правил. Определите:
Верхнюю границу \(V_{\max}\) непрерывного интервала скоростей, содержащего \(V_a\), двигаясь с которыми, можно проехать весь проспект без остановок в режиме «зелёной волны».
Нижнюю границу \(V_{\min}\) этого интервала скоростей.
Мотоциклист хочет ехать быстрее, чем \(V_{\max}\). Какова при этом наименьшая скорость \(V_{\text{м}}\), с которой он может проскочить без остановки хотя бы первые два светофора (расстояние между ними \(S=4{,}5\) км)?
Поливомоечная машина едет с постоянной скоростью медленнее, чем \(V_{\min}\). Какова наибольшая скорость \(V_{\text{п}}\), с которой она может проехать без остановки хотя бы первые два светофора?
Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСколько времени нужно автомобилю, чтобы проехать весь проспект? Сравните это время с периодами горения сигналов: при каком времени старта машина попадает в окно зелёного света каждого светофора?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{\max} \approx 16{,}9\) м/с; 2) \(V_{\min} \approx 13{,}8\) м/с; 3) \(V_{\text{м}} \approx 19{,}0\) м/с; 4) \(V_{\text{п}} \approx 12{,}6\) м/с.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. Границы интервала скоростей. Автомобиль, движущийся с максимальной скоростью, стартует непосредственно перед выключением зелёного сигнала первого светофора, а прибывает в точку с координатой \(L\) сразу после включения зелёного сигнала последнего. Поэтому \[V_{\max} = \dfrac{L}{\dfrac{L}{V_a} - t_1} = 16{,}9~\text{м/с}.\] Автомобиль, движущийся с минимальной скоростью, стартует сразу после включения зелёного сигнала первого светофора, а последний проезжает непосредственно перед выключением зелёного сигнала. Поэтому \[V_{\min} = \dfrac{L}{\dfrac{L}{V_a} + t_1} = 13{,}8~\text{м/с}.\] На графиках зависимости координаты автомобилей от времени наклонные пунктирные линии соответствуют движению со скоростью \(V_a\). Проезжать светофоры можно, попадая в полосы шириной \(t_1\). Прямая (1) соответствует движению с \(V_{\max}\), а прямая (2) — с \(V_{\min}\).
2. Мотоциклист проезжает первый светофор в момент включения зелёного сигнала, а ко второму подъезжает непосредственно перед выключением зелёного сигнала в предыдущем разрешённом интервале времени. \[V_{\text{м}} = \dfrac{S}{\dfrac{S}{V_a} - t_2} = 19{,}0~\text{м/с}.\] Движению мотоциклиста соответствует прямая (3) на рисунке.
3. Поливомоечная машина проезжает первый светофор непосредственно перед выключением зелёного сигнала, а ко второму подъезжает к началу следующего разрешённого промежутка времени. Движению машины соответствует прямая (4) на рисунке. \[V_{\text{п}} = \dfrac{S}{\dfrac{S}{V_a} + t_2} = 12{,}6~\text{м/с}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Пружина и спичка
Имеется два шарика и пружина, которую можно сжимать и перетягивать в таком состоянии ниткой, нажимая на красную точку в левой части пружины и перетаскивая её (в том числе при использовании увеличительного стекла). Сжатую пружину можно класть на пьедестал. В случае, когда пружина лежит на пьедестале, нитку можно пережигать с помощью спички. Коэффициент жёсткости пружины равен \(45{,}9\) Н/м. Высота левой ступеньки равна \(28{,}1\) см.
Определите с точностью до десятых высоту правой ступеньки и с точностью до целых массы шариков.
Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, а также перемещать в этом состоянии нитку, стягивающую пружину, и линейку. Щелчок мышью в любом другом месте экрана возвращает первоначальный масштаб.
Задания модели можно переделывать, но за каждую повторную отсылку на сервер назначается до 3 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЭнергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию шариков, а дальше они летят с ступеньки как брошенные тела; сравните их дальности и высоты полёта.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветВысота правой ступеньки \(26{,}112\pm0{,}51\) см; масса шарика 1 \(88{,}8\pm6\) г; масса шарика 2 \(61{,}5\pm3\) г.
Система блоков
Из \(N\) подвижных (нижние) и \(N\) неподвижных блоков (верхние) собран механизм, показанный на рисунке, \(N=24\). Блоки и скрепляющие их стержни можно считать невесомыми, а стержни — жёстко скреплёнными. Определите:
максимальную массу груза \(m\), который можно поднять, если тянуть за верёвку с силой \(F=350\) Н;
на какую высоту \(h\) поднимется груз, если выбрать верёвку на длину \(L=28\) м.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСила натяжения верёвки одинакова на всех её участках, а стержни жёстко связывают блоки: сравните, сколько участков верёвки тянут груз, и как связаны длины участков с подъёмом.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m=1714{,}3\pm0{,}5\) кг; 2) \(h=58{,}333\pm0{,}11\) см.
Скорость системы катеров
Имеется два одинаковых катера с разными двигателями. Сила тяги каждого двигателя в процессе движения постоянна и не зависит от сопротивления среды и наличия или отсутствия у катера прицепа. Максимальная скорость первого катера равна \(8{,}6\) м/с, второго — \(5{,}6\) м/с. Когда первый катер буксирует второй, и двигатель второго выключен, сила натяжения буксировочного троса составляет \(8{,}8\) кН.
Считая, что сила сопротивления воды прямо пропорциональна скорости, найдите:
скорость системы, когда первый катер буксирует второй и двигатель второго выключен;
скорость системы, когда первый катер буксирует второй и работают оба двигателя;
силу натяжения троса, когда первый катер буксирует второй, и работают оба двигателя.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри установившемся движении сила тяги уравновешивается силой сопротивления, пропорциональной скорости; у каждого катера свой коэффициент сопротивления, выразите его через максимальную скорость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(4{,}299\pm0{,}03\) м/с; 2) \(7{,}101\pm0{,}03\) м/с; 3) \(3{,}069\pm0{,}03\) кН.
Машина Атвуда и датчик координаты
Гири и тела могут быть прицеплены к крючку нити на машине Атвуда, а также к другим гирям, уже висящим на крючке — для этого их необходимо поднести к крючку или к нижней части висящей гири и отпустить. Положение нити (в том числе с подвешенными на ней грузами) можно изменять с помощью перетаскивания нити мышью. Щелчок мыши по красной кнопке в верхней части машины Атвуда выключает или включает прижим диска, при выключении прижима индикаторы сбрасываются в ноль.
Ультразвуковой датчик координаты вмонтирован в правую часть подставки машины Атвуда. Цифровой прибор показывает на экране график зависимости от времени расстояния от датчика до нижней части подвешенного на нити груза.
Определите с точностью до сотых высоту гири №1 (учитывая крючки), то есть расстояние от нижней поверхности этой гири до нижней поверхности гири, к которой её подвешивают, и таким же образом высоту гири №2, а также с точностью до десятой массы этих гирь, и отошлите результаты на сервер. В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
Просмотр экрана прибора после окончания измерений под увеличительным стеклом или в режиме максимизации окна прибора позволяет увидеть масштабную сетку и масштабировать графики, выделяя произвольное число раз необходимые участки. Задания можно переделывать, но за каждую повторную отсылку результатов на сервер назначается до 4 штрафных баллов. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе нужный участок экрана. Щелчок мышью в любом месте экрана возвращает первоначальный масштаб.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПо графику расстояния от времени найдите ускорение системы при движении грузов; высоты гирь получаются из времени и пути, а массы — из ускорений при разных подвесах.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветВысота гири №1: \(2{,}6202\pm0{,}011\) см; высота гири №2: \(6{,}1798\pm0{,}011\) см; масса гири №1: \(25{,}5\pm1{,}5\) г; масса гири №2: \(186{,}45\pm1{,}5\) г.
Система блоков
Из \(N\) подвижных (нижние) и \(N\) неподвижных блоков (верхние) собран механизм, показанный на рисунке, \(N=17\). Блоки и скрепляющие их стержни можно считать невесомыми, а стержни — жёстко скреплёнными. Определите:
максимальную массу груза \(m\), который можно поднять, если тянуть за верёвку с силой \(F=580\) Н;
на какую высоту \(h\) поднимется груз, если выбрать верёвку на длину \(L=14\) м.
Ответы вводите с точностью до десятых. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДля идеального блочного механизма выигрыш в силе и выигрыш в пути связаны законом сохранения энергии. Сосчитайте, сколько верёвочных участков тянет груз.
Четыре осколка бомбы
Бомба, падающая вертикально вниз со скоростью \(V=25{,}3\) м/с, на некоторой высоте \(h\) над землёй разрывается на четыре одинаковых осколка. Первые два осколка упали на землю симметрично относительно линии падения бомбы спустя \(t_1=11{,}2\) с после взрыва на расстоянии \(S_1=1043\) м друг от друга, вторые два — спустя \(t_2=32\) с. Определите:
скорость относительно земли первых двух осколков непосредственно после взрыва \(V_1\);
скорость относительно земли вторых двух осколков непосредственно после взрыва \(V_2\);
высоту \(h\), на которой произошёл взрыв;
расстояние \(S_2\), на которое разлетелись вторые два осколка.
В ответ скорости \(V_1\) и \(V_2\) вводите с точностью до десятых, высоту \(h\) и расстояние \(S_2\) — с точностью до целых. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗакон сохранения импульса в горизонтальной плоскости: симметричная пара осколков разлетается с равными и противоположными горизонтальными скоростями. Вертикальная составляющая скорости сохраняется по обоим направлениям через время полёта.
Скорость системы при буксировке катером
Имеется два одинаковых катера с разными двигателями. Сила тяги каждого двигателя в процессе движения постоянна и не зависит от сопротивления среды и наличия или отсутствия у катера прицепа. Максимальная скорость первого катера равна \(7{,}2\) м/с, второго — \(4{,}2\) м/с. Когда первый катер буксирует второй, и двигатель второго выключен, сила натяжения буксировочного троса составляет \(8{,}2\) кН. Считая, что сила сопротивления воды прямо пропорциональна скорости, найдите:
скорость системы, когда первый катер буксирует второй и двигатель второго выключен;
скорость системы, когда первый катер буксирует второй и работают оба двигателя;
силу натяжения троса, когда первый катер буксирует второй, и работают оба двигателя.
Ответы привести с точностью до сотых. Трос считать невесомым и достаточно длинным (так что движение воды за первым катером не затрагивает второй катер).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри установившемся движении сила тяги уравновешена сопротивлением, пропорциональным скорости: тяга одного двигателя связана с его максимальной скоростью.
Минимальный путь точки за вторую секунду
Материальная точка начинает движение вдоль оси \(OX\) равнозамедленно с некоторой начальной скоростью и ускорением, равным по модулю \(6{,}6\) м/с\(^2\). Во время движения ускорение не меняется. При какой начальной скорости (с точностью до сотых) точка пройдёт минимальный путь за вторую секунду движения? Чему равен (с точностью до сотых) этот путь? Чему равно (с точностью до сотых) в этом случае перемещение за первые две секунды движения?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПуть и перемещение за секунду совпадают, пока точка не меняет направления; подумайте, когда точка останавливается и разворачивается внутри второй секунды.
Определение параметров кубов с помощью датчика координаты
Гири и тела (кубы) могут быть прицеплены к крючку нити на машине Атвуда, а также к другим гирям, уже висящим на крючке — для этого их необходимо поднести к крючку или к нижней части висящей гири и отпустить. Ультразвуковой датчик координаты вмонтирован в правую часть подставки машины Атвуда. Цифровой прибор показывает на экране график зависимости от времени расстояния от датчика до нижней части подвешенного на нити груза.
Определите с точностью до тысячных величину ускорения, с которым будет двигаться куб №1, если его подвесить на нить машины Атвуда, на которой с двух сторон уже висят \(200\)-граммовые гири, и отпустить стопор. Также определите с точностью до десятой массы обоих кубов, и отошлите результаты на сервер.
В промежуточных вычислениях сохраняйте не менее 4 значащих цифр. Ускорение свободного падения считайте равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПо графику расстояния от времени найдите ускорение, а затем запишите второй закон Ньютона для системы грузов на нити, перекинутой через блок.
Два маятника
На нитях длиной \(L=1{,}9\) м висят два абсолютно упругих шарика одинакового радиуса, масса первого \(m_1=1{,}9\) кг, масса второго \(m_2=5{,}5\) кг. В положении равновесия шарики соприкасаются. В начальный момент времени первый шарик отводят на угол \(\alpha=16^\circ\) и отпускают (см. рисунок). Определите:
энергию \(E_1\) первого шарика сразу после второго столкновения;
через какой минимальный интервал времени \(T\) после начала движения первый шарик вновь окажется в точке старта.
Столкновение тележек на наклонном рельсе
Тележки можно установить в нижней или верхней части наклонного рельса, при этом они автоматически закрепятся электромагнитами.
Масса первой тележки равна \(100\) г. Определите:
массу второй тележки;
модуль ускорения \(a\), с которым тележки движутся по рельсу;
кинетическую энергию \(E_1\) первой тележки непосредственно перед столкновением тележек друг с другом, если первую тележку установить на левом конце рельса, вторую — на правом, и отключить электромагниты.
Брусок на горизонтальной поверхности
Однородный брусок массой \(m=2{,}2\) кг поставили на горизонтальную плоскость. Высота бруска \(h=17{,}1\) см, основание представляет собой квадрат со стороной \(b=12\) см. Определите:
при каком максимальном значении коэффициента трения \(\mu_1\) брусок может скользить, не переворачиваясь, под действием горизонтальной силы, приложенной к его верхнему ребру (см. рис.);
чему равна величина этой силы \(F_1\);
брусок переставили на другую горизонтальную плоскость. Теперь коэффициент трения между соприкасающимися поверхностями \(\mu_2=0{,}53\). Какой минимальной силой \(F_2\) можно теперь опрокинуть брусок через ребро? Подумайте, куда необходимо приложить эту силу;
какой угол \(\alpha\) будет составлять эта сила с горизонтом в начале движения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\mu_1 = 0{,}3509 \pm 0{,}011\); 2) \(F_1 = 7{,}565 \pm 0{,}05\) Н; 3) \(F_2 = 6{,}19 \pm 0{,}05\) Н; 4) \(\alpha = 0{,}6116 \pm 0{,}011\) рад.
Минимальный путь материальной точки
На материальную точку массой \(m=1{,}6\) кг действует постоянная сила \(F=4{,}1\) Н. Какой минимальный путь может пройти точка за время \(t=3{,}2\) с? Какова при этом должна быть величина начальной скорости точки и величина её начального импульса? Значения вводите с точностью до сотых.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S_\text{мин} = 6{,}5595 \pm 0{,}015\) м; 2) \(v_0 = 4{,}0995 \pm 0{,}015\) м/с; 3) \(p_0 = 6{,}56 \pm 0{,}05\) Н\(\cdot\)с.
Горка с желобом
Имеется горка с прозрачным желобом, состоящим из линейного участка и дуги окружности, касательная к которой в правой точке дуги вертикальна. В желоб можно положить маленький железный шарик (лежит на столе справа от горки). При соскальзывании шарика с горки силой трения можно пренебречь. Также имеются установленные на желобе электромагниты, которые можно включать и выключать, и оптические датчики движения, которые позволяют определить либо время от момента начала движения шарика до момента пересечения его центром жёлтой линии (соответствует координате центра датчика), либо скорость, с которой центр шарика проходит координату центра датчика. Левый электромагнит и левый датчик закреплены, правые — можно двигать вдоль желоба. Определите:
Угол наклона рельса (в радианах) — с точностью до десятитысячных.
Длину \(L\) линейного участка горки — с точностью до сотых.
Первоначальное расстояние \(D\) между центрами электромагнитов — с точностью до сотых.
Радиус \(R\) дуги дна правой части желоба — с точностью до сотых.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\alpha = 0{,}231 \pm 0{,}0015\) рад; 2) \(L = 28{,}38 \pm 0{,}15\) см; 3) \(D = 18{,}555 \pm 0{,}15\) см; 4) \(R = 11{,}76 \pm 0{,}35\) см.
Шарик и плита
Массивная плита движется вверх со скоростью \(V=2{,}1\) м/с. В момент начала отсчёта времени небольшому шарику, находящемуся на плите, сообщают относительно земли скорость \(V_0=11{,}6\) м/с, направленную вертикально вверх. Считайте, что масса шарика во много раз меньше массы плиты, а удары шарика о плиту — абсолютно упругие. Определите:
Сколько времени пройдёт от старта шарика до того, как он ударится о плиту в 6-й раз \(T_N\);
скорость шарика относительно земли сразу после того, как он отскочит от плиты в 7-й раз \(V_Z\);
максимальное расстояние \(H\), на которое шарик удалится от плиты после удара с номером 4;
расстояние \(L\) от плиты до шарика в момент, когда он поднимется на максимальную высоту относительно земли во время полёта от удара с номером 6 до удара с номером 7.
Ответы вводите с точностью до сотых. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУдары абсолютно упругие, поэтому в системе отсчёта плиты шарик отскакивает с той же по модулю скоростью. Переходите в систему плиты, а в ней движение шарика между ударами — равноускоренное.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(T_N = 11{,}6325 \pm 0{,}05\) с; 2) \(V_Z = 11{,}6 \pm 0{,}05\) м/с; 3) \(H = 4{,}6046 \pm 0{,}02\) м; 4) \(L = 4{,}3791 \pm 0{,}02\) м.
Горка с желобом
Имеется горка с прозрачным желобом, состоящим из линейного участка и дуги окружности, касательная к которой в правой точке дуги вертикальна. В желоб можно положить маленький железный шарик (лежит на столе справа от горки). При соскальзывании шарика с горки силой трения можно пренебречь. Также имеются установленные на желобе электромагниты, которые можно включать и выключать, и оптические датчики движения, которые позволяют определить либо время от момента начала движения шарика до момента пересечения его центром желтой линии (соответствует координате центра датчика), либо скорость, с которой центр шарика проходит координату центра датчика. Переключение осуществляется щелчком по соответствующей кнопке индикатора. Левый электромагнит и левый датчик закреплены, правые — можно двигать вдоль желоба. Определите:
Угол наклона рельса (в радианах) — с точностью до десятитысячных.
Длину \(L\) линейного участка горки — с точностью до сотых.
Первоначальное расстояние \(D\) между центрами электромагнитов — с точностью до сотых.
Радиус \(R\) дуги дна правой части желоба — с точностью до сотых.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\).
Если вы хотите вернуться к первоначальному состоянию системы, можно выйти из модели и заново в неё войти. При этом параметры системы не меняются (они меняются только при повторном залогинивании), все отосланные на сервер результаты сохраняются, а лишние штрафные баллы не начисляются. Но при отсылке результатов на сервер необходимо будет заново заполнять все значения результатов. В калькуляторе BARSIC можно использовать математические выражения вида \(1{,}5/(2\pi+7)\) и т.п., возведение в степень \((2\pi+7)^3\) и извлечение квадратного корня \(\sqrt{2\pi+7}\) или, что то же, \((2\pi+7)^{0{,}5}\). Также можно использовать тригонометрические функции \(\sin(2\pi+7)\), \(\cos(2\pi+7)\), \(\operatorname{tg}(2\pi+7)\) и обратные тригонометрические функции \(\arcsin(1/2)\), \(\arccos(0{,}5)\), \(\operatorname{arctg}(0{,}5)\) и т.д.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНа участке без трения скорость шарика находится из закона сохранения энергии, а время прохождения между датчиками даёт ускорение на наклонной части желоба.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\alpha = 0{,}231 \pm 0{,}0015\) рад; 2) \(L = 28{,}38 \pm 0{,}15\) см; 3) \(D = 18{,}555 \pm 0{,}15\) см; 4) \(R = 11{,}76 \pm 0{,}35\) см.
Груз и конический стержень
Однородный стержень конической формы массой \(m=190\) г, толщиной толстого конца которого можно пренебречь по сравнению с длиной стержня, можно уравновесить в горизонтальном положении на подставке, находящейся посередине, если на тонкий конец стержня положить груз массой \(m_1=34\) г. Найдите:
Какой массы \(m_2\) груз нужно положить на тонкий конец стержня для равновесия, если подставку расположить на расстоянии, равном \(0{,}28\) длины стержня от его тонкого конца. Ответ приведите в граммах с точностью до целых.
На каком расстоянии \(L_1\) от тонкого конца стержня надо поместить подставку, чтобы стержень находился в равновесии без груза? В ответе приведите отношение этого расстояния \(L_1\) к длине стержня \(L\) с точностью до тысячных.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз первого равновесия (стержень с грузом 34 г на тонком конце уравновешен на середине) найдите, где от середины лежит центр масс стержня. Дальше — правило моментов относительно новой подставки.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_2 = 210 \pm 1{,}5\) г; 2) \(L_1/L = 0{,}5894 \pm 0{,}002\).
Две шестерни и груз
На рисунке показаны две шестерни, которые соединены цепью массой \(M_0=0{,}58\) кг и могут вращаться без трения. Расстояние между осями вращения \(H=147\) см. Масса верхней шестерни \(M_1=5\) кг, радиус \(R_1=17\) см, масса нижней шестерни \(M_2=7{,}8\) кг, радиус \(R_2=34\) см. Можно считать, что масса шестерней распределена по ободу. Груз массой \(M=11\) кг прикреплён к верхней части цепи, изначально груз удерживают. Груз отпускают. Для момента времени \(t\), когда он прошёл расстояние \(X=112\) см, определите:
Скорость груза \(V\);
угловую скорость \(\omega_1\) вращения верхней шестерни;
угловую скорость \(\omega_2\) вращения нижней шестерни;
кинетическую энергию \(E\) системы.
Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Ответы вводите с точностью до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУдобно пользоваться законом сохранения энергии: убыль потенциальной энергии груза переходит в кинетическую энергию груза, цепи и шестерён. Скорость точек обода связана с угловой скоростью через радиус шестерни.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V = 3{,}135 \pm 0{,}11\) м/с; 2) \(\omega_1 = 18{,}447 \pm 0{,}11\) рад/с; 3) \(\omega_2 = 9{,}229 \pm 0{,}11\) рад/с; 4) \(E = 119{,}933 \pm 0{,}5\) Дж.
Соскальзывание шарика с горки
Имеется горка с прозрачным желобом, состоящим из линейного участка и дуги окружности, касательная к которой в правой точке дуги вертикальна. В желоб можно положить маленький железный шарик (лежит на столе справа от горки). При соскальзывании шарика с горки силой трения можно пренебречь. Также имеются установленные на желобе электромагниты, которые можно включать и выключать, и оптические датчики движения, которые позволяют определить либо время от момента начала движения шарика до момента пересечения его центром желтой линии (соответствует координате центра датчика), либо скорость, с которой центр шарика проходит координату центра датчика. Переключение осуществляется щелчком по соответствующей кнопке индикатора. Левый электромагнит и левый датчик закреплены, правые — можно двигать вдоль желоба. Определите:
Синус угла наклона рельса — с точностью до десятитысячных.
Длину \(L\) линейного участка горки — с точностью до сотых.
Первоначальное расстояние \(D\) между центрами электромагнитов — с точностью до сотых.
Радиус \(R\) дуги дна правой части желоба — с точностью до сотых.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\).
Если вы хотите вернуться к первоначальному состоянию системы, можно выйти из модели и заново в неё войти. При этом параметры системы не меняются (они меняются только при повторном залогинивании), все отосланные на сервер результаты сохраняются, а лишние штрафные баллы не начисляются. Но при отсылке результатов на сервер необходимо будет заново заполнять все значения результатов. В калькуляторе BARSIC можно использовать математические выражения вида \(1{,}5/(2\pi+7)\) и т.п., возведение в степень \((2\pi+7)^3\) и извлечение квадратного корня \(\sqrt{2\pi+7}\) или, что то же, \((2\pi+7)^{0{,}5}\). Также можно использовать тригонометрические функции \(\sin(2\pi+7)\), \(\cos(2\pi+7)\), \(\operatorname{tg}(2\pi+7)\) и т.д.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНа участке без трения скорость шарика находится из закона сохранения энергии, а время прохождения между датчиками даёт ускорение на наклонной части желоба.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(\sin\alpha = 0{,}22605 \pm 0{,}0015\); 2) \(L = 27 \pm 0{,}15\) см; 3) \(D = 19{,}425 \pm 0{,}15\) см; 4) \(R = 11{,}305 \pm 0{,}35\) см.
Найдите расстояние до сейсмодатчика
В фантастическом романе Гарри Гаррисона «Неукротимая планета» на планете Пирр ускорение свободного падения в два раза больше чем на Земле. Допустим, что герой романа Язон дин Альт уронил камень в пропасть глубиной \(h=185\) м, а сейсмодатчик, расположенный на поверхности Пирра на расстоянии \(L=1{,}95\) км от пропасти, сработал через \(t=5{,}3\) с после этого. Второй раз датчик сработал спустя \(t_1=3{,}5\) с после первого срабатывания за счёт того, что до него по воздуху дошёл звук от удара. Известно, что ускорение свободного падения у поверхности Земли \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Определите:
Скорость звука \(v\) в грунте Пирра.
Скорость звука \(v_1\) в воздухе Пирра.
На какую высоту вертикально вверх подскочит осколок камня, отколовшийся при ударе камня о дно пропасти, если к нему перешло \(n=0{,}17\) энергии всего камня, а масса осколка составляет \(k=0{,}48\) от массы всего камня?
Через какой промежуток времени \(t_2\) после удара камня о дно пропасти осколок упадёт обратно на дно?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВремя падения камня найдите по \(h\) и ускорению на Пирре; разность моментов срабатывания датчика даёт время прохождения звука по воздуху. Скорость осколка сразу после удара найдите по его кинетической энергии.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 2050{,}5 \pm 5\) м/с; 2) \(v_1 = 479{,}27 \pm 1{,}1\) м/с; 3) \(h_1 = 65{,}52 \pm 0{,}2\) м; 4) \(t_2 = 5{,}172 \pm 0{,}02\) с.
Шайба в конусе
Полый конус с углом раствора \(2\alpha\) установлен вершиной вниз и вращается вокруг вертикальной оси, совпадающей с его осью симметрии. \(\alpha=0{,}8\) рад. Небольшая шайба массой \(m=0{,}021\) кг находится на внутренней поверхности конуса на расстоянии \(r=0{,}25\) м от оси вращения. Максимальная угловая скорость вращения конуса, при которой шайба ещё не скользит, равна \(\omega_1=8{,}13\) рад/с.
Определите линейную скорость шайбы \(V_1\) при угловой скорости вращения конуса \(\omega_1\).
Определите коэффициент трения шайбы о конус \(k\).
Определите минимальную угловую скорость вращения конуса, при которой шайба будет неподвижна относительно конуса, \(\omega_2\).
Определите величину силы реакции опоры \(N\), действующей на шайбу при угловой скорости вращения конуса \(\omega_2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаШайба на вращающемся конусе движется по окружности радиуса \(r\): в предельных состояниях сила трения направлена вдоль образующей, и её проекции уравновешивают вес и центростремительную силу.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 2{,}0328 \pm 0{,}011\) м/с; 2) \(k = 0{,}2706 \pm 0{,}011\); 3) \(\omega_2 = 4{,}662 \pm 0{,}021\) рад/с; 4) \(N = 0{,}2266 \pm 0{,}011\) Н.
Прямоугольный лист металла и динамометр
Имеется однородный плоский прямоугольный лист металла, который можно подвешивать на штатив и после этого цеплять динамометром за отмеченную на листе красным цветом точку (назовём её \(A\)). Определите с максимально возможной точностью:
массу \(m\) листа;
длину \(L\) диагонали листа;
показания динамометра \(P_1\) в случае, если бы точка \(A\) находилась в правом нижнем углу листа, и если лист подвесить на штатив за левый верхний угол, зацепить лист за точку \(A\) динамометром и поднять так, чтобы точка \(A\) находилась на той же высоте, что и левый верхний угол (пружина динамометра при этом вертикальна);
показания динамометра \(P_2\) в случае, если бы точка \(A\) находилась на середине верхней стороны листа, лист подвесить на штатив за левый верхний угол, зацепить динамометром за точку \(A\) и поднять так, чтобы верхняя сторона листа приняла горизонтальное положение (пружина динамометра при этом вертикальна).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 257{,}14 \pm 2{,}57\) г; 2) \(L = 24{,}45 \pm 0{,}15\) см; 3) \(P_1 = 1{,}26 \pm 0{,}01\) Н; 4) \(P_2 = 2{,}52 \pm 0{,}01\) Н.
Пружинная пушка и два скользящих бруска
Имеется пружинная пушка, шарик (ядро) и два бруска, которые можно вставлять в паз, вдоль которого они могут скользить, в том числе при ударе о них ядер. Масса бруска №1 равна некоторому значению \(M\), масса бруска №2 в два раза больше (равна \(2M\)). Коэффициент \(k\) трения брусков о стол одинаков. Удары ядра о бруски абсолютно упругие. Энергия сжатия пружины заряженной пушки составляет \(E = 0{,}48\) Дж. Момент полного распрямления пружины соответствует моменту вылета ядра из дула, при этом центр ядра находится на уровне среза ствола (внешней части ствола).
Определите с максимальной возможной точностью:
массу \(m\) ядра;
массу \(M\) бруска №1;
коэффициент \(k\) трения брусков о стол.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 67{,}191885038 \pm 0{,}268767540152\) г; 2) \(M = 400 \pm 16\) г; 3) \(k = 0{,}109260282538 \pm 0{,}0054630141269\).
Параметры прямоугольного листа металла
Имеется однородный плоский прямоугольный лист металла, который можно подвешивать на штатив и после этого цеплять динамометром за отмеченную на листе красным цветом точку (назовём её \(A\)). Определите с максимально возможной точностью:
массу \(m\) листа;
длину \(L\) диагонали листа;
показания динамометра \(P_1\) в случае, если бы точка \(A\) находилась в правом нижнем углу листа, и если лист подвесить на штатив за левый верхний угол, зацепить лист динамометром за точку \(A\) и поднять так, чтобы точка \(A\) находилась на той же высоте, что и левый верхний угол (пружина динамометра при этом вертикальна);
показания динамометра \(P_2\) в случае, если бы точка \(A\) находилась зеркально по сравнению с текущим положением по отношению к диагонали листа, идущей из левого верхнего в правый нижний угол, лист подвесить на штатив за левый верхний угол, зацепить динамометром за точку \(A\) и поднять так, чтобы данная диагональ приняла горизонтальное положение (пружина динамометра при этом вертикальна).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ластик при отпускании стирает проведённую линию, над которой его отпустили. Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), шкалы динамометров — точными.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЦентр масс однородного листа совпадает с его геометрическим центром. Используйте условие равновесия моментов сил относительно точки подвеса: из показаний динамометра и геометрии листа найдите массу и расстояния от точки \(A\) до углов.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 159{,}18 \pm 1{,}59\) г; 2) \(L = 15{,}72 \pm 0{,}15\) см; 3) \(P_1 = 0{,}78 \pm 0{,}01\) Н; 4) \(P_2 = 1{,}026 \pm 0{,}01\) Н.
Пружинная пушка и скользящий брусок
Имеется пружинная пушка, набор шариков (ядер) и бруски, которые можно вставлять в паз, вдоль которого они могут скользить, в том числе при ударе о них ядер. Энергия сжатия пружины заряженной пушки составляет \(E=0{,}53\) Дж. Момент полного распрямления пружины соответствует моменту вылета ядра из дула, при этом центр ядра находится на уровне среза ствола (внешней части ствола). Удары ядра о бруски абсолютно упругие.
Определите с максимальной возможной точностью:
массу \(m_1\) первого ядра;
массу \(m_2\) второго ядра;
массу \(m_3\) третьего ядра;
массу \(M\) бруска №1;
коэффициент \(k\) трения бруска №1 об стол.
Ускорение свободного падения считать равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Вычисления проводить с точностью не менее 4 значащих цифр. Задание можно переделывать, но за каждую повторную отсылку результатов на сервер назначается до 5 штрафных баллов. Пушка заряжается путём перетаскивания ядра к дулу пушки. Для выстрела следует щёлкнуть мышью в области части пушки, окрашенной в красный цвет. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, а также перемещать в этом состоянии ствол пушки и линейки. Щелчок мышью в любом другом месте экрана возвращает первоначальный масштаб. Для записи чисел в межпрограммный буфер обмена можно использовать комбинацию клавиш Ctrl-C, для копирования их из буфера в отчёт — комбинацию Ctrl-V.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЭнергия сжатой пружины переходит в кинетическую энергию ядра при вылете. При упругом ударе сохраняются энергия и импульс: по скоростям до и после удара найдите массы ядер. Для бруска используйте путь скольжения и работу силы трения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m_1 = 88{,}48 \pm 0{,}35\) г; 2) \(m_2 = 46{,}87 \pm 0{,}28\) г; 3) \(m_3 = 1106{,}7 \pm 11{,}07\) г; 4) \(M = 2170 \pm 86{,}8\) г; 5) \(k = 0{,}105 \pm 0{,}00525\).
Астероид Фонарщика
Путешествуя по астероидам, Маленький принц — герой сказки Антуана де Сент-Экзюпери, попал на астероид Фонарщика. Бедняге приходилось постоянно зажигать и гасить фонарь, так как астероид делал оборот вокруг своей оси за \(T=4{,}4\) мин. Ось астероида наклонена на угол \(15^\circ\) к плоскости эклиптики (плоскости движения астероида вокруг Солнца). Оказалось, что если Фонарщик будет идти вдоль экватора своей планеты со скоростью \(V=1{,}3\) м/с, он будет всё время находиться на солнце. Определите:
Радиус астероида \(R\).
Сколько времени \(T_1\) будут длиться «сутки» для Фонарщика, если он пойдёт с той же скоростью, в том же направлении на широте \(56^\circ\).
Сколько времени \(T_2\) будут длиться «сутки» для Фонарщика, если он пойдёт с той же скоростью и на той же широте в противоположном направлении.
Если попытаться вычислить по формулам классической механики, какой минимальной плотностью \(\rho\) должен был бы обладать астероид, чтобы вес героев на экваторе был отличен от нуля, получится нереальный ответ. Рассчитайте \(\rho\).
Ответы вводите с точностью до десятых. Число \(\pi=3{,}1416\), гравитационная постоянная \(G=6{,}67\cdot10^{-11}\) Н\(\cdot\)м\(^2\)/кг\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаФонарщик, идущий по экватору, компенсирует вращение астероида: относительно звёзд он неподвижен, если его скорость равна окружной скорости поверхности. Отсюда радиус. На широте окружная скорость меньше, поэтому сутки становятся другими. Вес на экваторе обращается в ноль, когда сила тяготения только и создаёт центростремительное ускорение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(R = 54{,}626 \pm 0{,}11\) м; 2) \(T_1 = 334{,}895 \pm 0{,}11\) с; 3) \(T_2 = 94{,}677 \pm 0{,}11\) с; 4) \(\rho = 2{,}024 \pm 0{,}11\) килотонн/м\(^3\).
Пружинная пушка и два скользящих бруска
Имеется пружинная пушка, шарик (ядро) и два бруска, которые можно вставлять в паз, вдоль которого они могут скользить, в том числе при ударе о них ядер. Масса бруска №1 равна некоторому значению \(M\), масса бруска №2 в два раза больше (равна \(2M\)). Коэффициент \(k\) трения брусков о стол одинаков. Удары ядра о бруски абсолютно упругие. Энергия сжатия пружины заряженной пушки составляет \(E=0{,}52\) Дж. Момент полного распрямления пружины соответствует моменту вылета ядра из дула, при этом центр ядра находится на уровне среза ствола (внешней части ствола). Определите с максимальной возможной точностью:
Массу \(m\) ядра.
Массу \(M\) бруска №1.
Коэффициент \(k\) трения брусков о стол.
Ускорение свободного падения считать равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Вычисления проводить с точностью не менее 4 значащих цифр. Задание можно переделывать, но за каждую повторную отсылку результатов на сервер назначается до 3 штрафных баллов. Пушка заряжается путём перетаскивания ядра к дулу пушки. Для выстрела следует щёлкнуть мышью в области части пушки, окрашенной в красный цвет. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, а также перемещать в этом состоянии ствол пушки и линейки. Щелчок мышью в любом другом месте экрана возвращает первоначальный масштаб. В калькуляторе можно использовать сложение, вычитание, умножение \(*\), деление \(/\), функции \(\sqrt{x}\) — квадратный корень из \(x\), возведение в степень \(x^n\) (например, \(x^2\) или \(x^{2{,}5}\)), а также \(\sin(x)\), \(\cos(x)\), \(\tg(x)\), \(\arcsin(x)\), \(\arccos(x)\), \(\arctg(x)\) и т.д., а также выражения любой сложности с использованием этих операций (не забывайте заключать части выражений в круглые скобки и ставить символ умножения). Для записи чисел в межпрограммный буфер обмена можно использовать комбинацию клавиш Ctrl-C, для копирования их из буфера в отчёт — комбинацию Ctrl-V.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЭнергия пружины переходит в кинетическую энергию ядра. При упругом ударе о брусок ядро и брусок обмениваются импульсом и энергией по законам сохранения; дальше бруски тормозят силой трения, и их пробег связан с кинетической энергией.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 93{,}388 \pm 0{,}374\) г; 2) \(M = 470 \pm 18{,}8\) г; 3) \(k = 0{,}1239 \pm 0{,}0062\).
При какой скорости автомобиля прекратится пробуксовка колёс
Полноприводный автомобиль (все колёса ведущие) массой \(1350\) кг разгоняется из состояния покоя до некоторой скорости. Считая, что вся мощность двигателя \(115\) кВт передаётся на колёса, все колёса нагружены одинаково и коэффициент трения скольжения между колёсами и асфальтом \(0{,}65\) остаётся всё время разгона постоянным, найдите:
При какой скорости прекратится пробуксовка колёс автомобиля?
Каково будет время разгона до этой скорости?
Какова будет в этот момент угловая скорость колеса радиусом \(40\) см?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПробуксовка прекращается, когда сила тяги, которую могут передать колёса, сравнивается с максимальной силой трения сцепления; дальше мощность определяет скорость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v = 13{,}37 \pm 0{,}02\) м/с; 2) \(t = 2{,}1 \pm 0{,}02\) с; 3) \(\omega = 33{,}43 \pm 0{,}1\) рад/с.
Тоннель в астероиде
Представьте себе лишённый атмосферы, однородный по плотности астероид радиусом \(R=8166\) м, вдоль диаметра которого построен тоннель. Допустим, некий летательный аппарат массой \(M=1433\) кг начинает движение в этом тоннеле с поверхности за счёт гравитационной силы астероида. Ускорение свободного падения у поверхности астероида \(g=0{,}5\) м/с\(^2\). Вычислите:
Силу \(F\), которая действует на аппарат, когда он находится на расстоянии \(r=3892\) м от центра астероида.
Скорость \(V\), которую будет иметь аппарат в этот момент.
Максимальную скорость \(V_{max}\), которую разовьёт аппарат в тоннеле.
Период колебаний \(T\) аппарата в тоннеле, если он не будет включать двигатель.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВнутри однородного шара сила тяготения пропорциональна расстоянию до центра. Движение аппарата в тоннеле — гармонические колебания около центра; на этом держатся все ответы.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F = 341{,}495 \pm 0{,}11\) Н; 2) \(V = 56{,}177 \pm 0{,}11\) м/с; 3) \(V_{max} = 63{,}899 \pm 0{,}11\) м/с; 4) \(T = 13{,}387 \pm 0{,}11\) мин.
Грузы в жидкости и наклонная линейка
В системе имеются два цилиндрических груза одинакового размера, но разной массы. Эксперимент проводится в жидкости, поэтому на грузы действует сила трения \(F_{\text{тр}}=-kv\), пропорциональная скорости движения \(v\). Из-за чего при падении почти сразу после начала движения каждый груз начинает двигаться с постоянной скоростью. Найдите:
величину (абсолютное значение) установившейся скорости \(v_1\) падения груза №1 (с точностью не хуже \(0{,}25\%\));
цену \(L_1\) самых больших делений линейки с неподписанной шкалой (с точностью не хуже \(0{,}5\%\));
угол наклона этой линейки к горизонту (в радианах, с точностью не хуже \(0{,}1\%\)).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Грузы можно закреплять электромагнитом в лапке штатива: поднесите груз к лапке и отпустите. Нажатие на зелёную кнопку на штативе выключает электромагнит и отпускает груз. Для вычислений можно использовать калькулятор BARSIC (в числах — десятичная точка, углы в радианах). Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 3 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУстановившаяся скорость — наклон участка графика координаты от времени. Цена деления линейки и угол её наклона находятся по длине проекции линейки на горизонталь и на вертикаль, измеренным по шкале и по рисунку.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_1 = 9{,}748 \pm 0{,}049\) см/с; 2) \(L_1 = 6{,}7 \pm 0{,}067\) см; 3) \(\alpha = 0{,}84 \pm 0{,}0084\) рад.
Эксперимент в жидкости — параметры грузов и наклонная линейка
В системе имеются два цилиндрических груза одинакового размера, но разной массы. Эксперимент проводится в жидкости, поэтому на грузы действует сила трения \(F_{\text{тр}}=-kv\), пропорциональная скорости движения \(v\). Из-за чего при падении почти сразу после начала движения каждый груз начинает двигаться с постоянной скоростью. Найдите:
величину (абсолютное значение) установившейся скорости \(v_1\) падения груза №1 (с точностью не хуже \(0{,}25\%\));
цену \(L_1\) самых больших делений линейки с неподписанной шкалой (с точностью не хуже \(0{,}5\%\));
угол наклона этой линейки к горизонту (в радианах, с точностью не хуже \(0{,}1\%\)).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Грузы можно закреплять электромагнитом в лапке штатива: поднесите груз к лапке и отпустите. Для вычислений можно использовать калькулятор BARSIC (в числах — десятичная точка, углы в радианах). Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 3 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУстановившаяся скорость — наклон участка графика координаты от времени. Цена деления линейки и угол её наклона находятся по измерениям на линейке и по её проекциям.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_1 = 9{,}748 \pm 0{,}049\) см/с; 2) \(L_1 = 6{,}7 \pm 0{,}067\) см; 3) \(\alpha = 0{,}84 \pm 0{,}0084\) рад.
Катящийся шарик
Шарик радиусом \(r=2{,}8\) см катится без проскальзывания со скоростью \(V=0{,}2\) м/с по дорожке, составленной из двух полуокружностей радиусом \(R=29\) см. Определите:
угловую скорость вращения шарика вокруг своей оси в положении 1 (\(W_1\));
угловую скорость вращения шарика вокруг своей оси в положении 2 (\(W_2\));
угловую скорость вращения шарика в положении 1 вокруг оси, проходящей перпендикулярно рисунку через точку \(O\), (\(W\));
центростремительное ускорение шарика \(a\) в положении 1.
Ответы вводите с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри качении без проскальзывания точка касания шарика с дорожкой в каждый момент неподвижна. Подумайте, по какой окружности движется центр шарика в каждом положении: её радиус отличается от \(R\) на радиус шарика \(r\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(W_1 = 6{,}512 \pm 0{,}11\) рад/с; 2) \(W_2 = 7{,}909 \pm 0{,}11\) рад/с; 3) \(W = 0{,}627 \pm 0{,}11\) рад/с; 4) \(a = 0{,}121 \pm 0{,}11\) м/с\(^2\).
Эксперимент в жидкости: параметры грузов и линейки
В системе имеются два цилиндрических груза одинакового размера, но разной массы. Масса первого груза \(M_1=53\) г. Эксперимент проводится в жидкости, поэтому на грузы действует сила трения \(F_{\text{тр}}=-kv\), пропорциональная скорости движения \(v\). Из-за чего почти сразу после начала движения каждый груз начинает двигаться с постоянной скоростью. Ускорение свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\), коэффициент \(k\) зависит только от площади поперечного сечения груза и вязкости жидкости, архимедовой силой можно пренебречь.
Найдите с точностью \(0{,}1\%\):
величину (абсолютное значение) установившейся скорости \(v_1\) падения груза №1;
величину (абсолютное значение) установившейся скорости \(v_2\) падения груза №2;
массу \(M_2\) груза №2;
цену \(L_1\) самых больших делений линейки (в см);
цену \(L_3\) самых малых делений линейки (в мм).
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Грузы можно закреплять электромагнитом в лапке штатива: для этого необходимо поднести груз к лапке штатива и отпустить. Если груз закреплён в лапке штатива, нажатие на зелёную кнопку, расположенную на штативе, выключает электромагнит и отпускает груз из захвата. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 5 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри установившемся движении сила тяжести уравновешивается силой трения \(kv\). Отношение масс грузов равно отношению их установившихся скоростей. Цена деления линейки находится по расстоянию между её отметками на экране эхолота.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_1 = 11{,}48 \pm 0{,}034\) см/с; 2) \(v_2 = 13{,}52 \pm 0{,}04\) см/с; 3) \(M_2 = 62{,}39 \pm 0{,}19\) г; 4) \(L_1 = 7{,}7 \pm 0{,}077\) см; 5) \(L_3 = 3{,}85 \pm 0{,}039\) мм.
Две гантели
Две гантели, каждая из которых состоит из двух одинаковых шариков массой \(M = 51\) г, соединённых невесомыми стержнями длиной \(L = 32\) см, скользят навстречу друг другу по идеально гладкой горизонтальной поверхности со скоростью \(V = 0{,}05\) м/с (см. рисунок). В момент начала отсчёта времени шарики 1 и 3 находятся на расстоянии \(S = 3{,}4\) м друг от друга. Определите:
на каком расстоянии \(X\) будут находиться шарики 1 и 3 в момент времени \(t_1 = 50{,}2\) с;
скорость \(V_4\) четвёртого шарика относительно второго в момент времени \(t_1\);
импульс \(P\) второй (синей) гантели в момент времени \(t_2 = 39\) с;
ускорение \(A\) четвёртого шарика в момент времени \(t_2\);
суммарную кинетическую энергию гантелей \(E\) в момент времени \(t_2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУдары абсолютно упругие, поэтому шарики обмениваются скоростями; смотрите на движение центров масс гантелей и на их вращение.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(X = 0{,}8841 \pm 0{,}0088\) м; 2) \(V_4 = 0{,}10 \pm 0{,}001\) м/с; 3) \(P = 0 \pm 0{,}001\) кг\(\cdot\)м/с; 4) \(A = 1{,}5625 \pm 0{,}0156\) см/с\(^2\); 5) \(E = 0{,}255 \pm 0{,}00255\) мДж.
Необычный астероид
Внутри астероида радиусом \(R = 13410\) м есть большое сферическое отверстие радиусом \(r = 4180\) м. Плотность астероида \(\rho = 5010\) кг/м\(^3\) и постоянна во всех точках. Вычислите:
ускорение свободного падения \(g_A\) в точке \(A\) (в мм/с\(^2\));
ускорение свободного падения \(g_B\) в точке \(B\) (в мм/с\(^2\));
под каким углом \(\alpha\) к радиусу планеты, проходящему через точку \(B\), оно направлено (в радианах);
ускорение свободного падения \(g_C\) в точке \(C\) (в мм/с\(^2\)).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПоле однородно заполненного шара внутри сферического отверстия можно получить как сумму полей полного шара и шара отверстия с обратным знаком.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(g_A = 12{,}9195 \pm 0{,}011\) мм/с\(^2\); 2) \(g_B = 12{,}9195 \pm 0{,}011\) мм/с\(^2\); 3) \(\alpha = 0{,}4257 \pm 0{,}011\) рад; 4) \(g_C = 12{,}9195 \pm 0{,}011\) мм/с\(^2\).
Стробоскоп
На чёрный диск наклеили вдоль радиусов на равном угловом расстоянии друг от друга \(N = 10\) светоотражающих полосок. Диск привели во вращение с постоянной угловой скоростью и стали освещать стробоскопической лампой (лампа периодически вспыхивает на очень малый интервал времени, период между вспышками можно регулировать). Оказалось, что при периоде между вспышками, равном \(t_1 = 620\) мс, полоски кажутся стоящими на месте, если плавно увеличивать период, кажется, что они вращаются, а когда период достигает значения \(t_2 = 697{,}5\) мс, направление вращения изменяется на противоположное. Найдите:
угловую скорость вращения диска \(W\);
до какого минимального значения \(t_3\) нужно увеличить период между вспышками, чтобы полоски опять казались стоящими на месте;
при каком минимальном периоде между вспышками \(t_4\) полоски будут казаться стоящими на одном месте;
при каком минимальном периоде между вспышками \(t_5\) будет казаться, что полоски изменили направление вращения.
На рисунке в качестве примера показано, как выглядел бы неподвижный диск, если бы полосок было 6. Ответы вводите с точностью до десятых. Число \(\pi = 3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПолоски кажутся неподвижными, когда за время между вспышками диск поворачивается на целое число шагов \(2\pi/N\). Смена направления видимого вращения соответствует повороту на половину шага.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(W \approx 4{,}06 \pm 0{,}2\) рад/с; 2) \(t_3 \approx 775 \pm 1\) мс; 3) \(t_4 \approx 155 \pm 0{,}2\) мс; 4) \(t_5 \approx 77{,}505 \pm 0{,}15\) мс.
Неисправные весы
В рычажных весах оказалась немного сдвинута от центра точка крепления коромысла, но ими всё-таки можно пользоваться, если немного подумать. Определите с максимальной возможной точностью массу тел №1, №2 и №3.
Числа на гирях указывают их массу в граммах. Учтите, что коромысла и чашки весов имеют небольшой ненулевой вес.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВзвешивайте каждое тело дважды: сначала на одной чашке, затем на другой. Среднее геометрическое двух результатов не зависит от смещения точки подвеса.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТело №1: \(595 \pm 1\) г; тело №2: \(480 \pm 0{,}8\) г; тело №3: \(60 \pm 0{,}2\) г.
Неисправные весы
В рычажных весах оказалась немного сдвинута от центра точка крепления коромысла, но ими всё-таки можно пользоваться, если немного подумать. Определите с максимальной возможной точностью массу тел №1, №2 и №3.
Числа на гирях указывают их массу в граммах. Учтите, что коромысла и чашки весов имеют небольшой ненулевой вес.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВзвешивайте каждое тело дважды: сначала на одной чашке, затем на другой. Среднее геометрическое двух результатов не зависит от смещения точки подвеса.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветТело №1: \(595 \pm 1\) г; тело №2: \(480 \pm 0{,}8\) г; тело №3: \(60 \pm 0{,}2\) г.
Лебёдка
На рисунке показана конструкция ручной лебёдки. Рабочий вращает рукоятку длиной \(L=43\) см, на одном валу с ней жёстко закреплено маленькое зубчатое колесо радиусом \(R_1=3\) см. Посредством зубчатой передачи это колесо приводит во вращение большое колесо радиусом \(R_2=24{,}7\) см. На одной оси с этим колесом жёстко закреплён вал радиусом \(R_3=7{,}6\) см, на который наматывается трос лебёдки. Определите:
С какой силой \(F_2\) действуют друг на друга зубцы колёс, если человек прикладывает перпендикулярно к ручке силу \(F_1=100\) Н.
Какой выигрыш в силе (\(K\)) даёт лебёдка, когда трос только начинает наматываться на вал.
Угловую скорость \(W\) большого зубчатого колеса, если человек, вращая ручку лебёдки, делает \(N=10\) оборотов в минуту.
С какой скоростью (\(V\)) движется в этом случае груз, прикреплённый к тросу.
В ответ значение силы вводите с точностью до десятых, остальные результаты — с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМомент силы на ручке передаётся через зубцы: сравните плечи \(L\) и \(R_1\). Зубчатые колёса на одном и том же шаге связаны равенством линейных скоростей точек зацепления.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(F_2 = 1433{,}334 \pm 0{,}21\) Н; 2) \(K = 46{,}5843 \pm 0{,}021\); 3) \(W = 7{,}6314 \pm 0{,}021\) рад/мин; 4) \(V = 0{,}966 \pm 0{,}021\) см/с.
Наклонный рельс — трение и сила реакции
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и бруски. Любой из трёх имеющихся брусков можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска. Электронный динамометр присоединён к лебёдке. Лебёдка включается кнопкой «Старт» и выключается кнопкой «Стоп». Колесо лебёдки тянет груз с постоянной скоростью. У брусков имеется трение о рельс. Если сила, приложенная к кольцу нити, превышает некоторое значение \(F_{\max}\), кольцо отцепляется от бруска. Нижние части второго и третьего бруска изготовлены из одного и того же материала по одной и той же технологии и могут считаться идентичными. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
Коэффициент трения скольжения \(k_1\) первого бруска.
Максимальное возможное значение \(F_1\) силы реакции опоры при движении первого бруска по рельсу (угол наклона рельса можно менять).
Коэффициент трения скольжения \(k_2\) второго бруска.
Массу \(m_3\) третьего бруска.
Значение силы \(F_{\max}\).
Значение силы реакции опоры \(F_n\) для первого бруска при натяжении нити на \(0{,}01\%\) меньше значения \(F_{\max}\).
Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБруски тянут с постоянной скоростью, поэтому силы уравновешены: сравните натяжение нити в момент отрыва кольца с проекциями силы тяжести и силы реакции на наклонный рельс.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 0{,}0336 \pm 0{,}00084\); 2) \(F_1 = 2{,}166 \pm 0{,}054\) Н; 3) \(k_2 = 0{,}0287 \pm 0{,}00072\); 4) \(m_3 = 1318{,}68 \pm 39{,}6\) г; 5) \(F_{\max} = 0{,}632 \pm 0{,}0063\) Н; 6) \(F_n = 2{,}0917 \pm 0{,}021\) Н.
Моделирование дождя на другой планете
В лаборатории моделируется дождь на другой планете. Он всё время льётся с одной и той же скоростью. В конический стакан налита вода с плотностью \(1\) г/см\(^3\). В цилиндрическом стакане находится жидкость, которая льётся в виде дождя. Найдите:
Ускорение \(g\) свободного падения на этой планете.
Время \(t\), в течение которого набирали под дождём жидкость в цилиндрический стакан.
Плотность \(\rho_0\) этой жидкости.
Скорость \(N\) выпадания осадков (мм/мин).
Высоту \(H\) цилиндрического стакана.
Значения \(g\) найдите с точностью до сотых, плотности — с точностью до тысячных, остальных величин — с точностью не хуже \(1\%\). Масса гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВода, набранная под дождём, и её масса связаны со скоростью выпадания осадков через площадь сечения стакана; ускорение свободного падения найдите по движению тела в опыте.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(g = 6{,}8 \pm 0{,}1\) м/с\(^2\); 2) \(t = 52 \pm 1{,}3\) с; 3) \(\rho_0 = 1{,}44 \pm 0{,}0144\) г/см\(^3\); 4) \(N = 41 \pm 0{,}41\) мм/мин; 5) \(H = 12{,}3 \pm 0{,}123\) см.
Наклонный рельс с электромагнитом — трение и силы
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и бруски. Электромагнит в левой части рельса автоматически включается при установке бруска на рельс и притягивает брусок с силой \(F\). При этом кнопка включения/выключения электромагнита начинает светиться. Любой из трёх имеющихся брусков можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска. Электронный динамометр присоединён к лебёдке. Лебёдка включается кнопкой «Старт» и выключается кнопкой «Стоп». Колесо лебёдки тянет груз с постоянной скоростью. У брусков имеется трение о рельс. Если сила, приложенная к кольцу нити, превышает некоторое значение \(F_{\max}\), кольцо отцепляется от бруска. Нижние части второго и третьего бруска изготовлены из одного и того же материала по одной и той же технологии и могут считаться идентичными. Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
Коэффициент трения скольжения \(k_1\) первого бруска.
Максимальное возможное значение \(F_1\) силы реакции опоры при движении первого бруска по рельсу (угол наклона рельса можно менять).
Коэффициент трения скольжения \(k_2\) второго бруска.
Массу \(m_3\) третьего бруска.
Значение силы \(F_{\max}\).
Значение силы реакции опоры \(F_n\) для первого бруска при натяжении нити на \(0{,}01\%\) меньше значения \(F_{\max}\).
Значение \(F\) силы притяжения бруска левым электромагнитом.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБруски тянут с постоянной скоростью, поэтому силы уравновешены: запишите равновесие для каждого бруска вдоль рельса и перпендикулярно ему; сила электромагнита входит в условие отрыва кольца.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 0{,}0353 \pm 0{,}00088\); 2) \(F_1 = 2{,}1266 \pm 0{,}0532\) Н; 3) \(k_2 = 0{,}0212 \pm 0{,}00053\); 4) \(m_3 = 1285{,}7 \pm 38{,}6\) г; 5) \(F_{\max} = 0{,}572 \pm 0{,}0057\) Н; 6) \(F_n = 2{,}0672 \pm 0{,}0207\) Н; 7) \(F = 0{,}3890 \pm 0{,}0078\) Н.
Моделирование дождя на другой планете
В лаборатории моделируется дождь на другой планете. Он всё время льётся с одной и той же скоростью. В конический стакан налита вода с плотностью \(1\) г/см\(^3\). В цилиндрическом стакане находится жидкость, которая льётся в виде дождя. Найдите:
Ускорение \(g\) свободного падения на этой планете.
Время \(t\), в течение которого набирали под дождём жидкость в цилиндрический стакан.
Плотность \(\rho_0\) этой жидкости.
Скорость \(N\) выпадания осадков (мм/мин).
Высоту \(H\) цилиндрического стакана.
Значения \(g\) найдите с точностью до сотых, плотности — с точностью до тысячных, остальных величин — с точностью не хуже \(1\%\). Масса гирь указана в граммах.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВода, набранная под дождём, и её масса связаны со скоростью выпадания осадков через площадь сечения стакана; ускорение свободного падения найдите по движению тела в опыте.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(g = 6{,}8 \pm 0{,}1\) м/с\(^2\); 2) \(t = 52 \pm 1{,}3\) с; 3) \(\rho_0 = 1{,}44 \pm 0{,}014\) г/см\(^3\); 4) \(N = 41 \pm 0{,}41\) мм/мин; 5) \(H = 12{,}3 \pm 0{,}123\) см.
Косяк скумбрии
Стремясь запутать быстрыми движениями нападающую акулу, скумбрии сбились в косяк в виде вертикального вращающегося цилиндра, заполненного рыбами. Вертикальная составляющая скорости рыб равна нулю, расстояние между рыбами не меняется. Радиус цилиндра \(R = 3\) м, угловая скорость вращения \(\omega = 0{,}38\) рад/с. Вычислите:
максимальную скорость скумбрии в косяке относительно воды \(V_1\);
на каком максимальном расстоянии \(L\) друг от друга движутся скумбрии, если их скорости относительно воды отличаются в \(2\) раза;
на каком минимальном расстоянии \(S\) друг от друга движутся две скумбрии, если их скорости относительно воды отличаются на \(\Delta V = 0{,}31\) м/с;
скорость \(V_A\) одной из рыб \(A\) и \(B\), которые движутся, оставаясь всё время на противоположных концах диаметра косяка, в системе отсчёта, где телом отсчёта является другая рыба;
максимальную скорость \(V_{max}\) рыб относительно акулы, которая плывёт по прямой горизонтально со скоростью \(V = 0{,}4\) м/с.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаКаждая рыба движется по окружности радиуса \(R\) вместе с косяком; найдите её скорость относительно воды и сравните скорости рыб на разных радиусах и на разных концах диаметра.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 1{,}14 \pm 0{,}0114\) м/с; 2) \(L = 4{,}5 \pm 0{,}045\) м; 3) \(S = 0{,}81578947368421 \pm 0{,}0081578947368421\) м; 4) \(V_A = 0 \pm 0{,}05\) м/с; 5) \(V_{max} = 1{,}54 \pm 0{,}0154\) м/с.
Диск и шайба
Упругий невесомый стержень подвешен к потолку так, что нижний его конец находится на высоте \(Y_1 = 1{,}9\) м от пола, коэффициент жёсткости стержня \(K = 500\) Н/м. К нижнему концу стержня прикрепили диск массой \(M = 6{,}1\) кг. После затухания колебаний на диск упала шайба, которую удерживали на высоте \(h = 0{,}8\) м над его поверхностью, и приклеилась к нему. Масса шайбы \(m = 2{,}3\) кг. Определите:
количество теплоты \(Q\), которое выделится при ударе шайбы о диск;
амплитуду \(A\) колебаний диска с шайбой;
максимальную скорость \(V_{max}\) шайбы и диска в процессе колебаний;
на какую максимальную высоту относительно пола \(Y_2\) поднимется нижний конец стержня в процессе колебаний шайбы и диска.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУдар неупругий: при сцеплении шайбы с диском сохраняется импульс, а не энергия. Дальше система колеблется около нового положения равновесия.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(Q = 13{,}090738266667 \pm 0{,}17023066666667\) Дж; 2) \(A = 0{,}14758570301128 \pm 0{,}0029517140602256\) м; 3) \(V_{max} = 1{,}1386484190575 \pm 0{,}022772968381151\) м/с; 4) \(Y_2 = 1{,}8829457030113 \pm 0{,}037658914060226\) м.
Три тележки и горизонтальный рельс
Тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на левый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и пружина выталкивает тележку. Определите: 1. скорость \(V_1\) движения первой тележки после её выталкивания пружиной (см/с); 2. длину \(W_1\) первой тележки (см); 3. длину \(W_3\) третьей тележки (см); 4. длину \(L\) рельса (расстояние между левой и правой стенками рельса) (см); 5. расстояние \(X\) между оптическими воротами и правым краем рельса (см); 6. длину \(W\) распрямленной пружины (см). Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ответы необходимо найти с точностью до сотых. Датчик времени начинает отсчёт в момент полного распрямления пружины. Пересечение луча оптических ворот регистрируется для центра тележки (отмечен красной стрелкой). Оптические ворота можно двигать. Их положение отсчитывается по вертикальной красной риске, находящейся около их основания. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, после чего щелчок мышью в любом месте экрана возвращает первоначальный масштаб. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 6 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость тележки после толчка найдите по времени прохождения её длины через оптические ворота. Размеры тележек и рельса определяются по тем же измерениям, что и скорость.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 11{,}27 \pm 0{,}05\) см/с; 2) \(W_1 = 10{,}7 \pm 0{,}05\) см; 3) \(W_3 = 11{,}2 \pm 0{,}05\) см; 4) \(L = 72{,}8 \pm 0{,}25\) см; 5) \(X = 46{,}1 \pm 0{,}1\) см; 6) \(W = 6{,}1 \pm 0{,}1\) см.
Движение тележек по наклонному рельсу
Одна или две тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на левый или правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и пружина выталкивает тележку с левого края рельса и отпускает с правого. Определите: 1. ускорение \(a\) движения тележек по рельсу (м/с\(^2\)); 2. длину \(W_1\) первой тележки (см); 3. длину \(L\) рельса — расстояние между левой и правой стенками рельса (см); 4. расстояние \(X\) между оптическими воротами и правым краем рельса (см); 5. скорость \(V_1\) движения первой тележки сразу после её выталкивания пружиной (см/с); 6. длину \(W\) распрямлённой пружины (см). Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер. Ускорение \(a\) необходимо найти с точностью до тысячных, остальные ответы — с точностью до десятых. Датчик времени начинает отсчёт в момент полного распрямления пружины. Пересечение луча оптических ворот регистрируется для центра тележки (отмечен красной стрелкой). Оптические ворота можно двигать. Их положение (координата пересечения луча) отсчитывается по вертикальной красной риске, находящейся около их основания. Увеличительное стекло позволяет просматривать в увеличенном масштабе любой выбранный участок экрана, после чего щелчок мышью в любом месте экрана возвращает первоначальный масштаб. Задание возможно переделывать, но за повторные попытки начисляется до 6 штрафных баллов.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУскорение найдите по времени прохождения тележкой отрезка между оптическими воротами при разных положениях ворот. Остальные длины и скорость — по тем же измерениям.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a = 0{,}2234 \pm 0{,}001\) м/с\(^2\); 2) \(W_1 = 11{,}2 \pm 0{,}2\) см; 3) \(L = 69{,}525 \pm 0{,}75\) см; 4) \(X = 43{,}64 \pm 0{,}4\) см; 5) \(V_1 = 44{,}8 \pm 1\) см/с; 6) \(W = 6{,}2 \pm 0{,}1\) см.
Движение тележек по наклонному рельсу
Одна или две тележки могут быть установлены на рельс. Если установить тележку на левый или правый край рельса, включается электромагнит и удерживает её. При нажатии на красную кнопку около края рельса электромагнит отключается, и пружина выталкивает тележку с левого края рельса и отпускает с правого. Определите:
ускорение \(a\) движения тележек по рельсу (м/с\(^2\));
длину \(W_1\) первой тележки (см);
длину \(L\) рельса — расстояние между левой и правой стенками рельса (см);
расстояние \(X\) между оптическими воротами и правым краем рельса (см);
скорость \(V_1\) движения первой тележки сразу после её выталкивания пружиной (см/с);
длину \(W\) распрямлённой пружины (см).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаДвижение тележки по рельсу равноускоренное. Скорости тележки в двух положениях ворот (по времени прохождения луча) и расстояние между ними связаны формулой равноускоренного движения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(a = 0{,}2234 \pm 0{,}001\) м/с\(^2\); 2) \(W_1 = 12{,}8 \pm 0{,}2\) см; 3) \(L = 70{,}5 \pm 0{,}75\) см; 4) \(X = 40{,}44 \pm 0{,}4\) см; 5) \(V_1 = 51{,}2 \pm 1\) см/с; 6) \(W = 6{,}6 \pm 0{,}1\) см.
Рыболовецкие траулеры
Большой косяк рыб дрейфует в морском течении, имеющем скорость \(U = 0{,}43\) м/с. Два одинаковых рыболовецких судна начали промысел в некоторой точке этого течения. В первый заход они одновременно начали промысел и одновременно вернулись в ту же точку спустя \(T = 1{,}8\) ч. При этом скорость первого судна относительно воды всё время была параллельна скорости течения, а скорость второго относительно берега была всё время направлена перпендикулярно скорости течения. Скорость обоих кораблей относительно воды постоянна и равна \(V = 1{,}08\) м/с. Определите:
скорость \(V_2\) второго судна относительно берега;
расстояние \(S_1\), которое относительно берега прошло первое судно;
расстояние \(S_2\), которое относительно берега прошло второе судно.
во сколько раз \(X\) первое судно потратило на лов в этом случае больше времени, чем второе;
во сколько раз \(Y\) суммарный улов одного судна за оба захода оказался больше, чем у другого.
Считайте, что устье бортового трала (отверстие, куда заходит рыба) перпендикулярно корпусу судна. Ответы вводите с точностью до сотых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость второго судна относительно берега — это сумма скорости относительно воды и скорости течения; так как они перпендикулярны, складываем их по теореме Пифагора. Для первого судна удобно перейти в систему отсчёта, связанную с течением.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_2 = 0{,}99 \pm 0{,}01\) м/с; 2) \(S_1 = 5{,}89 \pm 0{,}01\) км; 3) \(S_2 = 6{,}42 \pm 0{,}01\) км; 4) \(X = 1{,}09 \pm 0{,}01\) раза; 5) \(Y = 1{,}07 \pm 0{,}01\) раза.
Треугольник на карусели
На вращающейся карусели нарисован равносторонний треугольник со стороной \(a=43\) см. В некоторый момент времени скорость точки \(A\) направлена к точке \(B\) и равна \(V_A=0{,}36\) м/с, а скорость точки \(B\) \(V_B\) направлена вдоль отрезка \(CB\) (см. рисунок). Определите:
Расстояние от точки \(B\) до оси вращения (\(R_B\)).
Расстояние от точки \(C\) до оси вращения (\(R_C\)).
Угловую скорость вращения карусели \(\omega\).
Скорость точки \(B\) (\(V_B\)).
Скорость точки \(C\) (\(V_C\)).
Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорости всех точек твёрдого тела перпендикулярны радиусам до оси вращения. По направлениям \(V_A\) и \(V_B\) найдите, где находится ось вращения, и постройте радиусы до точек \(B\) и \(C\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(R_B = 0{,}496 \pm 0{,}006\) м; 2) \(R_C = 0{,}657 \pm 0{,}009\) м; 3) \(\omega = 1{,}45 \pm 0{,}02\) рад/с; 4) \(V_B = 0{,}720 \pm 0{,}009\) м/с; 5) \(V_C = 0{,}952 \pm 0{,}012\) м/с.
Опасная охота
У длинного забора растёт дерево, в корнях — мышиная нора. Мыши бегают вдоль забора, на котором сидит Барсик. Барсик бы поохотился, но на расстоянии \(a=39{,}7\) м от дерева лежит собака. Скорость мыши равна \(V_m=1{,}2\) м/с, скорость Барсика составляет \(V_B=3{,}2\) м/с, собака бегает со скоростью \(V_s=4{,}3\) м/с. На то, чтобы забраться на дерево, Барсику потребуется \(\Delta T=1{,}5\) с. Определите:
на каком минимальном расстоянии \(b\) от собаки Барсик может спрыгнуть с забора, чтобы безопасно поохотиться?
на каком максимальном расстоянии \(L_1\) от Барсика может в этом случае находиться мышь, чтобы имело смысл начинать охоту?
чему равен модуль \(V_{ms}\) скорости мыши относительно собаки в этом случае?
при каком максимальном расстоянии от дерева (\(L_2\)) до мыши Барсик сможет продолжить охоту уже с дерева, когда собака вернётся на своё место?
Все расстояния отсчитывайте по прямой вдоль земли. Ответы вводите с точностью не хуже чем один процент.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСравните время, за которое Барсик долетит до мыши и вернётся на дерево, со временем, за которое собака добежит до своего места. Мышь бежит с постоянной скоростью.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(b = 14{,}954 \pm 0{,}165\) м; 2) \(L_1 = 15{,}464 \pm 0{,}17\) м; 3) \(V_{ms} = 3{,}1 \pm 0{,}0341\) м/с; 4) \(L_2 = 7{,}732 \pm 0{,}085\) м.
Шарик над наклонной плоскостью
Имеется наклонная плоскость. Система координат выбрана так, что ось \(X\) идёт горизонтально вдоль плоскости, а ось \(Y\) — вертикально (см. рисунок). На плоскости разложены маленькие шарики. Один из шариков бросают вертикально вверх с уровня плоскости. Модуль радиус-вектора шарика относительно начала системы координат в момент старта равен \(r_0=3{,}3\) м, а в процессе полёта (до первого удара о плоскость) минимальное значение радиуса-вектора составляет \(r_{min}=1{,}5\) м, а максимальное — \(r_{max}=6{,}2\) м. Определите:
координату \(Y_0\) шарика по оси \(Y\) в момент старта;
координату \(Y_{max}\) шарика по оси \(Y\) в момент наивысшего подъёма;
максимальную высоту \(H\), на которую шарик поднимается над плоскостью;
скорость \(V_0\) шарика в момент старта.
Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаРадиус-вектор минимален и максимален в характерных точках траектории; вертикальное движение шарика описывается законами свободного падения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(Y_0 = -2{,}939 \pm 0{,}0323\) м; 2) \(Y_{max} = 6{,}0152 \pm 0{,}0668\) м; 3) \(H = 8{,}954 \pm 0{,}098\) м; 4) \(V_0 = 13{,}247 \pm 0{,}146\) м/с.
Точка B догоняет точку A
Две материальные точки, расположенные на концах отрезка \(AB\), длиной \(L=13{,}8\) м, одновременно начинают движение с одинаковой скоростью \(V=0{,}32\) м/с. Точка \(A\) движется по прямой, перпендикулярной начальному отрезку \(AB\), скорость точки \(B\) всё время направлена в сторону точки \(A\). Определите:
минимальное расстояние между точками в процессе движения (\(L_{min}\));
скорость точки \(B\) относительно точки \(A\) (\(V_{BA}\)) в момент, когда расстояние между ними составляет \(S=9{,}7\) м;
угол между скоростями точек в этот момент времени (\(\alpha\));
скорость (\(V_S\)), с которой уменьшается расстояние между точками в этот же момент времени.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость сближения равна проекции относительной скорости точки \(B\) на линию, соединяющую точки; минимальное расстояние достигается, когда эта проекция обращается в ноль.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L_{min} = 6{,}9 \pm 0{,}076\) м; 2) \(V_{BA} = 0{,}3438 \pm 0{,}004\) м/с; 3) \(\alpha = 1{,}1343 \pm 0{,}012\) рад; 4) \(V_S = 0{,}1847 \pm 0{,}002\) м/с.
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и бруски. Электромагнит в левой части рельса автоматически включается при установке бруска на рельс и притягивает брусок с силой \(F\). При этом кнопка включения/выключения электромагнита начинает светиться. Любой из трёх имеющихся брусков можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска.
Электронный динамометр присоединён к лебёдке. Лебёдка включается кнопкой «Старт» и выключается кнопкой «Стоп». Колесо лебёдки тянет груз с постоянной скоростью. У брусков имеется трение о рельс. Если сила, приложенная к кольцу нити, превышает некоторое значение \(F_{max}\), кольцо отцепляется от бруска. Нижние части второго и третьего бруска изготовлены из одного и того же материала по одной и той же технологии и могут считаться идентичными. Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\) %:
коэффициент трения скольжения \(k_1\) первого бруска;
максимальное возможное значение \(F_1\) силы реакции опоры при движении первого бруска по рельсу (угол наклона рельса можно менять);
коэффициент трения скольжения \(k_2\) второго бруска;
массу \(m_3\) третьего бруска;
значение силы \(F_{max}\);
значение силы реакции опоры \(F_n\) для первого бруска при натяжении нити на \(0{,}01\) % меньше значения \(F_{max}\);
значение \(F\) силы притяжения бруска левым электромагнитом.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТянущая сила лебёдки при равномерном движении бруска уравновешивает силу трения и составляющую силы тяжести вдоль рельса; сравните силы при разных углах наклона.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 0{,}0356 \pm 0{,}0009\); 2) \(F_1 = 2{,}1658 \pm 0{,}05415\) Н; 3) \(k_2 = 0{,}0221 \pm 0{,}00055\); 4) \(m_3 = 1207{,}8 \pm 36\) г; 5) \(F_{max} = 0{,}643 \pm 0{,}00643\) Н; 6) \(F_n = 2{,}09 \pm 0{,}021\) Н; 7) \(F = 0{,}37937 \pm 0{,}0076\) Н.
Тень от мячика
Солнце поднялось над горизонтом на угол \(\beta=0{,}45\) рад. Над ровной горизонтальной поверхностью земли под углом \(\alpha=0{,}79\) рад к горизонту со скоростью \(V_0=6{,}8\) м/с бросают маленький мяч и начинают отсчёт времени. Вектор скорости мяча лежит в вертикальной плоскости, содержащей луч, идущий из точки старта в направлении на Солнце. Ось \(0X\) направлена слева направо. Определите:
Максимальное расстояние \(S\) между мячом и его тенью на земле.
Начальную скорость \(V_1\) движения тени мяча по земле (проекцию на ось \(0X\), с возможным учётом знака).
Максимальную по модулю скорость \(V_{max}\) движения тени мяча по земле.
Момент времени \(t\), когда скорость движения тени мяча по земле была минимальной по модулю.
Ответы вводите с точностью не хуже, чем до \(0{,}1\%\). Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Сопротивление воздуха учитывать не нужно.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТень мяча лежит на земле на луче от Солнца через мяч. Найдите, как расстояние от мяча до тени зависит от его высоты, а затем запишите координату тени как функцию времени.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(S \approx 2{,}7369 \pm 0{,}007\) м; 2) \(V_1 \approx -5{,}2136 \pm 0{,}013\) м/с; 3) \(V_{max} \approx 14{,}7858 \pm 0{,}037\) м/с; 4) \(t \approx 0{,}256983 \pm 0{,}00064\) с.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1. Расстояние от мяча до тени вдоль луча Солнца равно \(s = y/\sin\beta\), где \(y\) — высота мяча. Высота максимальна при \(y_{max} = \dfrac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g}\), поэтому \[S = \frac{V_0^2\sin^2\alpha}{2g\sin\beta} \approx 2{,}737~\text{м}.\]
2. Координата тени \(X = x - y\,\mathrm{ctg}\,\beta\), где \(x = V_0\cos\alpha\, t\), \(y = V_0\sin\alpha\, t - \dfrac{gt^2}{2}\). Тень движется с постоянным ускорением \(g\,\mathrm{ctg}\,\beta\), а её скорость \[V_x(t) = V_0(\cos\alpha - \sin\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta) + g\,\mathrm{ctg}\,\beta\cdot t.\] В начальный момент \(V_1 = V_0(\cos\alpha - \sin\alpha\,\mathrm{ctg}\,\beta) \approx -5{,}21\) м/с.
3. Скорость тени линейна по времени, поэтому по модулю максимальна в момент падения мяча на землю \(t_п = \dfrac{2V_0\sin\alpha}{g} \approx 0{,}986\) с: \[V_{max} = |V_x(t_п)| \approx 14{,}79~\text{м/с}.\]
4. Скорость тени обращается в нуль при \[t = -\frac{V_1}{g\,\mathrm{ctg}\,\beta} \approx 0{,}257~\text{с}.\]
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Скорость движения бусинки
Имеется две линейки, таймер и пружина, по виткам которой без трения скользит бусинка, выстреливаемая из левой или правой стенки при нажатии на кнопку таймера. Ось \(0X\) направлена горизонтально слева направо перпендикулярно стенкам. Как в левую, так и в правую стенку бусинка погружается наполовину. Определите:
Проекцию \(V_{1x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки слева направо — с точностью до сотых.
Проекцию \(V_{2x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки справа налево — с точностью до сотых.
Время \(t_1\) прохождения бусинкой одного витка проволоки, по которой она движется слева направо — с точностью до сотых.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБусинка движется по витку без трения, поэтому её скорость определяется сохранением энергии. Проекция скорости на ось зависит от наклона витка.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(2{,}08 \pm 0{,}01\) см/с; 2) \(-4{,}32 \pm 0{,}01\) см/с; 3) \(3{,}365 \pm 0{,}01\) с.
Скорость движения бусинки
Имеется две линейки, таймер и пружина, по виткам которой без трения скользит бусинка, выстреливаемая из левой или правой стенки при нажатии на кнопку таймера. Ось \(0X\) направлена горизонтально слева направо перпендикулярно стенкам. Как в левую, так и в правую стенку бусинка погружается наполовину. Определите:
Проекцию \(V_{1x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки слева направо — с точностью до сотых.
Проекцию \(V_{2x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки справа налево — с точностью до сотых.
Время \(t_1\) прохождения бусинкой одного витка проволоки, по которой она движется слева направо — с точностью до сотых.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБусинка движется по витку без трения, поэтому её скорость определяется сохранением энергии. Проекция скорости на ось зависит от наклона витка.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(2{,}08 \pm 0{,}01\) см/с; 2) \(-4{,}32 \pm 0{,}01\) см/с; 3) \(3{,}365 \pm 0{,}01\) с.
Переправа
Турист переправляет рюкзаки на плоту через небольшое озеро. Стоя на обрыве, он держит верёвку на высоте \(H=4{,}6\) м над водой и равномерно выбирает её со скоростью \(U=0{,}22\) м/с. При этом плот в некоторый момент времени движется со скоростью \(V=0{,}337\) м/с. Определите:
На каком расстоянии от берега (\(L\)) в этот момент находится ближайший край плота (точка \(A\)).
С какой скоростью (\(V_1\)) будет двигаться плот, когда расстояние до берега уменьшится в 2 раза.
С какой скоростью (\(V_2\)) мог бы двигаться плот в начальном положении, если бы, выбирая верёвки со скоростью \(U=0{,}22\) м/с, его тянули два человека, стоящие на расстоянии \(S=6{,}8\) м друг от друга. На рисунке положение верёвок в этом случае показано зелёным пунктиром.
Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость выбирания верёвки равна проекции скорости плота на направление верёвки. Свяжите длину верёвки от обрыва до плота с расстоянием до берега и продифференцируйте.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 3{,}963 \pm 0{,}048\) м; 2) \(V_1 = 0{,}5557 \pm 0{,}0067\) м/с; 3) \(V_2 = 0{,}38607 \pm 0{,}0046\) м/с.
Наклонный рельс с лебёдкой
Имеется наклонный рельс с лебёдкой и датчиком натяжения нити, весы, гири, линейки и бруски. Наклон рельса можно менять. Электромагнит в левой части рельса автоматически включается при установке бруска на рельс и притягивает брусок с силой \(F\). При этом кнопка включения/выключения электромагнита начинает светиться. Любой из трех имеющихся брусков можно поставить на рельс. После чего можно присоединить к бруску нить от лебёдки — потянуть за петельку нити, выходящей из отверстия в правой стенке рельса, и присоединить её к крючку бруска. Электронный динамометр присоединён к лебёдке. Лебёдка включается кнопкой «Старт» и выключается кнопкой «Стоп». Колесо лебёдки тянет груз с постоянной скоростью. У брусков имеется трение о рельс. Если сила, приложенная к кольцу нити, превышает некоторое значение \(F_{max}\), кольцо отцепляется от бруска. Нижние части второго и третьего бруска изготовлены из одного и того же материала по одной и той же технологии и могут считаться идентичными. Значение ускорения свободного падения \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Масса гирь указана в граммах. Найдите с точностью не хуже \(0{,}5\%\):
Коэффициент трения скольжения \(k_1\) первого бруска.
Максимальное возможное значение \(F_1\) силы реакции опоры при движении первого бруска по рельсу.
Коэффициент трения скольжения \(k_2\) второго бруска.
Массу \(m_3\) третьего бруска.
Значение силы \(F_{max}\).
Значение силы реакции опоры \(F_n\) для первого бруска при натяжении нити на \(0{,}01\%\) меньше значения \(F_{max}\).
Значение \(F\) силы притяжения бруска левым электромагнитом.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПри равномерном подъёме бруска сила натяжения уравновешивает проекции силы тяжести и силы трения; сравнивая разные бруски и углы наклона, выделите неизвестные величины.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 0{,}0326 \pm 0{,}000815\); 2) \(F_1 = 2{,}4304 \pm 0{,}061\) Н; 3) \(k_2 = 0{,}0215 \pm 0{,}0005375\); 4) \(m_3 = 1260{,}7 \pm 38\) г; 5) \(F_{max} = 0{,}564 \pm 0{,}00564\) Н; 6) \(F_n = 2{,}381 \pm 0{,}024\) Н; 7) \(F = 0{,}2939 \pm 0{,}0176\) Н.
Три шарика
На идеально гладкой поверхности неподвижно лежат два одинаковых по размеру шара: синий массой \(m_1=2{,}5\) кг и красный массой \(m_2=4{,}8\) кг. Шары соединены пружиной жёсткостью \(k=189\) Н/м. Третий шар такого же размера и массой \(m_0=4{,}9\) кг движется со скоростью \(V_0=5{,}9\) м/с вдоль прямой, соединяющей первые два шара, и абсолютно неупруго сталкивается с синим шаром. Удар происходит мгновенно. Рассматривая движение системы после удара, определите:
Минимальную скорость \(V_{1min}\) синего шара относительно земли.
Максимальную скорость \(V_{1max}\) синего шара относительно земли.
Максимальную скорость \(V_{2max}\) красного шара относительно земли.
С каким интервалом времени \(T_x\) эти скорости (\(V_{1max}\) и \(V_{2max}\)) будут достигаться.
Считайте, что радиусом шарика по сравнению с длиной пружины можно пренебречь. Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента. Число \(\pi=3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПосле неупругого удара шар \(m_0\) слипается с синим; дальше удобно перейти в систему центра масс, где пружина совершает колебания, а законы сохранения импульса и энергии связывают скорости.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{1min} = 0{,}832 \pm 0{,}01\) м/с; 2) \(V_{1max} = 3{,}905 \pm 0{,}047\) м/с; 3) \(V_{2max} = 4{,}737 \pm 0{,}057\) м/с; 4) \(T_x = 0{,}3898 \pm 0{,}0047\) с.
Брусок на доске
Брусок массой \(m_1=0{,}1\) кг и длиной \(L_1=15{,}3\) см кладут на край доски массой \(m_2=6{,}4\) кг и длиной \(L_2=1{,}17\) м, лежащей на горизонтальной, идеально гладкой плите. Коэффициент трения между поверхностями бруска и доски \(\mu=0{,}2\). На противоположном конце доски закреплён вертикальный упор. Определите:
Какую минимальную скорость \(V_1\) необходимо сообщить бруску вдоль доски, чтобы после абсолютно упругого удара об упор он вернулся в начальное положение относительно доски и затем свалился с неё.
Какую скорость \(V_2\) будет иметь доска относительно плиты в момент начала падения бруска.
Сколько процентов \(X\) начальной кинетической энергии бруска перейдёт в тепловую из-за трения о доску.
Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента. Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИмпульс системы «брусок и доска» сохраняется на гладкой плите; работа силы трения равна произведению силы трения на относительный путь бруска по доске.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_1 = 2{,}8978 \pm 0{,}038\) м/с; 2) \(V_2 = 0{,}04458 \pm 0{,}00058\) м/с; 3) \(X = 98{,}432 \pm 1{,}28\) %.
Параметры движения бусинки по проволоке
Имеется две линейки, таймер и пружина, по виткам которой без трения скользит бусинка, выстреливаемая из левой или правой стенки при нажатии на кнопку таймера. Ось \(0X\) направлена горизонтально слева направо перпендикулярно стенкам. Как в левую, так и в правую стенку бусинка погружается наполовину. Определите:
Проекцию \(V_{1x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки слева направо — с точностью до сотых.
Проекцию \(V_{2x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки справа налево — с точностью до сотых.
Радиус \(R\) пружины — с точностью до сотых.
Величину \(V_1\) (модуль) скорости бусинки при движении по проволоке слева направо — с точностью до десятых.
Величину \(a_1\) (модуль) ускорения бусинки при движении по проволоке слева направо — с точностью до десятых.
Длину \(L\) проволоки, по которой движется бусинка — с точностью до целых.
Угол \(\alpha\) относительно плоскости стенок, под которым движется бусинка — с точностью до тысячных.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПроекция скорости на ось \(0X\) постоянна на участке без отражения; разверните виток пружины в прямую, чтобы найти путь бусинки за один оборот.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{1x} = 2{,}23 \pm 0{,}01\) см/с; 2) \(V_{2x} = -3{,}55 \pm 0{,}01\) см/с; 3) \(R = 10 \pm 0{,}1\) см; 4) \(V_1 = 20{,}14 \pm 0{,}2\) см/с; 5) \(a_1 = 40{,}1 \pm 1\) см/с\(^2\); 6) \(L = 348{,}8 \pm 4\) см; 7) \(\alpha = 0{,}111 \pm 0{,}002\) рад.
Параметры плоских тел
Имеются тела разной формы одинаковой небольшой толщины и плотности материала. Будем считать их плоскими. В этих телах имеются круговые отверстия. В теле №1 имеется три одинаковых отверстия, в других телах размеры отверстий могут отличаться. Определите:
диаметр \(D_1\) первого тела;
диаметр \(D_2\) второго тела;
площадь \(s\) одного отверстия в теле №1;
массу \(m\), которая была удалена из тела при создании этого отверстия;
диаметр \(d_3\) большого отверстия в теле №3;
массу \(m_4\), которая была удалена из тела №4 при создании одного маленького отверстия;
диаметр \(d_4\) этого отверстия.
Число \(\pi = 3{,}1416\). Масса подписанных гирь указана в граммах. Увеличительное стекло (лупа) работает только в случае, если ни одна из линеек не перекрывает область ни одного из плоских тел.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса тела пропорциональна его площади при одинаковой толщине и плотности; удалённая масса равна разности масс до и после создания отверстия.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(D_1 = 4{,}5 \pm 0{,}001\) см; 2) \(D_2 = 11{,}8 \pm 0{,}001\) см; 3) \(s = 0{,}644 \pm 0{,}02\) см\(^2\); 4) \(m = 1{,}93 \pm 0{,}01\) г; 5) \(d_3 = 2{,}255 \pm 0{,}01\) см; 6) \(m_4 = 4{,}344 \pm 0{,}06\) г; 7) \(d_4 = 1{,}358 \pm 0{,}01\) см.
Машинка у стенки
Имеется: радиоуправляемая машинка с прикреплённым к ней массивным тонким стержнем, которая стоит недалеко от стенки; пульт управления этой машинкой, позволяющий отключать и включать у машинки тормоза и возвращать её в первоначальное состояние; эхолот с подключённым к нему прибором индикации; весы с набором гирь. Масса машинки \(M = 53\) г. Трение в системе при выключенных тормозах отсутствует. Определите:
массу \(m\) стержня, прикреплённого к машинке;
длину \(L\) стержня;
линейную плотность \(\rho\) (массу на единицу длины) стержня;
первоначальное расстояние \(D\) от стенки до задней части машинки;
длину \(W\) машинки;
значение \(h\) понижения центра масс машинки со стержнем, если сначала машинка стояла почти вплотную к стенке, так что стержень можно было считать стоящим вертикально, а затем после старта переместилась от неё так, что стержень принял горизонтальное положение.
Кнопка Сброс пульта управления возвращает машинку в первоначальное состояние, которое было при заходе в модель. Масса подписанных гирь указана в граммах. Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Толщиной стержня пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЦентр масс стержня, однородного и тонкого, находится в его середине. Сравните положение центра масс системы машинка со стержнем в вертикальном и горизонтальном положениях.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 9{,}702 \pm 0{,}06\) г; 2) \(L = 15{,}099 \pm 0{,}035\) см; 3) \(\rho = 0{,}642 \pm 0{,}01\) г/см; 4) \(D = 2{,}5795 \pm 0{,}035\) см; 5) \(W = 10{,}801 \pm 0{,}035\) см; 6) \(h = 1{,}1685 \pm 0{,}015\) см.
Машинка с подвижным стержнем
Имеется: радиоуправляемая машинка с прикреплённым к ней массивным тонким стержнем, которая стоит недалеко от стенки; пульт управления этой машинкой, позволяющий отключать и включать у машинки тормоза и возвращать её в первоначальное состояние; эхолот с подключенным к нему прибором индикации; весы с набором гирь. Масса машинки \(M = 51\) г. Трение в системе при выключенных тормозах отсутствует. Определите:
Массу \(m\) стержня, прикреплённого к машинке.
Длину \(L\) стержня.
Линейную плотность \(\rho\) (массу на единицу длины) стержня.
Первоначальное расстояние \(D\) от стенки до задней части машинки.
Длину \(W\) машинки.
Энергию \(E\) машинки со стержнем, перешедшую из потенциальной в тепловую, если сначала машинка стояла почти вплотную к стенке, так что стержень можно было считать стоящим вертикально, а затем после старта начала двигаться и в итоге остановилась из-за автоматического включения тормозов около датчика эхолота.
Значение \(h\) понижения центра масс машинки со стержнем при этом.
Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Толщиной стержня пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЭнергия, перешедшая в тепло, равна убыли потенциальной энергии системы «машинка со стержнем» при её падении. Центр масс стержня лежит на его середине, и его высота меняется при опрокидывании.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 9{,}198 \pm 0{,}06\) г; 2) \(L = 14{,}7 \pm 0{,}03\) см; 3) \(\rho = 0{,}6256 \pm 0{,}008\) г/см; 4) \(D = 1{,}821 \pm 0{,}03\) см; 5) \(W = 10{,}701 \pm 0{,}03\) см; 6) \(E = 6{,}624 \pm 0{,}08\) мДж; 7) \(h = 1{,}123 \pm 0{,}01\) см.
Грузы на линейной и нелинейной пружинах
Имеется: неподписанная синяя гиря неизвестной массы; чёрная невесомая обычная пружина, у которой возвращающая сила при отклонении \(x\) от недеформированного состояния пружины \(F_1 = -k_1 x\); синяя нелинейная пружина, у которой возвращающая сила при отклонении \(x\) от недеформированного состояния пружины \(F_2 = -k_1 x - k_2 x^2\); штатив, в лапку которого (зажим) можно закреплять пружину, а к ней — подвешивать гирю; прибор с датчиком координаты. Также имеются гири различной массы, масса гирь указана в граммах. Определите:
Коэффициент упругости пружины \(k_1\).
Коэффициент нелинейности пружины \(k_2\).
Величину \(X_1\) упругой деформации чёрной пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё синей гири.
Массу \(M\) синей гири.
Энергию \(E\) (в миллиджоулях) упругой деформации чёрной пружины в состоянии равновесия после подвешивания на неё синей гири.
Работу \(A\) (в миллиджоулях), которую совершит сила тяжести, если из этого состояния равновесия снять синюю гирю с крючка, поставить на стол, сменить чёрную пружину на синюю и повесить синюю гирю на синюю пружину в состояние равновесия получившейся системы.
Частоту \(f\) малых колебаний синей гири на синей пружине около положения равновесия.
\(k_1\) и \(X_1\) определите с точностью до сотых, \(f\) — с точностью до тысячных, остальные величины — с точностью до десятых. Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\), число \(\pi = 3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВ равновесии сила упругости чёрной пружины уравновешивает вес гири. Для синей пружины сила зависит и от \(x\), и от \(x^2\): сравните отклонения при разных грузах, чтобы разделить \(k_1\) и \(k_2\). Частоту малых колебаний найдите через эффективную жёсткость в положении равновесия.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(k_1 = 17{,}4 \pm 0{,}05\) Н/м; 2) \(k_2 = 74 \pm 0{,}4\) Н/м\(^2\); 3) \(X_1 = 21{,}12 \pm 0{,}08\) см; 4) \(M = 375 \pm 1{,}5\) г; 5) \(E = 388 \pm 2{,}5\) мДж; 6) \(A = -282{,}25 \pm 2{,}5\) мДж; 7) \(f = 1{,}587 \pm 0{,}005\) Гц.
Движение машинки с подвижным стержнем
Имеется: радиоуправляемая машинка с прикреплённым к ней массивным тонким стержнем, которая стоит недалеко от стенки; пульт управления этой машинкой, позволяющий отключать и включать у машинки тормоза и возвращать её в первоначальное состояние; эхолот с подключенным к нему прибором индикации; весы с набором гирь. Масса машинки \(M = 62\) г. Трение в системе при выключенных тормозах отсутствует. Определите:
Массу \(m\) стержня, прикреплённого к машинке.
Длину \(L\) стержня.
Первоначальное расстояние \(D\) от стенки до задней части машинки.
Высоту \(H\), на которой первоначально находится верхний конец стержня над его нижним концом.
Длину \(W\) машинки.
Энергию \(E\) машинки со стержнем, перешедшую из потенциальной в тепловую, если сначала машинка стояла почти вплотную к стенке, так что стержень можно было считать стоящим вертикально, а затем после старта начала двигаться и в итоге остановилась из-за автоматического включения тормозов около датчика эхолота.
Значение \(h\) понижения центра масс машинки со стержнем при этом.
Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Толщиной стержня пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЭнергия, перешедшая в тепло, равна убыли потенциальной энергии системы «машинка со стержнем» при её движении. Центр масс стержня лежит на его середине, и его высота меняется при опрокидывании.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 12{,}402 \pm 0{,}06\) г; 2) \(L = 13{,}2 \pm 0{,}03\) см; 3) \(D = 2{,}46 \pm 0{,}03\) см; 4) \(H = 12{,}968 \pm 0{,}04\) см; 5) \(W = 10{,}5 \pm 0{,}03\) см; 6) \(E = 8{,}024 \pm 0{,}08\) мДж; 7) \(h = 1{,}1 \pm 0{,}01\) см.
Автомобиль и велосипедисты
Две дороги пересекаются под прямым углом. Автомобиль, находящийся на расстоянии \(S = 871\) м от перекрёстка, начинает двигаться к нему со скоростью \(U = 23\) м/с. Одновременно из точки, находящейся на расстоянии \(a\) от перекрёстка на другой дороге, выезжают два велосипедиста. Первый движется со скоростью \(V = 14\) м/с к перекрёстку, второй — с такой же по величине скоростью в противоположном направлении. На минимальном расстоянии от второго велосипедиста автомобиль оказался на \(\Delta t = 10{,}2\) с раньше, чем от первого. При этом автомобиль проезжает перекрёсток раньше велосипедиста. Определите:
на каком расстоянии \(X\) находились велосипедисты и автомобиль в момент старта;
минимальное расстояние между автомобилем и первым велосипедистом \(S_1\);
путь \(L_2\), который успел проехать второй велосипедист к моменту, когда расстояние между ним и автомобилем стало минимальным;
минимальное расстояние между автомобилем и вторым велосипедистом \(S_2\).
Удар шаров
На идеально гладкой поверхности неподвижно лежат два одинаковых по размеру шара: синий массой \(m_1 = 2{,}8\) кг и красный массой \(m_2 = 11{,}1\) кг, шары соединены пружиной жёсткостью \(k = 118\) Н/м. Третий шар, такого же размера, массой \(m_0 = 2{,}6\) кг движется со скоростью \(V_0 = 6{,}4\) м/с вдоль прямой, соединяющей первые два шара, и абсолютно неупруго сталкивается с синим шаром. При этом длина пружины такая, что синий и красный шары при максимальном сжатии пружины не сталкиваются. Определите:
максимальную величину \(X\) деформации пружины (в сантиметрах);
максимальную скорость \(V_{2max}\) красного шара относительно земли;
через какой минимальный интервал времени \(T_1\) после удара векторы скорости синего и красного шаров относительно земли будут равны.
Соударения шаров
Три упругих шарика расположены в ряд на столе, по которому они могут скользить без трения. Масса первого \(M_1 = 3\) кг, масса третьего \(M_3 = 8{,}5\) кг. Первый шарик толкают с некоторой постоянной скоростью и наблюдают последовательные соударения шаров. Массу второго шарика подобрали таким образом, чтобы при фиксированной начальной скорости первого шарика кинетическая энергия третьего шарика после удара была максимальной. Её величина оказалась равной \(E_3 = 207\) Дж. Определите:
массу второго шарика \(M_2\);
импульс второго шарика после первого удара \(P_1\);
импульс второго шарика после второго удара \(P_2\);
кинетическую энергию первого шарика после первого удара \(E_1\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(M_2 = 5{,}05 \pm 0{,}11\) кг; 2) \(P_1 = 47{,}33 \pm 1{,}04\) кг\(\cdot\)м/с; 3) \(P_2 = 12{,}05 \pm 0{,}26\) кг\(\cdot\)м/с; 4) \(E_1 = 15{,}36 \pm 0{,}34\) Дж.
Эксперименты с плоским телом сложной формы
Имеется тело сложной формы с двумерной плотностью \(0{,}9\) г/см\(^2\), стоящее на столе. В рассматриваемом случае тело можно считать плоским. Найдите:
Минимальное расстояние \(R_{min}\) от центра тяжести тела до его вершин (мест излома линии, ограничивающей тело) — с точностью до \(0{,}5\) мм.
Максимальное расстояние \(R_{max}\) от центра тяжести тела до его вершин — с точностью до \(0{,}5\) мм.
Силу \(F\), позволяющую медленно полностью поднять тело над столом — с точностью до сотых.
Минимальную силу \(F_1\), действующую на тело в какой-либо точке вертикально вверх, позволяющую приподнять левый нижний угол тела над столом — с точностью до сотых.
Минимальную силу \(F_2\), действующую на тело в какой-либо точке, позволяющую приподнять левый нижний угол тела над столом — с точностью до сотых.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Проскальзывания тела о стол нет.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЦентр тяжести плоского однородного тела найдите по пересечению вертикалей при подвешивании за разные точки. Для сил используйте равенство моментов относительно точки опоры.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(R_{min} = 3{,}792 \pm 0{,}12\) см; 2) \(R_{max} = 22{,}35 \pm 0{,}25\) см; 3) \(F = 1{,}752 \pm 0{,}06\) Н; 4) \(F_1 = 0{,}604 \pm 0{,}04\) Н; 5) \(F_2 = 0{,}444 \pm 0{,}03\) Н.
Эксперименты с горкой
Имеется горка с прямым углом в вершине. По ней при отключённом стопоре могут двигаться без трения два одинаковых ящика, массой которых можно пренебречь. В эти ящики можно складывать тела (в виде пластин). Масса пластин известной массы указана в граммах. Найдите:
максимальное расстояние \(L\), которое при движении может пройти ящик, с точностью до \(0{,}1\) мм;
максимальную скорость \(V_{max}\), которую при движении может развить правый ящик, если в него положить тело №1, а левый ящик пустой, с точностью до \(0{,}005\) м/с;
в ящик на левой части горки положили тело №1, в ящик на правой — грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_1\) натяжения нити. Затем в ящик на правой части горки положили тело №1, в ящик на левой — грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_2\) натяжения нити. Найдите отношение \(F_1/F_2\) с точностью до сотых;
массу \(m_1\) тела №1 с точностью до \(1\) г;
массу \(m_2\) тела №2 с точностью до \(1\) г;
максимальное количество тепла \(Q_3\), которое может выделиться телом №3 в результате окончания его движения в одном из ящиков, с точностью до \(10\) мДж.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Эхолот подключён к прибору, который может показывать график движения правого ящика. Наведение увеличительного стекла на область графика либо щелчок мышью по символу в правом верхнем углу прибора показывает график в увеличенном масштабе. Выделение мышью области графика (нажать кнопку мыши и вести вправо вниз, а затем отпустить кнопку) позволяет увеличивать изображение выбранной области графика. При необходимости можно опять выбрать нужный участок графика для показа во всём окне, и так далее. Движение в обратном направлении (справа налево снизу вверх) в любой части того же окна либо вызов правой кнопкой мыши всплывающего меню и выбор пункта «Восстановить масштаб» восстанавливает первоначальный масштаб графика.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя скорость при равноускоренном движении ящика — половина максимальной, а ускорение на наклонной части связано с углом горки. Для тепла сравните потерю потенциальной энергии тела при движении по горке.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L=14{,}613\) см; 2) \(V_{max}=1{,}2228\) м/с; 3) \(F_1/F_2=1{,}634\); 4) \(m_1=134{,}5\) г; 5) \(m_2=219{,}2\) г; 6) \(Q_3=0{,}904\) Дж.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеРасстояние \(L\) найдено по показаниям эхолота: начальная координата ящика \(y_1=27{,}937\) см, конечная \(y_2=13{,}324\) см, поэтому \(L=y_1-y_2=14{,}613\) см.
Движение без трения равноускоренное, поэтому \(V_{max}=2V_{ср}=2L/(t_1-t_0)\). По графику \(t_0=5{,}895\) с, \(t_1=6{,}134\) с, \(t_1-t_0=0{,}239\) с, отсюда \(V_{max}=2\cdot14{,}613/0{,}239\) см/с\(=1{,}2228\) м/с.
Силы натяжения: \(F_1=m_1g\cos\alpha\), \(F_2=m_1g\sin\alpha\), так что \(F_1/F_2=\operatorname{ctg}\alpha\). Ускорение на правой части горки \(a=g\sin\alpha\) и \(a=V_{max}/(t_1-t_0)=5{,}116\) м/с\(^2\), отсюда \(\sin\alpha=0{,}522\), \(\cos\alpha=0{,}853\) и \(F_1/F_2=1{,}634\).
Масса \(m_1\) определяется по ускорению системы с пробной массой \(m=100\) г: \((m_1+m)a_1=mg\cos\alpha-m_1g\sin\alpha\), откуда \(m_1=m(g\cos\alpha-a_1)/(a_1+g\sin\alpha)\). По измерению \(t'_1-t'_0=0{,}681\) с получено \(V'_{max}=0{,}4292\) м/с и \(a_1=0{,}6302\) м/с\(^2\), так что \(m_1=134{,}5\) г. Аналогично измерена \(m_2=219{,}2\) г.
Максимальное тепло выделяется при пустом правом ящике, когда тело опускается на наибольшую высоту: \(Q_3=m_3gL\cos\alpha\), где \(m_3=740\) г. Численно \(Q_3=0{,}740\cdot9{,}8\cdot0{,}14613\cdot0{,}853=0{,}904\) Дж.
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Лабиринт в джунглях
Однажды Попугай и Мартышка нашли в джунглях квадратный лабиринт и решили, что в его центре лежит сокровище. Попугай взял мощный фонарик GRYPHON G180 компании «Яркий Луч» и отправился в лабиринт; он шёл с постоянной скоростью по центру коридоров, а Мартышка осталась ждать его снаружи. На рисунке показана схема лабиринта. Лабиринт квадратный, он весь состоит из прямых коридоров одинаковой ширины, длина внешней стенки кратна ширине коридора, число коридоров — наш секрет. Толщиной внутренних перегородок можно пренебречь. В центре стены, со стороны входа, проделано маленькое сквозное отверстие, такие же отверстия во всех перегородках, таким образом, Мартышка может видеть луч света, идущий из самого центра лабиринта. Оказалось, что отношение интервалов времени \(t_1\) (с момента, как Попугай вошёл в лабиринт, до момента, как Мартышка первый раз увидела его в отверстии) и \(t_2\) (между первым и вторым появлением Попугая в отверстии) равно \(1{,}0758\), а время, в течение которого луч фонарика был виден непрерывно, пока Попугай шёл последний отрезок пути, \(t_0=5\) с. Время измеряется с точностью до \(0{,}1\) с. Вычислите:
интервал времени \(t_3\) между вторым и третьим появлением Попугая в отверстии.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаПопугай виден в отверстии, когда находится на одной прямой с центром лабиринта и отверстием; интервалы между появлениями относятся как пути, пройденные по коридорам с одинаковой скоростью.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(t_3 = 125{,}004 \pm 0{,}11\) с; \(T = 220 \pm 0{,}11\) с; \(t_x = 602{,}503 \pm 0{,}11\) с; \(N = 5{,}005 \pm 0{,}11\).
Жидкий астероид
В космосе, далеко от звёзд и планет, летит астероид радиусом \(R=780\) м, целиком состоящий из несжимаемой жидкости плотностью \(\rho=2370\) кг/м\(^3\).
Вычислите давление жидкости \(P\) внутри астероида на глубине \(h=250\) м от поверхности.
Во сколько раз \(Z\) это давление меньше, чем в центре астероида.
Ответы вводите с точностью не хуже, чем до одного процента. Гравитационная постоянная \(G=6{,}674\cdot10^{-11}\) м\(^3\)/(кг·с\(^2\)), число \(\pi=3{,}1416\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВнутри однородного шара сила тяжести на расстоянии \(r\) от центра пропорциональна \(r\). Давление на глубине — это вес вышележащего столба жидкости, поэтому интегрируйте по слоям.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(P = 257{,}13 \pm 5{,}14\) Па; 2) \(Z = 1{,}8577 \pm 0{,}0372\).
Движение бусинки по проволоке
Имеется две линейки, таймер и пружина, по виткам которой без трения скользит бусинка, выстреливаемая из левой или правой стенки при нажатии на кнопку таймера. Ось \(0X\) направлена горизонтально слева направо перпендикулярно стенкам. Как в левую, так и в правую стенку бусинка погружается наполовину. Определите:
Проекцию \(V_{1x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки слева направо — с точностью до сотых.
Проекцию \(V_{2x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки справа налево — с точностью до сотых.
Радиус \(R\) пружины — с точностью до сотых.
Величину \(V_1\) (модуль) скорости бусинки при движении по проволоке слева направо — с точностью до десятых.
Величину \(a_1\) (модуль) ускорения бусинки при движении по проволоке слева направо — с точностью до десятых.
Длину \(L\) проволоки, по которой движется бусинка — с точностью до целых.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБусинка движется по витку с постоянной по модулю скоростью, а её проекция на ось зависит от радиуса витка и шага пружины. Ускорение при движении по окружности связано с модулем скорости и радиусом.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{1x} = 1{,}96 \pm 0{,}01\) см/с; 2) \(V_{2x} = -4{,}24 \pm 0{,}01\) см/с; 3) \(R = 11{,}1 \pm 0{,}1\) см; 4) \(V_1 = 19{,}62 \pm 0{,}2\) см/с; 5) \(a_1 = 34{,}4 \pm 1\) см/с\(^2\); 6) \(L = 434{,}4 \pm 4\) см.
Параметры движения бусинки по проволоке
Имеется две линейки, таймер и пружина, по виткам которой без трения скользит бусинка, выстреливаемая из левой или правой стенки при нажатии на кнопку таймера. Ось \(0X\) направлена горизонтально слева направо перпендикулярно стенкам. Как в левую, так и в правую стенку бусинка погружается наполовину. Определите:
Проекцию \(V_{1x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки слева направо — с точностью до сотых.
Проекцию \(V_{2x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки справа налево — с точностью до сотых.
Радиус \(R\) пружины — с точностью до сотых.
Величину \(V_1\) (модуль) скорости бусинки при движении по проволоке слева направо — с точностью до десятых.
Величину \(a_1\) (модуль) ускорения бусинки при движении по проволоке слева направо — с точностью до десятых.
Длину \(L\) проволоки, по которой движется бусинка — с точностью до целых.
Угол \(\alpha\) относительно плоскости стенок, под которым движется бусинка — с точностью до тысячных.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБусинка движется по витку с постоянной по модулю скоростью, а её проекция на ось зависит от радиуса витка и угла подъёма витка. Ускорение при движении по окружности связано с модулем скорости и радиусом.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{1x} = 2{,}23 \pm 0{,}01\) см/с; 2) \(V_{2x} = -3{,}89 \pm 0{,}01\) см/с; 3) \(R = 9{,}8 \pm 0{,}1\) см; 4) \(V_1 = 19{,}74 \pm 0{,}2\) см/с; 5) \(a_1 = 39{,}3 \pm 1\) см/с\(^2\); 6) \(L = 345{,}2 \pm 4\) см; 7) \(\alpha = 0{,}1132 \pm 0{,}002\) рад.
Движение бусинки по проволоке
Имеется две линейки, таймер и пружина, по виткам которой без трения скользит бусинка, выстреливаемая из левой или правой стенки при нажатии на кнопку таймера. Ось \(0X\) направлена горизонтально слева направо перпендикулярно стенкам. Как в левую, так и в правую стенку бусинка погружается наполовину. Определите:
Проекцию \(V_{1x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки слева направо — с точностью до сотых.
Проекцию \(V_{2x}\) скорости бусинки на ось \(0X\) при движении бусинки справа налево — с точностью до сотых.
Радиус \(R\) пружины — с точностью до сотых.
Величину \(V_1\) (модуль) скорости бусинки при движении по проволоке слева направо — с точностью до десятых.
Величину \(a_1\) (модуль) ускорения бусинки при движении по проволоке слева направо — с точностью до десятых.
Длину \(L\) проволоки, по которой движется бусинка — с точностью до целых.
Занесите результаты в отчёт и отошлите его на сервер.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаБусинка движется по витку с постоянной по модулю скоростью, а её проекция на ось зависит от радиуса витка и шага пружины. Ускорение при движении по окружности связано с модулем скорости и радиусом.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(V_{1x} = 1{,}96 \pm 0{,}01\) см/с; 2) \(V_{2x} = -4{,}24 \pm 0{,}01\) см/с; 3) \(R = 11{,}1 \pm 0{,}1\) см; 4) \(V_1 = 19{,}62 \pm 0{,}2\) см/с; 5) \(a_1 = 34{,}4 \pm 1\) см/с\(^2\); 6) \(L = 434{,}4 \pm 4\) см.
Движение машинки с подвижным стержнем
Имеется: радиоуправляемая машинка с прикреплённым к ней массивным тонким стержнем, которая стоит недалеко от стенки; пульт управления этой машинкой, позволяющий отключать и включать у машинки тормоза и возвращать её в первоначальное состояние; эхолот с подключённым к нему прибором индикации; весы с набором гирь. Масса машинки \(M = 62\) г. Трение в системе при выключенных тормозах отсутствует. Определите:
массу \(m\) стержня, прикреплённого к машинке;
длину \(L\) стержня;
первоначальное расстояние \(D\) от стенки до задней части машинки;
высоту \(H\), на которой первоначально находится верхний конец стержня над его нижним концом;
длину \(W\) машинки;
энергию \(E\) машинки со стержнем, перешедшую из потенциальной в тепловую, если сначала машинка стояла почти вплотную к стенке, так что стержень можно было считать стоящим вертикально, а затем после старта начала двигаться и в итоге остановилась из-за автоматического включения тормозов около датчика эхолота;
значение \(h\) понижения центра масс машинки со стержнем при этом.
Кнопка Сброс пульта управления возвращает машинку в первоначальное состояние, которое было при заходе в модель. Масса подписанных гирь указана в граммах. Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Толщиной стержня пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЭнергия, перешедшая в тепло, равна убыли потенциальной энергии системы машинки со стержнем между начальным и конечным положениями.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 12{,}402 \pm 0{,}06\) г; 2) \(L = 13{,}2 \pm 0{,}03\) см; 3) \(D = 2{,}46 \pm 0{,}03\) см; 4) \(H = 12{,}968 \pm 0{,}04\) см; 5) \(W = 10{,}5 \pm 0{,}03\) см; 6) \(E = 8{,}024 \pm 0{,}08\) мДж; 7) \(h = 1{,}1 \pm 0{,}01\) см.
Параметры машинки с подвижным стержнем
Имеется: радиоуправляемая машинка с прикреплённым к ней массивным тонким стержнем, которая стоит недалеко от стенки; пульт управления этой машинкой, позволяющий отключать и включать у машинки тормоза и возвращать её в первоначальное состояние; эхолот с подключённым к нему прибором индикации; весы с набором гирь. Масса машинки \(M = 68\) г. Трение в системе при выключенных тормозах отсутствует. Определите:
массу \(m\) стержня, прикреплённого к машинке;
длину \(L\) стержня;
первоначальное расстояние \(D\) от стенки до задней части машинки;
угол (в радианах) первоначального отклонения стержня от вертикали;
длину \(W\) машинки;
энергию \(E_0\) машинки со стержнем, перешедшую из потенциальной в тепловую, если машинка после старта начала двигаться из первоначального положения и в итоге остановилась из-за автоматического включения тормозов около датчика эхолота;
значение \(h_0\) понижения центра масс машинки со стержнем при этом.
Кнопка Сброс пульта управления возвращает машинку в первоначальное состояние, которое было при заходе в модель. Масса подписанных гирь указана в граммах. Ускорение свободного падения \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\). Толщиной стержня пренебречь.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаУгол найдите по положению верхнего конца стержня относительно стенки. Энергия, перешедшая в тепло, равна убыли потенциальной энергии системы между начальным и конечным положениями.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(m = 12{,}198 \pm 0{,}06\) г; 2) \(L = 13{,}401 \pm 0{,}03\) см; 3) \(D = 1{,}701 \pm 0{,}03\) см; 4) \(\varphi = 0{,}1264 \pm 0{,}008\) рад; 5) \(W = 9{,}6 \pm 0{,}03\) см; 6) \(E_0 = 7{,}944 \pm 0{,}08\) мДж; 7) \(h_0 = 1{,}011 \pm 0{,}01\) см.
Эксперименты с горкой
Имеется горка с прямым углом в вершине. По ней при отключённом стопоре могут двигаться без трения два одинаковых ящика, массой которых можно пренебречь. В эти ящики можно складывать тела (в виде пластин). Масса пластин известной массы указана в граммах. Найдите:
Максимальное расстояние \(L\), которое при движении может пройти ящик — с точностью до \(0{,}1\) мм.
Максимальную скорость \(V_{max}\), которую при движении может развить правый ящик, если в него положить тело №1, а левый ящик пустой — с точностью до \(0{,}005\) м/с.
Отношение \(F_1/F_2\) сил натяжения нити — с точностью до сотых. В ящик на левой части горки положили тело №1, в ящик на правой — грузы, перевесившие его; дождались окончания движения и измерили силу \(F_1\) натяжения нити. Затем в ящик на правой части горки положили тело №1, в ящик на левой — грузы, перевесившие его; дождались окончания движения и измерили силу \(F_2\) натяжения нити.
Массу \(m_1\) тела №1 — с точностью до 1 г.
Массу \(m_2\) тела №2 — с точностью до 1 г.
Максимальное количество теплоты \(Q_3\), которое может выделиться телом №3 в результате окончания его движения в одном из ящиков — с точностью до 10 мДж.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g = 9{,}8\) м/с\(^2\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМасса ящиков пренебрежимо мала, поэтому натяжение нити и ускорение определяются грузом в ящике и углом горки. Для максимальной скорости используйте закон сохранения энергии.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(L = 12{,}6432 \pm 0{,}012\) см; 2) \(V_{max} = 1{,}0896 \pm 0{,}008\) м/с; 3) \(F_1/F_2 = 1{,}83 \pm 0{,}02\); 4) \(m_1 = 109{,}32 \pm 1{,}2\) г; 5) \(m_2 = 200{,}16 \pm 2{,}4\) г; 6) \(Q_3 = 0{,}7032 \pm 0{,}012\) Дж.
Эксперименты с горкой
Имеется горка с прямым углом в вершине. По ней при отключенном стопоре могут двигаться без трения два одинаковых ящика, массой которых можно пренебречь. В эти ящики можно складывать тела (в виде пластин). Масса пластин известной массы указана в граммах. Найдите:
максимальное расстояние \(L\), которое при движении может пройти ящик — с точностью до \(0{,}1\) мм;
максимальную скорость \(V_{\max}\), которую при движении может развить правый ящик, если в него положить тело №1, а левый ящик пустой — с точностью до \(0{,}005\) м/с;
отношение \(F_1/F_2\) сил натяжения нити — с точностью до сотых. В ящик на левой части горки положили тело №1, в ящик на правой — грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_1\) натяжения нити. Затем в ящик на правой части горки положили тело №1, в ящик на левой — грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_2\) натяжения нити. Найдите отношение \(F_1/F_2\);
массу \(m_1\) тела №1 — с точностью до 1 г;
массу \(m_2\) тела №2 — с точностью до 1 г;
максимальное количество тепла \(Q_3\), которое может выделиться телом №3 в результате окончания его движения в одном из ящиков — с точностью до 10 мДж.
Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Эхолот подключен к прибору, который может показывать график движения правого ящика. Наведение увеличительного стекла на область графика либо щелчок мышью по символу в правом верхнем углу прибора показывает график в увеличенном масштабе. Выделение мышью области графика позволяет увеличивать изображение выбранной области. Восстановить первоначальный масштаб графика можно движением справа налево снизу вверх либо пунктом «Восстановить масштаб» в контекстном меню.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМаксимальная скорость достигается там, где ящик проходит наибольший путь без остановки; сопоставьте начальную потенциальную энергию груза с кинетической энергией в нижней точке.