Задачи › Сила упругости, пружины и их соединения

Пружины на ступеньках

  1. Пружины на ступеньках

    Интернет-олимпиада 2022/23, 7 кл.
    7/10

    Из 9 одинаковых кубиков со стороной \(a=9\) см сложили пирамидку на твёрдой подставке. Плотность материала кубиков \(\rho=2\) г/см\(^3\). Сверху на кубики и на подставку опираются невесомые пружины, скреплённые невесомыми стержнями со свободно вращающимися шарнирами в точках крепления. Плечи у рычагов, к которым крепятся пружины, одинаковы. Жёсткость самой верхней (красной) пружины \(k=357\) Н/м. Сверху к конструкции приложили силу \(F_0=157\) Н. Величина деформации у каждой из пружин оказалась одинаковой.

    Рисунок

    Ускорение свободного падения примите равным \(9{,}8\) м/с\(^2\). Определите:

    1. Силу \(F\), действующую на подставку со стороны нижней (голубой) пружины.

    2. Эквивалентную жёсткость \(K_0\) конструкции.

    3. Давление \(P_1\), которое зелёный кубик оказывает на стол.

    4. Жёсткость \(K_2\) жёлтой пружины.

    5. Давление \(P_2\), которое жёлтый кубик оказывает на стол.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Сила, приходящаяся на шарнир, делится поровну между двумя одинаковыми плечами рычага, и на каждом уровне она уменьшается вдвое. Деформация всех пружин одинакова, поэтому жёсткость системы выражается через жёсткость верхней пружины.

    Ответ

    1) \(19{,}625 \pm 0{,}02\) Н;  2) \(178{,}5 \pm 0{,}18\) Н/м;  3) \(4186{,}84 \pm 4{,}19\) Па;  4) \(89{,}25 \pm 0{,}09\) Н/м;  5) \(8373{,}68 \pm 8{,}37\) Па.

    Решение

    1. Рычаги горизонтальны и их плечи одинаковы, поэтому сила, приложенная к шарниру, делится между двумя плечами поровну. На каждом из трёх уровней рычагов сила, действующая на плечо, уменьшается вдвое, и для нижней (голубой) пружины получаем \[F = \frac{F_0}{8} \approx 19{,}625~\text{Н}.\]

    2. Деформация \(x\) у всех пружин одинакова. Для верхней (красной) пружины \(F_0 = kx\). Суммарная жёсткость конструкции при общей деформации \(2x\) по отношению к приложенной силе даёт \[K_0 = \frac{F_0}{2x} = \frac{k}{2} \approx 178{,}5~\text{Н/м}.\]

    3. На зелёный кубик сверху действует сила \(F_0/8\), а масса кубика \(m = \rho a^3 = 1{,}458\) кг. Давление на стол \[P_1 = \frac{F_0/8 + mg}{a^2} = \frac{19{,}625 + 14{,}29}{0{,}0081\ \text{м}^2} \approx 4186{,}8~\text{Па}.\]

    4. На жёлтую пружину действует сила \(F_0/4\), а её деформация \(x\) такая же, как у верхней пружины. Поэтому \[K_2 = \frac{F_0/4}{x} = \frac{k}{4} \approx 89{,}25~\text{Н/м}.\]

    5. Жёлтый кубик несёт силу \(F_0/4\) и вес кубиков, опирающихся на него; по официальному решению это \(2mg\). Давление \[P_2 = \frac{F_0/4 + 2mg}{a^2} \approx 8373{,}7~\text{Па}.\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх