Задачи › Экстремум, неравенства в физических задачах

Световые пучки и пластинка

  1. Световые пучки и пластинка

    «Надежда энергетики» 2017/18, 11 кл.
    5/10

    Два плоскопараллельных монохроматических однородных световых пучка жёлтого и голубого цвета пересекаются под углом \(90^\circ\). В области их пересечения расположена пластинка \(S\) (см. рис.). Если площадь пластинки перпендикулярна первому пучку, то величина световой энергии, попадающей на неё за секунду, равна \(E_1\). Если площадь пластинки перпендикулярна второму пучку, то величина световой энергии, попадающей на неё за секунду, равна \(E_2\), причём \(E_2 = 2E_1\). Под каким углом \(\alpha\) необходимо расположить плоскость пластинки к направлению первого пучка, чтобы на неё попадало как можно больше световой энергии?

    Рисунок
    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Выразите энергию, падающую на пластинку, через синус и косинус угла \(\alpha\), затем найдите максимум суммы \(E_1\sin\alpha + E_2\cos\alpha\).

    Ответ

    \(\alpha = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt5} = \operatorname{arctg}\dfrac{1}{2} \approx 26{,}6^\circ\).

    Решение

    Пусть лучи голубого пучка падают под углом \(\alpha\) к плоскости пластинки. Тогда на пластинку за единицу времени падает \[E = E_1\sin\alpha + E_2\cos\alpha = \sqrt{E_1^2 + E_2^2}\,\cos(\alpha - \beta),\] где \(\sin\beta = \dfrac{E_1}{\sqrt{E_1^2 + E_2^2}}\), \(\cos\beta = \dfrac{E_2}{\sqrt{E_1^2 + E_2^2}}\). Максимум \(E\) достигается при \(\alpha = \beta = \arcsin\dfrac{E_1}{\sqrt{E_1^2 + E_2^2}} = \arcsin\dfrac{1}{\sqrt5} \approx 26{,}6^\circ\).

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх