В пневматической винтовке используется азот под давлением \(p_1=34\text{ МПа}\) для ускорения пули. Какова температура азота, оставшегося в стволе сразу после выстрела? До выстрела сжатый азот имел температуру \(t_0=20\,{}^\circ\text{C}\); давление воздуха \(p_0=100\text{ кПа}\). Молярная теплоёмкость азота при постоянном объёме \(c_V=\frac52R\), а температура кипения \(T_k=-196\,{}^\circ\text{C}\). Подсказка: в более медленных, чем звук, процессах с газом без теплообмена действует так называемый закон адиабаты \(pV^\gamma=\text{const}\), где показатель степени для азота \(\gamma=7/5\). (10 баллов)

\(T_1\approx55\text{ К}\approx-218\,{}^\circ\text{C}\) (фактически — \(-196\,{}^\circ\text{C}\), см. замечание).

Пневматическая винтовка — Эстонская 2021/22, заключительный этап, 9-11 кл., задача 6

Пневматическая винтовка
Эстонская 2021/22, заключительный этап, 9-11 кл. · №26072
3/10PDF: условие с решением
В пневматической винтовке используется азот под давлением \(p_1=34\text{ МПа}\) для ускорения пули. Какова температура азота, оставшегося в стволе сразу после выстрела? До выстрела сжатый азот имел температуру \(t_0=20\,{}^\circ\text{C}\); давление воздуха \(p_0=100\text{ кПа}\). Молярная теплоёмкость азота при постоянном объёме \(c_V=\frac52R\), а температура кипения \(T_k=-196\,{}^\circ\text{C}\).

Подсказка: в более медленных, чем звук, процессах с газом без теплообмена действует так называемый закон адиабаты \(pV^\gamma=\text{const}\), где показатель степени для азота \(\gamma=7/5\). (10 баллов)
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
Подсказка
Расширение газа в стволе адиабатическое, и после вылета пули давление в стволе становится равным комнатному. Объедините закон адиабаты с уравнением состояния.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ
\(T_1\approx55\text{ К}\approx-218\,{}^\circ\text{C}\) (фактически — \(-196\,{}^\circ\text{C}\), см. замечание).
▶РешениеСкрыть: решение
Решение
В стволе происходит адиабатическое расширение газа, причём независимо от длины ствола газ в стволе после вылета пули принимает давление воздуха, господствующее в комнате. Поэтому сохраняются как \(pV^\gamma\), так и \(pV/T\), откуда получаем, что сохраняется и величина \(p^{\gamma-1}/T^\gamma\). Отсюда уже можно выразить искомую температуру: \[T_1=T_0\left(\frac{p_0}{p_1}\right)^{\frac{\gamma-1}{\gamma}}=T_0\left(\frac{p_0}{p_1}\right)^{2/7}\approx55\text{ К}\approx-218\,{}^\circ\text{C}.\] Замечание. Результат меньше температуры кипения азота, поэтому на самом деле температура азота падает до температуры кипения \(-196\,{}^\circ\text{C}\), и при дальнейшем расширении она остаётся постоянной благодаря выделяющейся теплоте испарения.

P.S. Показатель адиабаты можно найти и по формуле \(\gamma=c_P/c_V=(c_V+R)/c_V=1{,}4\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Скопировать ссылку Нашли ошибку?

Пневматическая винтовка

Пневматическая винтовка

Похожие задачи