Снежная площадь

Путь по дорожке, а затем по снегу напоминает ход луча через границу двух сред: оптимальное направление по снегу задаётся законом преломления с углом падения \(90^\circ\). Можно и просто минимизировать время по расстоянию \(x\) до угла, где Маша сворачивает на снег.

\(\Delta t\approx 2{,}1\text{ с}\).

Пусть длинная сторона площади \(a\), короткая \(b\), скорость Маши по дорожке \(v\), а по снегу \(nv\). Маша сворачивает с дорожки на заснеженную площадь, когда ей оставалось пробежать по дорожке до угла площади ещё \(x\) метров, и бежит через площадь прямо по снегу в направлении двери школы. В таком случае по длинной стороне она пробегает путь по дорожке \(s_1=a-x\), а затем по диагонали \(s_2=\sqrt{x^2+b^2}\). Вдоль края площади ей понадобилось бы для достижения двери \[t_0=\frac{a+b}{v},\] а при беге через площадь \[t_1=\frac{s_1}{v}+\frac{s_2}{nv}=\frac av-\frac xv+\frac{\sqrt{x^2+b^2}}{nv}.\] Чтобы найти, под каким углом Маше нужно бежать по снегу, воспользуемся знакомым из оптики законом преломления \[\frac{\sin\alpha}{\sin\gamma}=\frac{v}{nv},\] где прямая, разделяющая среды, — край площади, а потому \(\alpha=90^\circ\), так как Маша сначала бежала по краю площади, а \(\gamma\) — угол между перпендикуляром к краю площади и оптимальным направлением движения Маши. Итак, \(\sin\alpha=1\) и \[\sin\gamma=\frac{nv}{v}=n,\] а из геометрии \[\sin\gamma=\frac{x}{s_2}\quad\Rightarrow\quad \frac{x}{s_2}=n\quad\Rightarrow\quad x=ns_2=n\sqrt{x^2+b^2}.\] Выразим \(x\) из полученного уравнения: \[x^2=n^2(x^2+b^2),\qquad x^2-n^2x^2=n^2b^2,\qquad x^2=\frac{n^2b^2}{1-n^2},\qquad x=\frac{nb}{\sqrt{1-n^2}}.\] Подставим найденное значение \(x\) в выражение для \(t_1\): \[t_1=\frac av-\frac{nb}{v\sqrt{1-n^2}}+\frac{\sqrt{\dfrac{n^2b^2}{1-n^2}+b^2}}{nv} =\frac av-\frac bv\frac{n}{\sqrt{1-n^2}}+\frac bv\frac{\sqrt{\dfrac{n^2+1-n^2}{1-n^2}}}{n} =\frac av-\frac bv\frac{n}{\sqrt{1-n^2}}+\frac bv\frac{1}{n\sqrt{1-n^2}}.\] Найдём разность времён при движении вдоль края и через площадь: \[\Delta t=t_0-t_1=\frac av+\frac bv-\left(\frac av-\frac bv\frac{n}{\sqrt{1-n^2}}+\frac bv\frac{1}{n\sqrt{1-n^2}}\right) =\frac bv\left(1+\frac{n}{\sqrt{1-n^2}}-\frac{1}{n\sqrt{1-n^2}}\right).\] Найдём выигрыш во времени, используя величины, заданные в условии: \[\Delta t=\frac{50\text{ м}}{6\text{ м/с}}\left(1+\frac{0{,}8}{\sqrt{1-0{,}8^2}}-\frac{1}{0{,}8\sqrt{1-0{,}8^2}}\right)\approx 2{,}1\text{ с}.\] Итак, мы показали, что движение вокруг площади медленнее, чем через площадь по оптимальной траектории, на \(\Delta t\approx 2{,}1\text{ с}\).

Можно найти значение \(x\) и без закона преломления, решая задачу на экстремум: найти \(x\), минимизирующее выражение для \(t_1\). \[t_1'(x)=0-\frac1v+\frac12\frac{2x}{nv\sqrt{x^2+b^2}}=\frac{x}{nv\sqrt{x^2+b^2}}-\frac1v=0.\] Решим полученное уравнение: \[\frac{x}{nv\sqrt{x^2+b^2}}=\frac1v,\qquad x=\frac{nv\sqrt{x^2+b^2}}{v},\qquad x^2=n^2(x^2+b^2),\] \[x^2-n^2x^2=n^2b^2,\qquad x^2=\frac{n^2b^2}{1-n^2},\qquad x=\frac{nb}{\sqrt{1-n^2}}.\] Видим, что результат тот же, что и из закона преломления.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.