Маяк на мысе

Какая линия на схеме перпендикулярна траектории катера и проходит через маяк? За какое время катер проходит участок от \(t_1\) до \(t_3\) и каков его путь на этом участке?

1. Изобразим схему движения судов. Маяк обозначен буквой \(M\). Траектория катера показана синей линией, траектория теплохода — сиреневой. За время \(t_3 - t_1\) катер прошёл расстояние \(1{,}4142\,S\), поэтому скорость катера \[V_K = \frac{1{,}4142\,S}{t_3 - t_1} = 65{,}0~\text{км/ч}.\]

2. Проведём перпендикуляр к траектории катера от маяка (\(AM\)). Длина этого отрезка и есть минимальное расстояние между катером и маяком \(L_K\). Этот отрезок является катетом в равнобедренном прямоугольном треугольнике с основанием \(S\): \[L_K = \frac{S}{1{,}4142} = 195~\text{км}.\]

3. Теплоход двигался на юго-запад, поэтому его траектория перпендикулярна траектории катера. Встреча судов произошла в точке \(T\). По построению видно, что минимальное расстояние между теплоходом и маяком \(L_T = |MX| = |AT|\). Участок пути \(AT\) катер прошёл за время \[\Delta t = t_2 - \frac{t_3 - t_1}{2} = 1~\text{ч}, \qquad L_T = V_K\,\Delta t = 65{,}0~\text{км}.\]

4. Длины отрезков \(TX\) и \(AM\) равны. Теплоход пройдёт это расстояние за время \[t = \frac{L_K}{1{,}3\,V_K} = 138~\text{мин}.\]