Шары

Считайте мячи единым пористым телом с известной средней плотностью. Всплытие начинается, когда сила Архимеда уравновесит вес всех мячей.

Когда мячи всплывают, их верхний слой всегда выше уровня воды, а нижний — всегда ниже. Значит, последний мяч не может быть убран раньше, чем вода достигнет бортика, и не может быть убран позже. Следовательно, эти события происходят одновременно.

Будем рассматривать все мячи как единое пористое тело. Его объём без учёта промежутков \[V_N=N\cdot\frac{\pi}{6}d^3=15943\cdot\frac{\pi}{6}\,(6{,}6~\text{см})^3=2{,}4~\text{м}^3,\] где \(N\) — количество мячей, \(d\) — диаметр одного мяча. Плотность упаковки мячей \[\alpha=\frac{V_N}{V_{бас}/2}=\frac{2{,}4~\text{м}^3}{4~\text{м}^3}=0{,}6.\] Средняя плотность тела равна плотности одного мяча: \[\rho=\frac{m_{мяча}}{\frac{\pi}{6}d^3}=\frac{60~\text{г}}{150~\text{см}^3}=0{,}4~\text{г/см}^3,\] это меньше плотности воды, значит, тело действительно всплывёт. Всплытие начнётся, когда сила Архимеда станет равна силе тяжести: \[V_{погр}\,\rho_{в}=V_N\,\rho \quad\Rightarrow\quad \beta=\frac{V_{погр}}{V_N}=\frac{\rho}{\rho_{в}}=0{,}4.\] Тогда объём воды в момент начала подъёма \[V_1=\frac{V_{бас}}{2}\,\beta\,(1-\alpha)=4~\text{м}^3\cdot 0{,}4\cdot 0{,}4=0{,}64~\text{м}^3.\] По условию такой объём воды поступил за \(20\) мин. Полностью бассейн наполнится за \[T=\frac{V_{бас}}{V_1}\cdot 20~\text{мин}=\frac{8~\text{м}^3}{0{,}64~\text{м}^3}\cdot 20~\text{мин}=250~\text{мин}.\] Значит, как было отмечено в начале, через это время и будет убран последний мяч.