Трактор

Путь трактора \(s\) больше перемещения \(d=AB\) в \(5/3\) раза. Какие точки плоскости трактор при таком пути вообще не может достичь? Граница этой области — кривая, для которой сумма расстояний до \(A\) и \(B\) постоянна.

За время движения величина перемещения трактора равна длине отрезка \(AB\); обозначим её \(d\). Путь при этом \(s=\dfrac{5}{3}d\). Заметим, что тогда водитель не мог оказаться в таких точках, для которых сумма расстояний до \(A\) и \(B\) больше \(s\): \(s_A+s_B\ge s\).

И наоборот, в силу неопределённости его траектории, она могла проходить через любую точку, не принадлежащую вышеуказанной области. Тогда, чтобы столкновения не произошло, прямая, по которой движется поток машин, должна полностью лежать в «запрещённой» для трактора зоне, а для того, чтобы расстояние до отрезка было минимальным, она должна касаться границы, которая задаётся условием \(s_A+s_B=s\).

Точка касания должна быть равноудалена от \(A\) и \(B\): для этого нужно показать, что эта точка наиболее удалена от отрезка \(AB\). Сдвинем точку \(M\) на \(\Delta x\) вниз; сумма расстояний до точек \(A\) и \(B\) при этом \[s'=\sqrt{\left(\frac{d}{2}+\Delta x\right)^2+L^2}+\sqrt{\left(\frac{d}{2}-\Delta x\right)^2+L^2}.\] Возведя \(s'\) в квадрат, получим \(s'^2=2\left(\left(\frac{d}{2}\right)^2+L^2\right)+2(\Delta x)^2+2s'_As'_B\); первое слагаемое есть \(s^2\), остальные положительны, значит \(s'>s\), и точка \(M'\) лежит в «запрещённой» зоне. Таким образом, надо найти только расстояние от \(M\) до отрезка \(AB\). По теореме Пифагора \[L^2=\left(\frac{s}{2}\right)^2-\left(\frac{d}{2}\right)^2=\left(\frac{d}{2}\right)^2\left(\frac{25}{9}-1\right) \quad\Rightarrow\quad L=\frac{d}{2}\cdot\frac{4}{3}=\frac{2}{3}d=0{,}66~\text{км}.\]