Велосипед

В (a) предельный случай — начало движения на ничтожно малой скорости, там ограничивает момент двигателя; в (b) — мощность.

(a) \(\alpha=\arcsin\dfrac{M}{mgr}\approx9{,}7^\circ\);  (b) \(v=\dfrac{P}{mg\sin\alpha}\approx5{,}3\text{ м/с}\).

(a) Пусть искомый угол подъёма \(\alpha\). Составляющая силы тяжести, направленная вдоль склона вниз, равна \(F=mg\sin\alpha\). В предельном случае с такой же силой действует на колёса и поверхность земли. Поэтому получаем условие \(Fr=M\), откуда выражаем угол: \[\alpha=\arcsin\left(\frac{M}{mgr}\right)\approx9{,}7^\circ.\] (b) Пусть велосипед движется вверх по склону со скоростью \(v\). Центр масс велосипеда поднимается при этом со скоростью \(v\sin\alpha\), и потенциальная энергия растёт соответственно со скоростью \(mgv\sin\alpha\). Если других потерь энергии нет, то она должна быть равна полезной мощности двигателя. Отсюда выражаем скорость: \[v=\frac{P}{mg\sin\alpha}\approx5{,}3\text{ м/с}.\] Замечание. Важное наблюдение: при максимальном угле подъёма ограничивающим фактором является крутящий момент двигателя, и угол подъёма не зависит от мощности двигателя. Это следует из того, что мы рассматриваем начало движения с ничтожно малой скоростью. При максимальной же скорости ограничивающим фактором является мощность, так как заданный угол наклона меньше максимально возможного угла наклона.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.