Пластинка

Индуцированные заряды \(\pm\Delta q\) на двух сторонах пластины гасят поле заряда \(q\) внутри металла; силы на них отличаются из-за разных расстояний \(R\) и \(R+h\).

Пластинка притягивается к заряду: \(F\approx\dfrac{q^2hr^2}{8\pi\varepsilon_0R^5}\).

Если металлическую пластину внести в электрическое поле заряда, то на ней индуцируется заряд так, что он компенсирует внешнее электрическое поле (то есть внутри пластины заряды перераспределяются до тех пор, пока напряжённость электрического поля в пластине не станет равной нулю). Так как \(r\ll R\), можем считать, что поверхностные плотности зарядов на обеих сторонах изотропны. Так как полный заряд пластины равен нулю, то индуцированный заряд на поверхностях пластины равен соответственно \(\pm\Delta q\). Пластина в этом случае напоминает заряженный конденсатор. Так как напряжённость электрического поля внутри пластины равна нулю, то сумма внешнего электрического поля и индуцированного электрического поля должна быть равна \(0\), то есть \(\vec E_q+\vec E_{\pm\Delta q}=0\). Отсюда выражаем величину перераспределённого заряда \(\Delta q\):

\[\therefore\ \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R^2}=\frac{\Delta q}{2\pi\varepsilon_0r^2}-\frac{-\Delta q}{2\pi\varepsilon_0r^2},\] \[\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q}{R^2}=\frac{\Delta q}{\pi\varepsilon_0r^2},\] \[\Delta q=\frac{qr^2}{4R^2}.\tag{1}\] Из закона Кулона выразим силу, действующую соответственно на каждую поверхность пластины, и получим суммарную силу: \[F=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\Delta q}{R^2}-\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{q\Delta q}{(R+h)^2}\approx\frac{q\Delta q}{4\pi\varepsilon_0}\frac{2Rh}{R^4},\tag{2}\] Из уравнений (1) и (2), подставляя, получаем \[F\approx\frac{q^2hr^2}{8\pi\varepsilon_0R^5}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.