Петя и Катя

Перейдите в систему отсчёта одного из мячиков: как движется второй мячик в ней? Что в этой системе означает минимальное расстояние между мячиками?

Расстояние между мячиками не зависит от \(g\), как и при прямолинейном движении: \(\vec r_1 - \vec r_2 = (\vec r_{01} - \vec r_{02}) + (\vec v_{01} - \vec v_{02})\,t\). Дальности полёта одинаковы, поэтому \(\alpha + \beta = 90^\circ\) (навесная и настильная траектории). В системе отсчёта мячика Кати траектория мячика Пети относительно неё — прямая, а минимальное расстояние \(l\) — перпендикуляр из точки броска Кати на эту прямую. Заметим, что \(l\) не равно разности максимальных высот мячиков.

Из рисунка \(\alpha = 45^\circ + \gamma\), \(l = S\sin\gamma\). Тогда \[S = \frac{v_0^2}{g}\sin 2\alpha = \frac{v_0^2}{g}\cos 2\gamma, \qquad \cos 2\gamma = 1 - \frac{2l^2}{S^2},\] откуда \(v_0 = \sqrt{\dfrac{Sg}{\cos 2\gamma}} = \sqrt{\dfrac{S^3 g}{S^2 - 2l^2}}\).