Желоб

Вертикальная сила равна весу воды над участком стенки. Горизонтальную силу можно найти, заменив криволинейный участок вертикальной плоскостью и взяв среднее давление.

Посчитаем сперва вертикальную составляющую силы давления воды на стенку. Она соответствует силе тяжести воды, находящейся над стенкой в левой половине желоба. Пусть желоб имеет длину \(l\), тогда масса воды равна \(m=\rho\left(\frac{1}{4}\pi r^2+hr\right)l\), а вертикальная составляющая силы давления \[F_{\downarrow}=\rho g\left(\frac{1}{4}\pi r^2+hr\right)l.\] Чтобы посчитать горизонтальную составляющую, разделим мысленно желоб на две части вертикальной плоскостью. Раз сумма всех сил, действующих на левую половину воды, равна нулю, горизонтальная сила давления на стенку равна горизонтальной силе давления на мысленно добавленную плоскость. Поэтому вместо силы, действующей на поверхность сложной формы, можно посчитать силу, действующую на вертикальную стенку высоты \(h+r\). Давление с высотой растёт линейно, поэтому его можно заменить средним значением \(p_{ср}=\rho g(h+r)/2\). Значит, горизонтальная составляющая силы равна \[F_{\rightarrow}=p_{ср}\cdot S=\frac{\rho g(h+r)}{2}\cdot(h+r)\,l.\] Осталось найти высоту, при которой силы равны: \[\frac{\rho g(h+r)^2}{2}\,l=\rho g\left(\frac{1}{4}\pi r^2+hr\right)l \quad\Rightarrow\quad \frac{(h+r)^2}{2}=\frac{1}{4}\pi r^2+hr \quad\Rightarrow\quad h^2=\frac{\pi-2}{2}\,r^2,\] откуда \(h=\sqrt{\dfrac{\pi-2}{2}}\,r\).