Задачи › Наклонная плоскость

Эксперименты с горкой

  1. Эксперименты с горкой

    Интернет-олимпиада 2024/25, 9 кл.
    6/10

    Имеется горка с прямым углом в вершине. По ней при отключённом стопоре могут двигаться без трения два одинаковых ящика, массой которых можно пренебречь. В эти ящики можно складывать тела (в виде пластин). Масса пластин известной массы указана в граммах. Найдите:

    Рисунок

    1. максимальное расстояние \(L\), которое при движении может пройти ящик, с точностью до \(0{,}1\) мм;

    2. максимальную скорость \(V_{max}\), которую при движении может развить правый ящик, если в него положить тело №1, а левый ящик пустой, с точностью до \(0{,}005\) м/с;

    3. в ящик на левой части горки положили тело №1, в ящик на правой — грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_1\) натяжения нити. Затем в ящик на правой части горки положили тело №1, в ящик на левой — грузы, перевесившие его, дождались окончания движения и измерили силу \(F_2\) натяжения нити. Найдите отношение \(F_1/F_2\) с точностью до сотых;

    4. массу \(m_1\) тела №1 с точностью до \(1\) г;

    5. массу \(m_2\) тела №2 с точностью до \(1\) г;

    6. максимальное количество тепла \(Q_3\), которое может выделиться телом №3 в результате окончания его движения в одном из ящиков, с точностью до \(10\) мДж.

    Ускорение свободного падения считайте равным \(g=9{,}8\) м/с\(^2\). Эхолот подключён к прибору, который может показывать график движения правого ящика. Наведение увеличительного стекла на область графика либо щелчок мышью по символу в правом верхнем углу прибора показывает график в увеличенном масштабе. Выделение мышью области графика (нажать кнопку мыши и вести вправо вниз, а затем отпустить кнопку) позволяет увеличивать изображение выбранной области графика. При необходимости можно опять выбрать нужный участок графика для показа во всём окне, и так далее. Движение в обратном направлении (справа налево снизу вверх) в любой части того же окна либо вызов правой кнопкой мыши всплывающего меню и выбор пункта «Восстановить масштаб» восстанавливает первоначальный масштаб графика.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Средняя скорость при равноускоренном движении ящика — половина максимальной, а ускорение на наклонной части связано с углом горки. Для тепла сравните потерю потенциальной энергии тела при движении по горке.

    Ответ

    1) \(L=14{,}613\) см;  2) \(V_{max}=1{,}2228\) м/с;  3) \(F_1/F_2=1{,}634\);  4) \(m_1=134{,}5\) г;  5) \(m_2=219{,}2\) г;  6) \(Q_3=0{,}904\) Дж.

    Решение

    Расстояние \(L\) найдено по показаниям эхолота: начальная координата ящика \(y_1=27{,}937\) см, конечная \(y_2=13{,}324\) см, поэтому \(L=y_1-y_2=14{,}613\) см.

    Движение без трения равноускоренное, поэтому \(V_{max}=2V_{ср}=2L/(t_1-t_0)\). По графику \(t_0=5{,}895\) с, \(t_1=6{,}134\) с, \(t_1-t_0=0{,}239\) с, отсюда \(V_{max}=2\cdot14{,}613/0{,}239\) см/с\(=1{,}2228\) м/с.

    Силы натяжения: \(F_1=m_1g\cos\alpha\), \(F_2=m_1g\sin\alpha\), так что \(F_1/F_2=\operatorname{ctg}\alpha\). Ускорение на правой части горки \(a=g\sin\alpha\) и \(a=V_{max}/(t_1-t_0)=5{,}116\) м/с\(^2\), отсюда \(\sin\alpha=0{,}522\), \(\cos\alpha=0{,}853\) и \(F_1/F_2=1{,}634\).

    Масса \(m_1\) определяется по ускорению системы с пробной массой \(m=100\) г: \((m_1+m)a_1=mg\cos\alpha-m_1g\sin\alpha\), откуда \(m_1=m(g\cos\alpha-a_1)/(a_1+g\sin\alpha)\). По измерению \(t'_1-t'_0=0{,}681\) с получено \(V'_{max}=0{,}4292\) м/с и \(a_1=0{,}6302\) м/с\(^2\), так что \(m_1=134{,}5\) г. Аналогично измерена \(m_2=219{,}2\) г.

    Максимальное тепло выделяется при пустом правом ящике, когда тело опускается на наибольшую высоту: \(Q_3=m_3gL\cos\alpha\), где \(m_3=740\) г. Численно \(Q_3=0{,}740\cdot9{,}8\cdot0{,}14613\cdot0{,}853=0{,}904\) Дж.

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх