Затопление

Нужная пропускная способность — наименьший наклон прямой, идущей из точки, где график вместимости канавы пересекает ось \(h\), и не заходящей под график осадков, то есть касательной к нему.

\(u_x\approx1{,}23\text{ мм/мин}=1{,}23\text{ л/(мин}\cdot\text{м}^2)\).

Заметим, что \(1\text{ л/м}^2=1\text{ мм}\), поэтому искомый отвод по трубопроводу численно равен количеству отводимых осадков в миллиметрах. Пусть \(h_6=22\text{ мм}\) — суммарное количество осадков через 6 минут, \(h_9=28\text{ мм}\) — через 9 минут, \(H\) — сколько миллиметров осадков может вместить канава (если бы не было стока), а \(u\) — скорость отвода осадков исправным трубопроводом в миллиметрах в минуту.

Получаем уравнения \[h_6=H+0{,}5u\cdot6\text{ мин}\qquad\text{и}\qquad h_9=H+u\cdot9\text{ мин}.\] Из этой системы уравнений находим \(H=19\text{ мм}\).

Пусть искомая скорость отвода \(u_x\). Тогда прямая \(h(t)=H+u_xt\) показывает, сколько воды максимально может накопить система канализации в каждый момент времени (\(H\) — вклад канавы, \(u_xt\) — вклад ливневого трубопровода). Для того чтобы затопления не возникло, график суммарного количества осадков должен всегда оставаться ниже этой прямой. Скорость \(u_x\) минимальна тогда, когда эта прямая является касательной к графику. Проведём поэтому на графике касательную, проходящую через точку \((0,H)\). Наклон этой касательной и есть искомая скорость \(u_x\).

Измерения дают \(u_x=1{,}23\text{ мм/мин}=1{,}23\text{ л/(мин}\cdot\text{м}^2)\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.